专题二：平行四边形常用辅助线的作法(精排版).pdf

1专题讲义专题讲义 平行四边形平行四边形+几何辅助线的作法几何辅助线的作法一、知识点一、知识点1 1四边形的内角和与外角和定理：四边形的内角和与外角和定理：（1 1）四边形的内角和等于）四边形的内角和等于 360360；（2 2）四边形的外角和等于）四边形的外角和等于 360.360.2 2多边形的内角和与外角和定理：多边形的内角和与外角和定理：（1 1）n n 边形的内角和等于边形的内角和等于(n-2)180(n-2)180；（2 2）任意多边形的外角和等于）任意多边形的外角和等于 360.360.3 3平行四边形的性质：平行四边形的性质：四边形四边形 ABCDABCD 是平行四边形是平行四边形 .54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（4 4、平行四边形判定方法的选择、平行四边形判定方法的选择5 5、和平行四边形有关的辅助线作法、和平行四边形有关的辅助线作法（1 1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形）利用一组对边平行且相等构造平行四边形例例 1 1、如图，已知点、如图，已知点 O O 是平行四边形是平行四边形 ABCDABCD 的对角线的对角线 ACAC 的中点，四边形的中点，四边形 OCDEOCDE 是平行四边是平行四边形形.求证求证:OEOE 与与 ADAD 互相平分互相平分.ABCD1234ABCDABDOC性质判定说明：当已知条件中涉及到平行，且要说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形可试通过添加辅助线构造平行四边形.2（2 2）利用两组对边平行构造平行四边形）利用两组对边平行构造平行四边形例例 2 2、如图，在、如图，在ABCABC 中，中，E E、F F 为为 ABAB 上两点，上两点，AE=BFAE=BF，ED/ACED/AC，FG/ACFG/AC 交交 BCBC 分别为分别为 D D，G.G.求证求证:ED+FG=AC.ED+FG=AC.（3 3）利用对角线互相平分构造平行四边形）利用对角线互相平分构造平行四边形例例 3 3、如图，已知、如图，已知 ADAD 是是ABCABC 的中线，的中线，BEBE 交交 ACAC 于于 E E，交，交 ADAD 于于 F F，且，且 AE=EF.AE=EF.求证求证 BF=AC.BF=AC.说明：当图形中涉及到一组对边说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形一组对边平行，得到平行四边形解决问题解决问题.说明：本题通过利用对角线互相平分构造平说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形四边形.当已知中点或中线应思考这种方法当已知中点或中线应思考这种方法.3（4 4）连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。）连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例例 4 4、如图，在平行四边形、如图，在平行四边形中，点中，点在对角线在对角线上，且上，且,请你以请你以为为ABCDFE,ACCFAE F一个端点，一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）段相等（只需证明一条线段即可）（5 5）平移对角线，把平行四边形转化为梯形。）平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例例 5 5、如右图、如右图 2 2，在平行四边形，在平行四边形中，对角线中，对角线和和相交于点相交于点 O O，如果，如果，ABCDACBD12AC ，那么，那么的取值范围是（的取值范围是（）10BDmAB m A A、B B、111 m222 m C C、D D、1210 m65 m（6 6）过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。）过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例例 6 6、已知：如图，四边形、已知：如图，四边形为平行四边形为平行四边形ABCD 求证：求证：222222DACDBCABBDAC图 2图 1OOECCABDABDEF图 2图 1OOECCABDABDEF321图 4图 3KPFEDCFEDABCBA 4（7 7）延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。）延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例例 7 7、已知：如右上图、已知：如右上图 4 4，在正方形，在正方形中，中，分别是分别是、的中点，的中点，与与交交ABCDFE,CDDABECF于于点，求证：点，求证：PABAP 2 2、课堂练习：课堂练习：1 1、如图，、如图，是平行四边形是平行四边形的边的边的中点，的中点，与与相交于点相交于点，若平行四边形，若平行四边形EABCDABACDEFABCD的面积为的面积为，则图中面积为，则图中面积为的三角形有（的三角形有（）SS21A A1 1 个个 B B2 2 个个 C C3 3 个个 D D4 4 个个 2 2、顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个、顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个 _四边形四边形3、如图，如图，AD，BC 垂直相交于点垂直相交于点 O，ABCD，BC=8，AD=6，则则 AB+CD 的长的长=_。4 4、已知等边三角形、已知等边三角形 ABCABC 的边长为的边长为 a a，P P 是是ABCABC 内一点，内一点，PDABPDAB，PEBCPEBC，PFPF ACAC，点，点D D、E E、F F 分别在分别在 BCBC、ACAC、ABAB 上，猜想：上，猜想：PDPDPE+PF=_PE+PF=_，并证明，并证明你的猜想你的猜想321图 4图 3KPFEDCFEDABCBA 55 5、平行四边形、平行四边形ABCDABCD中，中，分别是四条边上的点，且分别是四条边上的点，且,HFGE,DHBCCFAE ,试说明：试说明：与与相互平分相互平分EFGH6 6、如图，平行四边形、如图，平行四边形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC和和BDBD交于交于O O，E E、F F分别为分别为OBOB、ODOD的中点，过的中点，过O O任作一直线分任作一直线分 别交别交ABAB、CDCD于于G G、H H 试说明：试说明：GFGFEHEH7 7、如图，已知、如图，已知，B B 是是ADAD的中点，的中点，E E 是是ABAB的中点的中点ACAB 试说明：试说明：CECD2 8 8、如图，、如图，E E 是梯形是梯形ABCDABCD腰腰DCDC的中点的中点试说明：试说明：ABCDABESS梯梯形形21 BDE 69 9、已知六边形、已知六边形 ABCDEFABCDEF 的的 6 6 个内角均为个内角均为 120120，CDCD2cm2cm，BCBC8cm8cm，ABAB8cm8cm，AF=5cmAF=5cm，试求此六边形的周长试求此六边形的周长1010、已知、已知是等腰三角形，是等腰三角形，AB=ACAB=AC，D D 是是 BCBC 边上的任一点，且边上的任一点，且ABC,ABDE ，垂足分别为，垂足分别为 E E、F F、H H，ABCHACDF ,求求 证：证：CHDFDE 1111、已知：在已知：在中，中，；在；在中，中，；连结；连结，取，取的中的中ABCRt BCAB ADERt DEAD ECEC点点，M 连结连结和和DMBM（1 1）若点）若点在边在边上，点上，点在边在边上且与点上且与点不重合，如图不重合，如图，DACEABB求证：求证：且且；DMBM DMBM （2 2）如果将图）如果将图 8-8-中的中的绕点绕点逆时针旋转小于逆时针旋转小于 4545的角，如图的角，如图，那么（，那么（1 1）ADE A中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明 7 M D B A C E 答案：答案：例例 4、连结连结 BFDEBF 证明：连结证明：连结,设设交于点交于点 O DFDB,ACDB,四边形四边形为平行四边形为平行四边形 ABCDOBDOOCAO ,即即FCAE FCOCAEAOOFOE 四边形四边形为平行四边形为平行四边形 EBFDDEBF 例例 5、解：将线段、解：将线段沿沿方向平移，使得方向平移，使得,则有四边形则有四边形为平行为平行DBDCCEDB BEDC CDBE四边形四边形,在在中中,ACE12AC10 BDCEmABAE22 ，即，即 解得解得 故选故选 A101221012m2222 m111 m例例 6、证明：过、证明：过分别作分别作于点于点，的延长线于点的延长线于点 FDA,BCAE EBCDF BCBEBCABBEBCBEABCEAEAC2)(22222222 CFBCBCCDCFBCCFCDBFDFBD2)()(22222222图图-M D B A C E 8则则BEBCCFBCDACDBCABBDAC22222222四边形四边形为平行四边形为平行四边形 且且,ABCDABCDCDAB BCAD DCFABC090DFCAEB DCFABECFBE 222222DACDBCABBDAC例例 7 7、证明：延长、证明：延长交交的延长线于点的延长线于点CFBAK四边形四边形为正方形为正方形 ABCD且且,ABCDCDAB ADCD 090DBCDBAD 又又,K1090DAKDAFDF CDFKAF ABCDAKADDFCDCE21,21DFCE 090DBCDBCECDF21 ,则则0903109032090CPB090KPBABAP 2 2、课堂练习课堂练习1 1、C C 2 2、平行、平行 3 3、1010 4 4、a5、分析：观察图形，分析：观察图形，EF 与与 HG 为四边形为四边形 HEGF 的对角线，若能说明四边形的对角线，若能说明四边形 HEGF 是平是平行四边形，根据行四边形，根据 平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到 EF 与与 GH 相互平分。相互平分。6、分析：观察图形，分析：观察图形，GF 与与 EH 为四边形为四边形 GEHF 的对边，若能说明四边形的对边，若能说明四边形 EHFG 是平行是平行四边形，平行四四边形，平行四 边形具有对边平行的性质可得边形具有对边平行的性质可得 GFEH 97、分析：延长分析：延长 CE 至至 F，使，使 EFCE，连结，连结 AF、BF，得四边形，得四边形 AFBC 是平行四边形，是平行四边形，利用平行四边形利用平行四边形 的性质证明的性质证明DBCFBC 即可。即可。8、分析：过点分析：过点 E 作作 MNAB，交，交 BC 于于 N，交，交 AD 的延长线于的延长线于 M，则四边形，则四边形 ABNM 是平是平行四边形，行四边形，ABE 与四边形与四边形 ABNM 等底等高，所以等底等高，所以 SABES平行四边形平行四边形 ABNM，接下来说，接下来说21明明 S梯形梯形 ABCDS平行四边形平行四边形 ABNM即可。即可。9、10、证明：证明：过过 D 点作点作 DGCH 于于 G 又又 DEAB 于于 E，CHAB 于于 H 四边形四边形 DGHE 为矩形为矩形 DEGH EHDG BGDC 又又 ABAC BACB GDCACB 又又DGCDFC90 CDDC（公共边）（公共边）CDGDCF（AAS）10 DFCG 又又 CHCGGH CHDFDG（等量代换）（等量代换）1111、平行四平行四边边形中常用形中常用辅辅助助线线的添法的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：其常用方法有下列几种，举例简解如下：11（1）连对连对角角线线或平移或平移对对角角线线：（2）过顶过顶点作点作对边对边的垂的垂线线构造直角三角形构造直角三角形（3）连连接接对对角角线线交点与一交点与一边边中点，或中点，或过对过对角角线线交点作一交点作一边边的平行的平行线线，构造，构造线线段平行或中段平行或中位位线线（4）连连接接顶顶点与点与对边对边上一点的上一点的线线段或延段或延长这长这条条线线段，构造三角形相似或等段，构造三角形相似或等积积三角形。三角形。（5）过顶过顶点作点作对对角角线线的垂的垂线线，构成，构成线线段平行或三角形全等段平行或三角形全等.第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例例 1 如左下图如左下图 1，在平行四边形，在平行四边形中，点中，点在对角线在对角线上，且上，且,请你请你ABCDFE,ACCFAE 以以为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中F已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）连结连结 BFDEBF 证明：连结证明：连结,设设交于点交于点 ODFDB,ACDB,四边形四边形为平行四边形为平行四边形 ABCDOBDOOCAO,即即FCAE FCOCAEAOOFOE 四边形四边形为平行四边形为平行四边形 EBFDDEBF 图 2图 1OOECCABDABDEF第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例例 2 如右图如右图 2，在平行四边形，在平行四边形中，对角线中，对角线和和相交于点相交于点 O，如果，如果，ABCDACBD12AC，那么，那么的取值范围是（的取值范围是（）10BDmAB mA B C D111 m222 m1210 m65 m解：将线段解：将线段沿沿方向平移，使得方向平移，使得,则有四边形则有四边形为平行四为平行四DBDCCEDB BEDC CDBE边形边形,在在中中,ACE12AC10 BDCEmABAE22，即，即 解得解得 故选故选 A101221012m2222 m111 m第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例例 3 已知：如左下图已知：如左下图 3，四边形，四边形为平行四边形为平行四边形ABCD 12 求证：求证：222222DACDBCABBDAC 证明：过证明：过分别作分别作于点于点，的延长线于点的延长线于点 FDA,BCAE EBCDF BCBEBCABBEBCBEABCEAEAC2)(22222222 CFBCBCCDCFBCCFCDBFDFBD2)()(22222222则则BEBCCFBCDACDBCABBDAC22222222四边形四边形为平行四边形为平行四边形 且且,ABCDABCDCDAB BCAD DCFABC090DFCAEB DCFABECFBE 222222DACDBCABBDAC321图 4图 3KPFEDCFEDABCBA第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例例 4：已知：如右上图：已知：如右上图 4，在正方形，在正方形中，中，分别是分别是、的中点，的中点，与与ABCDFE,CDDABE交于交于点，求证：点，求证：CFPABAP 证明：延长证明：延长交交的延长线于点的延长线于点CFBAK四边形四边形为正方形为正方形 ABCD且且,ABCDCDAB ADCD 090DBCDBAD 又又,K1090DAKDAFDF CDFKAF ABCDAKADDFCDCE21,21DFCE 090DBCDBCECDF21 ,则则0903109032090CPB090KPBABAP 第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。13例例 5 如左下图如左下图 5，在平行四边形，在平行四边形中，点中，点为边为边上任一点，请你在该图基础上任一点，请你在该图基础ABCDECD上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。解：延长解：延长与与的延长线相交于的延长线相交于，则有，则有,AEBCFAEDFECFABFECAEDFAB图 6图 5FONDDBACBACEFE第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线例例 6 已知：如右上图已知：如右上图 6，在平行四边形，在平行四边形中，中，,ABCDBNAN BCBE31NE交交于于，求，求BDFBDBF:解：连结解：连结交交于点于点,连结连结ACBDOON四边形四边形为平行四边形为平行四边形 ABCD2,BDODOBOCOA 且且 BNAN ONBC21BCON21FOBFONBE BCBE313:2:ONBE32FOBF 52BOBF5:1:BDBF综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。为证明解决问题创造条件。