有理数知识总结.pdf

1有理数知识总结有理数知识总结意义；科学计数法乘方运算顺序混合运算法则加、减、乘、除的运算有理数的运算近似数；精确度数的大小运用：几何意义、比较概念绝对值相反数小、利用数轴比较数的大运用：在数轴上表示数概念数轴有关概念有理数;1.相反意义的量相反意义的量 向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。2.正数和负数正数和负数 像+，+12，1.3，258 等大于 0 的数（“+”通常不写）叫正数。21像-5，-2.8，-等在正数前面加“”（读负）的数叫负数。43【注】0 既不是正数也不是负数。3.3.有理数有理数（1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。分数：正分数和负分数统称为分数。有理数：整数和分数统称为有理数有理数：整数和分数统称为有理数。（2）有理数分类1)按有理数的定义分类 2）按正负分类 正整数 正整数 整数 0 正有理数有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数【注】有限小数、无限循环小数也叫做分数。4.4.数轴数轴（1 1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。【注】1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可。2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数。（2）在数轴上比较有理数的大小 1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数。2 5.5.相反数相反数（1 1）只有符号不同的两个数称互为相反数）只有符号不同的两个数称互为相反数，如5 与 5 互为相反数。（2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义）（3）0 的相反数是 0。也只有 0 的相反数是它的本身。（4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。（5）数）数a a的相反数是的相反数是a a。（6）多重符号化简多重符号化简的结果是由“”号的个数决定的。如果“”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。6.6.绝对值绝对值（1）在数轴上表示数在数轴上表示数a a的点与原点的距离，叫做数的点与原点的距离，叫做数a a的绝对值。的绝对值。（2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零 0,0,00,aaaaaa（3）绝对值的主要性质 一个数的绝对值是一个非负数，即一个数的绝对值是一个非负数，即a a00，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零 （4）两个相反数的绝对值相等。两个相反数的绝对值相等。（5）运用绝对值比较有理数的大小 两个负数，绝对值大的反而小.（6）比较两个负数的方法步骤是：1）先分别求出两个负数的绝对值；2）比较这两个绝对值的大小；3）根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断 7.7.有理数的加法有理数的加法（1）有理数加法法则1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。3）互为相反数的两个数相加得零。4）一个数与 0 相加，仍得这个数。（2）有理数加法的运算律加法交换律：abba加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)8.有理数的减法有理数的减法减去一个数等于加上这个数的相反数。a-b=a+(-b)9.9.有理数的加减混合运算有理数的加减混合运算3（1）省略加号和的形式：在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写。例如：把-8+（+10）+（-6）+（-4）写成省略加号和的形式为-8+10-6-4。读作“负 8，正10，负 6，负 4 的和”也可读作“负 8 加 10 减 6 减 4。（2）适当的应用加法运算律。10.10.有理数的乘法有理数的乘法（1）有理数的乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零。（2）几个不等于零的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负号的个数为奇数时，积为负；当负号的个数为偶数时，积为正。几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。（3）乘法运算律乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac11.11.有理数的除法有理数的除法（1）倒数：乘积为倒数：乘积为 1 1 的两个数互为倒数。的两个数互为倒数。【注】0 没有倒数。（2）有理数除法法则 1：除以一个数等于乘以这个数的倒数。【注】0 不能做除数。)0(1abbab（3）有理数的除法法则 2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不等于的数，都得零。12.12.有理数的乘方有理数的乘方（1）求几个相同因数积的运算，叫做乘方。）求几个相同因数积的运算，叫做乘方。aaaana 个 n（2）乘方的结果叫做幂，乘方的结果叫做幂，a a叫做底数，叫做底数，n n叫做指数。叫做指数。（3）有理数乘方法则：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0 的任何非0 次幂都是零。13.13.科学记数法科学记数法（1）一般的，10 的n次幂，在 1 的后面有n的 0。（2）一个大于 0 的数就记成的形式。其中n是正整数。像这样的记数na 10,101 a法叫做科学记数法。414.14.有理数的混合运算有理数的混合运算（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减。（2）同级运算，按照从左至右的顺序进行。（3）如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的。15.15.近似数和有效数字近似数和有效数字（1）准确数：完全符合实际的数。（2）近似数：和准确数非常接近的数。近似数和准确数接近的程度叫做精确度。（3）一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是 0 的数字起到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。（4）近似数的精确度有两种形式：1）精确到哪一位，2）保留几个有效数字。【例题精讲例题精讲】一、有理数一、有理数“0”“0”的作用：的作用：作用举例表示数的性质0 是自然数、是有理数、是整数表示没有3 个苹果用+3 表示，没有苹果用 0 表示表示某种状态表示冰点00 C表示正数与负数的界点0 非正非负，是一个中性数二、数轴与数的关系二、数轴与数的关系例 1下列语句中正确的是（）A.数轴上的点只能表示整数 B.数轴上的点只能表示分数C.数轴上的点只能表示有理数 D.所有有理数都可以用数轴上的点表示出来.三、相反数、倒数三、相反数、倒数例 2、已知 a、b 互为倒数，c、d 互为相反数，且，那么0e|1e 的值为 。200920082007()()abcde例 3、知三个互不相等的有理数，即可以表示为 1，a+b，a 的形式，又可表示为 0，5，b 的形式，且 x 的绝对值为 2，求的值ba200820092()()()ababababx四、绝对值四、绝对值例 4、若+|2b+5|=0,计算 2a-b 的值.3a例 5、若，化简ab15_.baab 例 6、a，b 在数轴上的位置如图（1）化简：|_ab。|1|_b（2）比较大小：；。10aabab【利用几何意义求解利用几何意义求解】例 7、代数式的最小值为|2|3|xx。五、有理数的运算五、有理数的运算例 8、（1）；（2）；22133(3)33 111111112345六、科学记数法六、科学记数法近似数及有效数字近似数及有效数字例 9、用科学记数数表示：1305000000=；1020=.例 10、水星和太阳的平均距离约为 57900000 km 用科学记数法表示为 .例 11、近似数 3.5 万精确到 位，有 个有效数字.6例 12、近似数 0.4062 精确到 位，有 个有效数字.例 13、3.4030105保留两个有效数字是 ，精确到千位是 .7一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分）1.某粮店出售三种品牌的面粉,袋上分别标有质量为(250.1)kg、（250.2）kg、(2503)kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差()A.0.8kg B.0.6kg C.0.5kg D.0.4kg2、有理数 a 等于它的倒数，则 a2004是（）.最大的负数.最小的非负数 .绝对值最小的整数 .最小的正整数3、若，则的取值不可能是（）0ab abab A0 B.1 C.2 D.24、当2 时，37axbx的值为 9，则当2 时，37axbx的值是（）A、23 B、17C、23 D、175、如果有 2005 名学生排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1的规律报数，那么第 2005 名学生所报的数是（）A、1 B、2 C、3 D、46、若|a|=4，|b|=2，且|a+b|=a+b,那么 a-b 的值只能是().A.2 B.-2 C.6 D.2 或 67、x 是任意有理数，则 2|x|+x 的值().A.大于零 B.不大于零 C.小于零 D.不小于零8、观察这一列数：，,，依此规律下一个数是（345791017133316）A.B.C.D.45214519652165199、若表示一个整数，则整数x可取值共有().14xA.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个10、等于（）3028864215144321 A B C D414121218二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 32 分）分）11.请将 3，4，6，10 这四个数用加减乘除四则运算以及括号组成结果为 24的算式（每个数有且只能用一次）_；12.(3)2013()2014=；3113.若|x-y+3|+=0，则=.22013yxyxx214.北京到兰州的铁路之间有 25 个站台（含北京和兰州），设制 种票才能满足票务需求.15.设为有理数，则由 构成的各种数值是 cba,ccbbaa16.设有理数 a，b，c 在数轴上的对应点如图所示，则 b-a+a+c+c-b=；17.根据规律填上合适的数：1，8，27，64，,216；18、读一读：式子“1+2+3+4+5+100”表示从 1 开始的 100 个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+100”表示为，这里“”是求和符号，例如1001nn“1+3+5+7+9+99”（即从 1 开始的 100 以内的连续奇数的和）可表示为又如“”可表示为，同501(21);nn3333333333123456789101031nn学们，通过以上材料的阅读，请解答下列问题：（1）2+4+6+8+10+100（即从 2 开始的 100 以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ；（2）计算：=（填写最后的计算结果）。521(1)nn9三、解答题（共三、解答题（共 38 分）分）19、计算：（4 分）32775.23245232020、计算：、计算：（4 分）502524921、已知，02a1b求的值 2006200612211111 bababaab（7 分）22、（7 分）阅读并解答问题求的值，2008322.221解：可令 S，2008322.221则 2S，20094322.222因此 2S-S，122009所以2008322.221122009仿照以上推理计算出的值2009325.5511023.（8 分）三个互不相等的有理数，既可以表示为 1，的形式，也可ba a以表示为 0，的形式，试求的值abb20012000ba24、（8 分）电子跳蚤落在数轴上的某点 K0，第一步从 K0向左跳 1 个单位到K1，第二步由K1向右跳 2 个单位到 K2，第三步由 K2向左跳 3 个单位到 K3，第四步由 K3跳 4个单位到 K4，按以上规律跳了 100 步时，电子跳蚤落在数轴上的点 K100所表示的数恰是 20，试求电子跳蚤的初始位置 K0点所表示的数。