Fourier变换练习题(全-有答案).pdf

1积分变换练习题积分变换练习题 第一章第一章 Fourier 变换变换_系系_专业专业 班级班级 姓名姓名_ _学号学号_1 Fourier 积分积分 2 Fourier 变换变换一、选择题1设，则 0()()f ttt()f tF（A）（B）（C）（D）120j te0j te000()()i ti ti tt tf ttt edteeF二、填空题1设，则函数的 Fourier 积分表达式为0a,0(),0atatetf tet()f t2202cosatdta000()()00()()2201()()()=limlim112=limlim;()112()()=22i tati tati tRa ita itRRRRa ita itRRRi tFf tf t edteedte edtedtedteeaaiaiaiaiaFFedFF22220(cossin)2cos=atit daatda2设，则()()f t F()f t 12 10111()()=222i ti te de F3设，则2()sinf tt()f tF()(2)(2)2 22221cos2()()=sin211()()(2)(2)242i ti ti ti tititi ttf tf t edttedtedtedteeedt F4设为单位脉冲函数，则()t2()cos()3ttdt14221()cos()cos()334ttdt三、解答题1求下列定积分：(可用高等数学的方法做)10(1)sinazebzdz10(2)cosazebzdz1()111()0000222222101(cossin)(cossin)1)()cossin1sincos(cossin)(coa ib za ibazazibza ib zaaaaaazaxeeebzibz dze e dzedzaibaibebibaibaebbebaebbebbiabababIebzibz dze在原积分中，由于被积函数解析，则11001100ssin),cosRe;sinImaxibxazazbxibx dxe e dxebzdzIebzdzI从而2求矩形脉冲函数的 Fourier 变换。,0()0,Atf t 其他0(1)()()=Aii ti tAef tf t edtAedtiF3求下列函数的 Fourier 积分：，,|1(1)()0,|1ttf tt解法一：31112221()()=1112sin(cos)112sin()()(cos)2212sin(cos)(cossin)22sinsincossini ti ti tiii ti tFf t edttedti tiiieeeif tFededitit dtt；20d解法二：由于 f(t)为奇函数，故由课本 P12 页的(1.12)式可知，100001110000010022()()sinsinsinsin2121cossincoscossin21sin21sincossincosf tfdtddtddtddtdtd 020sin2sincossintdtd4011000,1,1,10,(2)()1,01,0,1.()()()=()(cossin)2()sin2 cos2(cos1)2sin112(cos()()=22i ti tttf tttf tFf t edtf ttit dtif ttdtitiitdtif tFe dt 解法一：为奇函数，从而01)(cos1)(cossin)2(1cos)sini te dtitittdtdt解法二：同上题，根据余弦逆变换公式可得：10000100022()()sinsinsinsin2cos21cossinsinf tfdtdtdtdttdttdt 4求函数的 Fourier 积分,并计算下列积分：sin,|()0,|t tf tt20sin,|sinsin210,|t ttdt解：同上题，00000000022()()sinsinsin sinsin11sin(1)sin(1)cos(1)cos(1)sinsin111sin(1)sin(1)11f tfdtdtdtdtdtdttdt 220002sinsin2sinsinsin11tttdtdtdt 5从而(0)(0)0.2fft 当时，20sin,sinsin210,|t ttdt5设为实数，求积分的值。(分别讨论 a 为正实数和负实数的情形)aj21aed222201()12Res(),2lim;102Res(),2lim.11iaiaziazaziiaiaiaziazaziaR zzizeediR z eiieziaeeeddiR z eiiezi当时，在上半平面只有一个奇点，从而当时，解法二：参考课本 146 页 Fourier 变换表中的 21，即222Re()0ctcecc，F取 c=-1，从而则积分-221te，Fj122j211211221taat at aaaeeededeF6积分变换练习题积分变换练习题 第一章第一章 Fourier 变换变换_系系_专业专业 班级班级 姓名姓名_ _学号学号_3 Fourier 变换的性质变换的性质 4 卷积与相关函数卷积与相关函数一、选择题1设，则 ()()f tFF(2)()tf tF（A）（B）()2()FF()2()FF（C）（D）()2()iFF()2()iFF（利用 Fourier 变换的线性性质和象函数的导数公式）2设，则 ()()f tFF(1)ftF（A）（B）（C）（D）()jFe()jFe()jFe()jFe1(1)()(1)(1)()()()()t si tisiisiftft edtf s edsef s edseF F二、填空题1设，则23()1f tF()f t-32te-2-22-1333()212ttteeef t由1三5解法二中的分析可知：，从而FF2设，则 。()()tf teu t()f tF7()()Fourier()()()()()()()()()()()()()()()()ttttttttttu tdftif tg teu teddg tedetg tetdtdg tg tetg tetdtdg tigdt 已已知知单单位位阶阶跃跃函函数数，及及变变换换的的微微分分性性质质：令令，则则，即即，又又由由F FF FF FF FF FF FF FF F(1)(1)0()()()1()=()1111111ti ttititttet edtetg tt edtiiieii，从从而而F FF F三、解答题1若，且，证明：()()Ff t F0a 1()()f atFaaF11()()=()()()ss atiisi taadsf atf at edtf s ef s edsFaaaa F2若，证明：()()Ff t F()()dFjtf tdF11()()111()()()()22211()()()()()22i ti ti ti ti tdFitf tddddFFedFeFeddddFiteditFedit f t 即证：FF83已知某函数的 Fourier 变换为，求该函数。sin()F()f t1111(1)(1)sin()()sin()sin()()()()()11sinsin22211(1)(1)42iii ti tititFFFftif ti FFifteeededieedttii 一方面，；另一方面，；从而FFFFFF11()(1)(1)()(1)(1)2211()(1)(1)(1)(1)22ttiftttftttif tddu tu t 4若，证明：()()Ff t F()()FftF证：()()()()()()()t si ti sisftft edtf s edsf s edsF F5若，求12()(),()sin()tf te u tf tt u t12()*()f tf t12)0000()*()()sin()()sin()()1sin()sinsinsincos21sincos2ttttttst stststf tf te u tt u te utu tdetdesdseesdsess ette 9积分变换练习题积分变换练习题 第一章第一章 Fourier 变换变换_系系_专业专业 班级班级 姓名姓名_ _学号学号_5 Fourier 变换的应用变换的应用 综合练习题综合练习题一、选择题：1设且当时,则 ()()f tFFt ()()0tg tfd2()tfdF（A）（B）（C）（D）1()22Fi1()2Fi1()2Fi1()Fi21Fourier()=()11()=(2)()22 4-1.3ttfdf tifdftFii变换的积分性质：最后一个等号由2（）三得到F FF FF FF F2设，则下列公式中，不正确的是 ()()f tFF（A）（B）2()()()f tf tFF21()()()2f tFFF（C）（D）00()()jtf t eFF1()j()t f tFF00()()jtf t eFF二、填空题1设，则0,0(),0ttf tet()()u tf t0,01,0ttet参照课本 51 页(10)，()()()()()tu tf tf tu tfd2计算积分 1 。2()sin2ttdt222()sinsin12tttdtt3设，则1,0sgn1,0|tttttsgn t F2i100000sgn 1(1)()()()()112()()()()i ti ti ti ti ti ttedtedtedte dtu t edtu t e dtu tutiii 上一份练习最后一题FFF三、解答题1求微分方程的解，且。()()()x tx ttt -1()()()()()(1)()11().100()(0)01()00()=()=.0ttx tXx tx ttiXXitf tFourieretf titx tXet解：假设，对方程两边取Fouri er变换，可得，即，从而，由于指数衰减函数的变换，则，FFFFFF2求函数的 Fourier 变换。()cos sinf ttt52222sin211cos sin 22241()2(2)2(2)4(2)(2)2ititititteetteeiiii 解：象函数的位移性质FFFFF3利用 Fourier 变换，解积分方程01,01()cos0,1ttgtdt 解：由课本 P12(1.13)-(1.14)式，即 Fourier 余弦逆变换公式可得，11111000011122000sin()()cos(1)cossinsin1cos1cossinsinttgf ttdtttdtdtttttdt 4求与的卷积。1,0()0,0tetf tt2sin,0()0,0ttf tt12()()f tf t解：1212()120000()()()()00000()()sin()sin1sinsincos21sincos2ttt stttststf tf tff tdtttff tdetdesdseesdsess ette当或时，被积函数等零；当且即时，被积函数不为零，从而