基本不等式知识点归纳.pdf

基本不等式知识点总结基本不等式知识点总结向量不等式：向量不等式：|ababab【注意】：a b、同向或有0|abab|abab；a b、反向或有0|abab|abab；a b、不共线|ababab.(这些和实数集中类似)代数不等式代数不等式：,a b同号或有0|abababab；,a b异号或有0|abababab.绝对值不等式：绝对值不等式：123123aaaaaa(0)ababab ab 时,取等双向不等式：ababab（左边当0(0)ab时取得等号，右边当0(0)ab时取得等号.）放缩不等式：放缩不等式：00abam值，则bmbbmamaam.【说明】：bbmaam（0,0abm，糖水的浓度问题）.【拓展】：，则，000nmbabanbnamambab1.,a b cR，bdac，则bbddaacc；nN，1112nnnnn；,1nNn，21111111nnnnn.ln1xx(0)x,1xex()xR.函数函数图象及性质图象及性质()(0)bf xaxabx、(1)函数图象如图：0)(baxbaxxf、(2)函数性质：0)(baxbaxxf、值域：；),22,(abab 单调递增区间：，；单调递减区间：，(,ba,)ba(0,baxabab2ab2aboy.,0)ba 基本不等式知识点总结基本不等式知识点总结重要不等式重要不等式1、和积不等式：,a bR222abab(当且仅当ab时取到“”)【变形】：222()22ababab（当 a=b 时，222()22ababab）【注意】：(,)2ababa bR，2()(,)2ababa bR2、均值不等式：两个正数ba、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均”2222“”1122ababababababab（当且仅当时取）*.若，则(当且仅当时取“=”）;0 x 12xx1x 若，则(当且仅当时取“=”）0 x 12xx 1x 若，则 (当且仅当时取“=”）0 x 11122-2xxxxxx即或ba*.若，则 (当且仅当时取“=”）0ab2abbaba 若，则 当且仅当时取“=”）0ab 22-2abababbababa即或ba 3、含立方的几个重要不等式（a、b、c 为正数）：3333abcabc（0abc 等式即可成立，时取等或0cbacba）；33abcabc 3()3abcabc3333abc *不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当时，时，0ab同时除以同时除以 abab 得得或或。abba2222baabbaab11 *均为正数，,bababa 22八种变式：；222baab2)2(baab2)2(222baba；若 b0,则；a0,b0,则；)(222babababa 22baba411若 a0,b0,则；若，则。abba4)11(20ab222)11(2111baba上述八个不等式中等号成立的条件都是“”。ba 最值定理最值定理（积定和最小）,0,2x yxyxy由，若积()xyP值值，则当xy时和xy有最小值2p；（和定积最大）,0,2x yxyxy由，若和()xyS值值，则当xy是积xy有最大值214s.【推广推广】：已知Ryx,，则有xyyxyx2)()(22.（1）若积xy是定值，则当|yx 最大时，|yx 最大；当|yx 最小时，|yx 最小.（2）若和|yx 是定值，则当|yx 最大时，|xy最小；当|yx 最小时，|xy最大.已知,Ra x b y，若1axby，则有则的最小值为：21111()()2()byaxaxbyababababxyxyxy已知，若则和的最小值为：.应用基本不等式求最值的应用基本不等式求最值的“八种变形技巧八种变形技巧”：凑系数（乘、除变量系数）.例 1.当 04x时，求函的数(82)yxx最大值.凑项（加、减常数项）：例 2.已知54x，求函数1()4245f xxx的最大值.调整分子：例 3.求函数2710()(1)1xxf xxx 的值域；变用公式：基本不等式2abab有几个常用变形,2222abab，222()22abab不易想到，应重视；例 4.求函数152152()22yxxx 的最大值；连用公式：例 5.已知0ab，求216()yab ab的最小值；对数变换：例 6.已知1,12xy，且xye，求ln(2)ytx的最大值；三角变换：例 7.已知20yx，且tan3tanxy，求txy的最大值；常数代换（逆用条件）：例 8.已知0,0ab，且21ab，求11tab的最小值.“单调性单调性”补了补了“基本不等式基本不等式”的漏洞：的漏洞：平方和为定值平方和为定值若22xya（a为定值，0a），可设cos,sin,xaya，其中02.(,)sincos2 sin()4f x yxyaaa在150,2)44上是增函数，在15,44上是减函数；1(,)sin22g x yxya在13570,2)4444上是增函数，在1357,4444上是减函数；11sincos(,)sincosxym x yxyxya.令sincos2 sin()4ta，其中2,1)(1,1)(1,2t.由212sincost，得22sincos1t，从而222(,)1(1)()tm x ya ta tt在2,1)(1,1)(1,2上是减函数.和为定值和为定值若xyb（b为定值，0b），则.ybx2(,)g x yxyxbx 在(,2b上是增函数，在,)2b上是减函数；211(,)xybm x yxyxyxbx.当0b 时，在(,0),(0,2b上是减函数，在,),(,)2bbb 上是增函数；当0b时，在(),(,2bbb上是减函数，在,0),(0,)2b上是增函数.2222(,)22n x yxyxbxb在(,2b上是减函数，在,)2b上是增函数；积为定值积为定值若xyc（c为定值，0c），则.cyx(,)cf x yxyxx.当0c 时，在,0),(0,cc上是减函数，在(,)cc 上是增函数；当0c时，在(,0),(0,)上是增函数；111(,)()xycm x yxxyxycx.当0c 时，在,0),(0,cc上是减函数，在(,)cc 上是增函数；当0c时，在(,0),(0,)上是减函数；222222(,)()2ccn x yxyxxcxx在(,),(0,cc 上是减函数，在(,0,)cc上是增函数.倒数和为定值倒数和为定值若112xyd（d为定值，1 1 1,x dy），则.cyx成等差数列且均不为零，可设公差为z，其中1zd，则1111,zzxdyd得,.11ddxydzdz.222()1df xxyd z.当0d 时，在11(,),(,0dd 上是减函数，在110,),(,)dd上是增函数；当0d 时，在11(,),(,0dd上是增函数，在110,),(,)dd上减函数；222(,).1dg x yxyd z.当0d 时，在11(,),(,0dd 上是减函数，在110,),(,)dd上是增函数；当0d 时，在11(,),(,0dd上是减函数，在110,),(,)dd上是增函数；222222222(1)(,).(1)dd zn x yxyd z.令221td z，其中1t且2t，从而22222(,)4(2)4d tdn x yttt在1,2)上是增函数，在(2,)上是减函数.