大一高数知识点-重难点整理.pdf

版权所有，仿冒必究版权所有，仿冒必究0第一章第一章 基础知识部分基础知识部分&1.1 初等函数一、函数的概念一、函数的概念1、函数的定义、函数的定义 函数是从量的角度对运动变化的抽象表述，是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。设有两个变量 x 与 y，如果对于变量 x 在实数集合 D 内的每一个值，变量 y 按照一定的法则都有唯一的值与之对应，那么就称 x 是自变量自变量，y 是 x 的函数函数，记作 y=f（x），其中自变量 x 取值的集合 D 叫函数的定义域定义域，函数值的集合叫做函数的值域值域。2、函数的表示方法、函数的表示方法 （1）解析法）解析法 即用解析式（或称数学式）表示函数。如 y=2x+1,y=x，y=lg(x+1),y=sin3x等。便于对函数进行精确地计算和深入分析。（2 2）列表法）列表法 即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。便于差的某一处的函数值。（3 3）图像法）图像法 即用图像来表示函数关系的方法 非常形象直观，能从图像上看出函数的某些特性。分段函数分段函数即当自变量取不同值时，函数的表达式不一样，如 0,120 x1,2xyxx 000,1sinxfxxxx 隐函数隐函数相对于显函数而言的一种函数形式。所谓显函数，即直接用含自变量的式子表示的函数，如 y=x+2x+3，这是常见的函数形式。而隐函数是指变量 x、y 之间的函数关系式是由一个含 x，y 的方程 F(x,y)=0 给出的，如 2x+y-3=0，等。而由0eyxyx2x+y-3=0 可得 y=3-2x，即该隐函数可化为显函数。参数式函数参数式函数若变量 x,y 之间的函数关系是通过参数式方程给出的，Tttytx，这样的函数称为由参数方程确定的函数，简称参数式方程，t 称为参数。反函数反函数如果在已给的函数 y=f(x)中，把 y 看作自变量，x 也是 y 的函数，则所确定的函数 x=(y)叫做 y=f(x)的反函数，记作 x=f(y)或 y=f(x)(以 x 表示自变量).二、函数常见的性质二、函数常见的性质1 1、单调性、单调性（单调增加、单调减少）2 2、奇偶性、奇偶性（偶:关于原点对称，f（-x）=f（x）；奇：关于 y 轴对称，f（-x）=-f(x).）3 3、周期性、周期性（T 为不为零的常数，f（x+T）=f（x），T 为周期）4 4、有界性、有界性（设存在常数 M0，对任意 xD，有 f(x)M,则称 f(x)在 D 上有界有界，版权所有，仿冒必究版权所有，仿冒必究1如果不存在这样的常数 M，则称 f(x)在 D 上无界无界。5 5、极大值、极小值、极大值、极小值6 6、最大值、最小值、最大值、最小值三、初等函数三、初等函数 1 1、基本初等函数、基本初等函数 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数共六大类函数统称为基本初等基本初等函数。函数。（图像、性质详见 P10）2 2、复合函数、复合函数如果 y 是 u 的函数 y=f(u),而 u 又是 x 的函数 u=(x)，且(x)的值域与 f(x)的定义域的交非空，那么 y 也是 x 的函数，称为由 y=f(u)与 u=(x)复合而成的复合函数复合函数，记作 y=f(x)。3 3、初等函数、初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合构成的，并且能用一个数学式子表示的函数，称为初等函数。初等函数。四、函数关系举例与经济函数关系式四、函数关系举例与经济函数关系式1 1、函数关系举例、函数关系举例2 2、经济函数关系式、经济函数关系式 （1 1）总成本函数）总成本函数总成本=固定成本+变动成本 平均单位成本=总成本/产量 （2 2）总收益函数）总收益函数销售总收益=销售价格产量 （3 3）总利润函数）总利润函数总利润=销售总收益-总成本 （4 4）需求函数）需求函数若其他因素不变，需求量 Q=f(P)(P 为产品销售价格)&1.2&1.2 函数的极限函数的极限一、数列的极限一、数列的极限 对于无穷数列an，当项数 n 无限增大时，如果 an无限接近于一个确定的常数 A，则称 A 为数列an的极限极限，记为，或当 n时，anA。Aann=lim 若数列an存在极限，也称数列an收敛收敛，例如，（C01nlimnCC nlim为常数），。()10qqnnlim 若数列an没有极限，则称数列an发散发散。数列极限不存在的两种情况：（1）数列有界，但当 n时，数列通项不与任何常数无限接近，如：；11n （2）数列无界，如数列n。二、当二、当 x0 x0 时，函数时，函数 f f（x x）的极限）的极限 如果当 x 的绝对值无限增大（记作 x）时，函数 f(x)无限地接近一个确定的常数 A，那称 A 为函数 f(x)当 x时的极限，极限，记作，或当 x时，f(x)AxfxlimA。单向极限定义单向极限定义 如果当或时，函数 f(x)无限接近一个确定的长寿xx版权所有，仿冒必究版权所有，仿冒必究2湖 A，那么称 A 为函数 f(x)当或时得极限，记作xx。AxfnAxfxlimlim三、当三、当 XXoXXo 时，函数时，函数 f f（x x）的极限）的极限1 1、当、当 XXoXXo 时，函数时，函数 f(x)f(x)的极限定义的极限定义 如果当 x 无限接近 Xo(记作 XXo)时，函数 f(x)无限接近于一个确定的常数 A，则称 A 为函数 f(x)当 XXo 时的极限极限，记作，或当 XXo 时，f(x)A。Axfnlim2 2、当、当 XXoXXo 时，函数时，函数 f(x)f(x)的左极限和右极限的左极限和右极限 如果当 XXo（或）时，函数 f(x)无限接近一个确定的常数 A，则称函数0 xxf(x)当 XXo 时的左极限（右极限）为 A，记作。AxfxxAxfxx00limlim四、无穷大与无穷小四、无穷大与无穷小1 1、无穷大与无穷小的定义、无穷大与无穷小的定义 如果当 XXo 时，f(x)0，就称 f(x)当 XXo 时的无穷小无穷小，记作；0lim0 xfxx如果当 XXo 时，f(x)的绝对值无限增大，就称函数 f(x)当 XXo 时为无穷大无穷大，记作。其中，如果当 XXo 时，f(x)向正的方向无限增大，就称函数 f(x)当 xfxx0limXXo 时为正无穷大正无穷大，记作；如果当 XXo 时，f(x)向负的方向无限增 xfxx0lim大，就称函数 f(x)当 XXo 时为负无穷大负无穷大，记作。xfxx0lim2 2、无穷小与无穷大的关系、无穷小与无穷大的关系 在自变量的同一变化中，如果 f(x)为无穷大，那么为无穷小；反之，如果)(f1xf(x)为无穷小，那么为无穷大。)(f1x 根据这个性质，无穷大的问题可以转化为无穷小的问题。3 3、无穷小的性质、无穷小的性质 性质性质 1 1：有限个无穷小的代数和为无穷小；性质性质 2 2：有限个无穷小的乘积为无穷小；性质性质 3 3：有界函数与无穷小的乘积为无穷小。4 4、无穷小的比较、无穷小的比较 设 a 与 b 是自变量同一变化中的两个无穷小，记作 a=o(b)；版权所有，仿冒必究版权所有，仿冒必究3 (1)如果 lim=0，则称 a 是比 b 低阶低阶的无穷小；ba (2)如果 lim=,则称 a 是比 b 高阶高阶的无穷小；ba (3)如果 lim=c(c 为非零的常数),则称 a 是比 b 同阶同阶的无穷小。ba 特别的，当 c=1,即 lim=1 时，称 a 与 b 是等阶等阶无穷小，记作 ab。ba&1.3&1.3 极限运算法则极限运算法则法则一法则一 若 lim u=A，lim v=B，则 lim(uv)=lim ulim v=AB;法则二法则二 若 lim u=A，lim v=B，则 lim(uv)=lim ulim v=AB；法则三法则三 若 lim u=A，lim v=B，且 B0，则 lim=vuvulimlimBA推论推论 若 lim u=A，C 为常数，kN，则 (1)lim Cu=Clim u=CA；(2)lim=kuku)(limkA注注 运用这一法则的前提条件是 u 与 v 的极限存在（在商的情况下还要求分母的极限不为零）。&1.4&1.4 两个重要极限两个重要极限一、一、=1=10 xlimxsin x二、二、=e=exx11xlim&1.5&1.5 函数的连续性函数的连续性一、函数连续性的概念一、函数连续性的概念1.1.函数在某点的连续性函数在某点的连续性 若函数 f(x)在点及其左右有定义，且f(x)=f()，则称函数 f(x)在点0 x0 xxlim0 x处连续连续，为函数 f(x)的连续点连续点。0 x0 x 理解这个定义要把握三个要点：（1）f(x)要在点及其左右有定义；0 x （2）f(x)要存在0 xxlim版权所有，仿冒必究版权所有，仿冒必究4 （3）f(x)=f()。0 xxlim0 x 增量增量 x=x-y=f(x)-f()0 x0 x 设函数 f(x)在点及其左右有定义，如果当自变量 x 在点处的增量x 趋近于零0 x0 x时，相应的函数增量y 也趋近于零，即，则称函数 f(x)在点在点处连续处连续，0y0 xlim0 x为 f(x)的连续点连续点。0 x2.2.函数在区间上的连续性、连续函数函数在区间上的连续性、连续函数 如果函数 f(x)在区间（a，b）上每一点上连续，则称函数 f(x)在区间（在区间（a a，b b）上连）上连续。续。如果函数如果函数 f(x)在某个区间上连续，就称 f(x)是这个区间上的连续函数连续函数。二、连续函数的运算与初等函数的连续性二、连续函数的运算与初等函数的连续性1.1.连续函数的运算连续函数的运算 如果两个函数在某一点连续，那么它们的和、差、积、商（分母不为零）在这一点也连续。设函数在点处连续，且，函数 y=f(u)点处连续，那么复 u0 x 00 xu0u合函数在点处也连续。)x(fy00 x2.2.初等函数的连续性初等函数的连续性 初等函数在其定义域内是连续的。第二章第二章 微分与导数微分与导数&2.1&2.1 导数的概念导数的概念设函数 y=f(x)在点处及其左右两侧的小范围内有定义，当x0 时，若得极0 xxy限存在，则称 y=f(x)在点点处可导处可导，并称此极限值为函数 y=f(x)点点处的导数处的导数，记作0 x0 x，xxfxxf0 xlimxy0 xlimxf000还可记作 y。dxdy0 xx或dxdy0 xx，0 xx函数 f(x)在点可导且 f()=A 等价于()和()都存在且等于 A，即0 x0 x f0 x f0 x版权所有，仿冒必究版权所有，仿冒必究5。AxfxfAxf000根据这个定理，函数在某点的左、右导数只要有一个不存在，或者虽然都存在但不相等，该点的导数就不存在。&2.2&2.2 导数的四则运算法则和基本公式导数的四则运算法则和基本公式一、导数的四则运算法则一、导数的四则运算法则设函数 u=u(x)，v=v(x)都可导，则 （1）；vuvu （2），特别的，(ku)=ku,其中 k 为常数。()uvuvu+=（3）若，则，特别的，其中 k 是常0v 2vvuvuvu 2vvkvk数。推论推论 若函数，.，都可导，则 xuu11 xuu22 xuumm (1)；m21m21uuuuuu (2).m21m21m21m21uuuuuuuuuuuu 若函数 y=f(x)在开区间 I 内单调、可导，且 f(x)0，则反函数在对应 yfx-1区间内可导，且，或。xf1yf1-1xyyx二、导数的基本公式二、导数的基本公式(1)，c 为任意常数；(2),为任意非零实数；0c 1xx(3),a0 且 a1；(4)；aln aaxx xexe(5)，a0 且 a1；(6)；axxln1logax1ln x(7)；(8)；xcossin xxsin xcos(9)；(10)；x2sectan xx2csccot x(11)；(12)；211arcsin xx211 xarccosx(13)；(14)。211arctan xx211arccot xx版权所有，仿冒必究版权所有，仿冒必究6&2.3&2.3 复合函数、隐函数求导法则复合函数、隐函数求导法则一、复合函数求导法则一、复合函数求导法则设函数 y=f(u)在 u 处可导，u=(x)在 x 处可导，则复合函数 y=f(u(x)在 x 处可导，且导数为或。dxdududfdxdy xuuufy可见，复合函数对自变量的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。具体求导步骤如下：（1）引进中间变量 u，将复合函数分解为基本初等函数 y=f(u)与函数 u=u(x)。（2）计算在将 u=u(x)代入，表示成关于 x 的表达式。,fuu xuuf（3）计算 u(x),若 u(x)是基本初等函数或简单函数，直接求出 u(x)。若 u=u(x)仍然是复合函数，则继续分解，重复上述步骤，直至求出 u(x)。最后作乘积即求得 y。xuxuf二、隐函数求导法则二、隐函数求导法则若需求因隐函数 y 在点处的导数值，具体求法是：0 xy0 xx （1）先由方程 F（x，y）=0 求出对应于的函数值 y=；0 xx 0y （2）再求出，然后将，y=代入，所得数值即为。y0 xx 0yy0 xx&2.4&2.4 高阶导数高阶导数 函数 y=f(x)的 n-1 阶导数的导数称为函数 y=f(x)的 n 阶导数，记作或 x1-nf ny，。xnfndxyndndxfnd 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数，相应地，函数 y=f(x)的导数称为一阶一阶 xf导数导数。求高阶导数只需反复进行一阶导数的求导运算即可。&2.5&2.5 函数的微分函数的微分设函数 y=f(x)在点处及其左右两侧的小范围内有定义，自变量 x 在点处有改变0 x0 x量，相应的函数该变量为。若存在常数 A，使得当时，是比0 xy0 xxAy高阶的无穷小，即，则称函数 y=f(x)在点处可微，并称x00limxxAyx0 x为函数 y=f(x)在点处的微分，记作 dy。xA0 xxAxx0函数 y=f(x)在点处可微与在点处0 x0 x可导等阶，且 dy。xxfxx00版权所有，仿冒必究版权所有，仿冒必究7若函数 y=f(x)在区间 I 上没一点都可微，则称函数 y=f(x)在区间在区间 I I 上可微上可微。函数的微分可以写成。dxxfdy根据函数 y=f(x)的微分表达式、基本初等函数的导数公式及运算法则，可得以下微分运算公式及法则：（1）d(c)=0（c 为常数）（2）d(u(x)+c)=d(u(x)(c 为常数)（3）d(ku(x)=kd(u(x)(k 为常数)（4）d(u(x)v(x)=d(u(x)d(v(x)（5）d(u(x)v(x)=v(x)d(u（x）)+u（x）d(v(x)（6）2vudvvduvud（7）dxxuxufxufd如果函数 y=f(u)对 u 可微，u=u(x)对 x 可微，则。我们把这个定理称为 duufdy微分形式不变性微分形式不变性。&2.6&2.6 函数的单调性、极值与最值函数的单调性、极值与最值一、函数的单调性一、函数的单调性设函数 f(x)在开区间 I 内可导：（1）如果，那么函数 f(x)在 I 内单调增加；0 xf （2）如果，那么函数 f(x)在 I 内单调减少。0 xf 如果函数 f(x)的一阶导数在开区间 I 内恒非负（恒非正），且使得=0 的点 xf xf 只是一些孤立的点，那开区间 I 为函数 f(x)的单调增加区间（单调减少区间）。二、函数的极值二、函数的极值若函数 f(x)在点处的一阶导数值，则称点为函数 f(x)的驻点驻点。0 x 00 xf0 x若函数 f(x)在点处可导，且是 f(x)的极值点，则必是函数 f(x)的驻点。0 x0 x0 x极值存在的第一充分条件：极值存在的第一充分条件：设函数 f(x)只可能在有限的几个点处不可导，点为 f(x)的0 x驻点或一阶导数不存在的点，当 x 从点的左侧变化到右侧时：0 x（1）如果一阶导数变号，且从正号（负号）变化到负号（正号），则点为函 xf 0 x数 f(x)的极大值点（极小值点）；（2）如果一阶导数不变号，则点不是函数 f(x)的极值点。xf 0 x版权所有，仿冒必究版权所有，仿冒必究8极值存在的第二充分条件：极值存在的第二充分条件：设函数 f(x)在其驻点处二阶可导。0 x（1）若，则是函数 f(x)的极大值点；0 xf 0 x（2）若，则是函数 f(x)的极小值点。0 xf 0 x三、函数的最值三、函数的最值闭区间上的连续函数必有最值。最值可在区间内部取得，也可在区间端点取得。结合最值与极值的关系，求函数 f(x)在a，b上的最值的步骤如下：（1）求出函数在开区间（a，b）内所有可能的极值点的函数值（包括驻点、间断点及导数不存在的点的函数值）；（2）求出区间点的函数值 f(a)和 f(b)；（3）将这些函数值进行比较其中最大（小）者为最大（小）值。&2.8&2.8 经济应用经济应用一、边际函数一、边际函数 总成本函数 C=C(x)对产量 x 的一阶导数称为边际成本函数边际成本函数；总收益函数 R=R(x)xC对产量 x 的一阶导数称为边际收益函数边际收益函数；总利润函数 L=L(x)对产量 x 的一阶导数 xR称为边际利润函数边际利润函数。xL二、需求弹性函数二、需求弹性函数 需求函数 Q=Q(P)对销售价格 P 的相对变化率称为需求弹性函数，记作。PPQPQP