高一数学必修二知识点.pdf

1高一数学必修二知识点第一部分：立体几何第一部分：立体几何一、多面体一、多面体 1.多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。多面体有几个面就称为几面体。棱柱棱锥棱台定义由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体。当棱柱的一个底面收缩为一点时，得到的几何体。棱锥被一个平行于底面的平面所截后，截面和底面之间的部分。性质(1)两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形；(2)侧面都是平行四边形，侧棱都相等；(3)过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。(1)底面是多边形；(2)平行于底面的截面与底面相似；(3)侧面是有一个公共顶点的三角形。(1)两个底面是相似多边形；(2)两个底面以及平行于底面的截面是对应边互相平行的相似多边形；(3)侧面都是梯形。2.正方体2二、中心投影和平行投影二、中心投影和平行投影 1.投影是光线（投射线）通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该面上得到图形的方法。投射线交于一点的投影称为中心投影。投射线相互平行的投影称为平行投影。平行投影按投射方向是否正对着投影面，可分为斜投影和正投影。2.视图物体按正投影向投影面投射所得的图形。光线从物体的前面向后投射所得的投影称为主视图或正视图，自上向下的称为俯视图，自左向右的称为左视图。正视图、俯视图、左视图称为三视图；作图关键：按“长对正、高平齐、宽相等”。3.空间几何体画在纸上，要体现立体感，底面常用斜二侧画法，画出它的直观图。三角形ABC 的面积为 S，用斜二测画法画得它的直观图三角形的面积为，则。作图A B C S24SS关键：倾斜 45，横“等”纵“半”。三、平面基本性质：三、平面基本性质：（三公理三推论）名 称内 容公理 1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。公理 2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线。公理 3经过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面。推论 1经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。推论 2经过两条相交直线，有且仅有一个平面。推论 3经过两条平行线，有且仅有一个平面。四空间两条不重合的直线的位置关系四、空间两条不重合的直线的位置关系31.空间两条直线有三种位置关系：(1)相交直线；(2)平行直线；(3)异面直线。2.若从有无公共点角度看，可分两类：有且只有一个公共点相交直线 平行直线没有公共点 异面直线3.若从是否共面的角度看,可分为两类：相交直线在同一平面内 平行直线不同在任一平面内异面直线4.异面直线(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。(2)性质:两条异面直线既不相交也不平行。(3)判定定理连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。(4)异面直线所成的角设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，ba,O/,/aa bb我们把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角)。abab(5)异面直线所成角的范围为。0,2(6)求异面直线所成的角分两步：一是找角，通过平行移动找两直线所成的角；二是求角，通过解三角形求角。4两条异面直线所成的角是直角,则称两条异面直线互相垂直.所以线线垂直包括两条相交直线互相垂直和两条异面直线互相垂直两种情况。5五、空间的直线与平面五、空间的直线与平面1定义线面平行的判定定理线面平行的性质定理线面平行如果一条直线 与一个l平面没有公共点，我们就说直线 与平面平行。l记作:/l,/allla即：线线平行线面平行/,/lllaa即：线面平行线线平行2定义线面垂直的判定定理线面垂直的性质定理线面垂直，有a la 记作:l,la lbab Ola b 即：线线垂直线面垂直,/abab即：线面垂直线线平行证明线面平行，要抓住上述判定定理中的“内”“外”两关键字眼，“内应外合”。通过勾股定理的逆定理计算得出垂直也是常用手段。3.点到平面的距离过外一点向作垂线，则和垂足之间的距离叫做点到AABA平面的距离。4.线面所成的角平面的一条斜线 与它在该平面内的射影所成的锐角，叫做这条直l线与这个平面所成的角.时称 与所成的角为直角；时称 与所成的角为角。ll/ll0线面角范围为。0,2 5.三垂线定理：如果平面内一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。6.三垂线逆定理：如果平面内一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。6六、空间的平面与平面六、空间的平面与平面1定义面面平行的判定定理面面平行的性质定理面面平行记为:/如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行即：线面平行面面平行如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。即：面面平行线线平行2定义面面垂直的判定定理面面垂直的性质定理面面垂直如果两个平面所成的二面角是直二面角,我们就说这两个平面互相垂直。如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。即：线面垂直面面垂直如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。即：面面垂直线面垂直 3.二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。棱为，两个半平面分别为的二面角记为。l,l 二面角范围为。0,4.二面角平面角的作法：一是定义，在棱上取一点，分别在二面角的两个面作与棱垂直的射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角；二是利用线面垂直的判定和性质，在二面角的一个面内取一点作另一个面的垂线，自垂足作二面角的棱的垂线，与棱交于点PAAOAO，则即为二面角的平面角或其补角；三是过空间一点作二面角的棱的垂面，垂面与二OPOA面角的两个面的交线所成的角是二面角的平面角7七、柱、锥、台、球的表面积和体积七、柱、锥、台、球的表面积和体积 1.侧面积公式（注:表示柱、锥、台的底面周长，表示棱台上底面周长，表示正棱cch锥或正棱台的斜高）直棱柱正棱锥正棱台公式Sch体体体体12Sch体体体体1()2Scc h 体体体体 2.体积公式棱柱棱锥棱台公式VSh体体13VSh体体1)3Vh SSSS体体体 3.球与定点的距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球。球面与定点距离等于定长的点的集合。大圆球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆。两点的球面距离球面上两点之间的最短距离（就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度）。4.球的截面性质(1)用一个平面截球，所得的截面是一个圆面；(2)球心和截面圆心的连线截面；(3)球心到截面距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 满足关系：。22rRd 5.球面面积公式：24SR体体 6.球体积公式：343VR体89第二部分：直线方程第二部分：直线方程一、直线一、直线1直线的方程（1）直线 的倾斜角的取值范围是；平面内的任意一条直线都有唯一确定的l0倾斜角。（2）直线 的斜率且）。ltan(0,k2变化情况如下：倾斜角斜率k变化关系(0,)20k随的增大而增大k(,)20k随的增大而增大k2不存在k任何直线都有倾斜角，但不一定有斜率斜率的计算公式：若斜率为的直线过点与，则。k111(,)P x y222(,)P x y211221()yykxxxx（3）直线方程的五种形式名称条件方程形式不能表示的直线特殊情况点斜式直线 的斜率为，lk且经过点11(,)P x y11()yyk x x不能表示垂直于轴x的直线时，0k方程为1yy斜截式直线 的斜率为，lk在轴上的截距为yby kx b不能表示垂直于轴x的直线时0ky b两点式直线 经过两点l，111(,)P x y222(,)P xy112121yyx xyyxx不能表示垂直于轴x和轴的直线b时，12xx10且，12xx12yy方程为；1x x时，12yy方程为1yy截距式直线 在轴和轴上的lxy截距分别为和（ab）0,0ab1yxab不能表示垂直于轴x和轴及过原点的直y线一般式0Ax By C（不同时为零）,A B可以表示平面内的任意直线112两条直线位置关系（1）设两条直线和，则有下列结论：111:l y k x b222:l y k x b且；。1212/llkk12bb12121llk k（2）设两条直线不全为和，不全111111:0(,l Ax B y CA B0)2222:0l A x B y C22(,A B为 0)，则有下列结论：且或且；12/ll 12210ABA B12210BCB C12210ABA B12210ACA C。12ll 12120A AB B（3）求两条直线交点的坐标：解两条直线方程所组成的二元一次方程组而得解。（4）与直线平行的直线一般可设为；0Ax By C0Ax By m与直线垂直的直线一般可设为。0Ax By C0BxAy n（5）过两条已知直线交点的直线系：1112220,0Ax B y CA x B y C111222222()0(0)Ax B y CA x B y CA x B y C其中不包括直线3中点公式：平面内两点、，则两点的中点为。111(,)P x y222(,)P xy12,P P(,)P x y1212,22yyxxxy4两点间的距离公式：平面内两点，则两点间的距离为：111(,)P x y222(,)P xy12,P P。221 21212()()PPxxyy5点到直线的距离公式：12平面内点到直线的距离为：。111(,)P x y0Ax By C1122|AxByCdAB设平面两条平行线，12:0,:0,l Ax By Cl Ax By DCD。12ll则与的距离为22CDdAB13二、对称问题二、对称问题 1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。设，对称中心为，则 P 关于 A 的对称点为。00(,)P xy(,)A a b00(2,2)Pa xby2.点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：设点关于直线的对称点为，则有，00(,)P xyy kx b(,)P x y 00001,22yykxxyyxxkb 可求出,。xy特殊地，点关于直线的对称点为；点关于直线00(,)P xyx a00(2,)Pa xy00(,)P xy的对称点为。y b00(,2)P xby3.曲线关于点、曲线关于直线成中心对称或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）。一般结论如下：（1）曲线关于已知点的对称曲线的方程是。(,)0f x y(,)A a b(2,2)0fa xby （2）曲线关于直线的对称曲线的求法：(,)0f x y y kx b设曲线上任意一点为，P 点关于直线的对称点为，(,)0f x y 00(,)P xyy kx b(,)P x y则由（2）知，P 与的坐标满足，从中解出、，代入已知曲线P0000122yykx xyyxxkb 0 x0y14，应有。利用坐标代换法就可求出曲线关于直线的(,)0f x y 00(,)0f xy(,)0f x y y kx b对称曲线方程。4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点关于轴的对称点为；(,)x yx(,)xy （2）点关于轴的对称点为；(,)x yy(,)x y （3）点关于原点的对称点为；(,)x y(,)xy （4）点关于的对称点为；(,)x y0 xy(,)y x （5）点关于直线的对称点为。(,)x y0 xy(,)yx