大一微积分期末试卷及答案[1].pdf

微积分期末试卷一、选择题（6）cossin1.()2,()()22()()B()()Dxxf xg xf xg xf xg xC1设在区间（0，）内（）。是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数2x1nnnn20cossin1nA X(1)B Xsin21C X(1)xnexxnaDa、x时，与相比是（）高阶无穷小低阶无穷小等价无穷小同阶但不等价无价小、=是函数=（-si nx)的（）连续点可去间断点跳跃间断点无穷型间断点、下列数列有极限并且极限为的选项为（）n1 Xcosn200000001()5()()()()0()BC()fxffCff令（），则必有15 FFFFT四、计算题1 用洛必达法则求极限2120limxxx e解：原式=222111330002(2)limlimlim12xxxxxxeexexx 2 若34()(10),(0)f xxf求解：33223333232233432()4(10)312(10)()24(10)123(10)324(10)108(10)()0fxxxxxfxxxxxxxxxxfx 3 240lim(cos)xxx求极限4I cos2204I coslim022000002lim1(sin)4costancoslimcoslimlimlimlim22224nxxxnxxxxxxxxeexInxxxxInxxxxxxe 解：原式=原式4 531(31)2xyxx求的导数53511I311232215311113 3121221511(31)2 312(1)2(2)n yInxIn xIn xyyxxxxyxxxxx解：5 3tan xdx2222tantansec1)tansectantansintantancos1tantancoscos1tancos2xxdxxxdxxxdxxdxxxdxdxxxdxdxxxInxc解：原式=（=6arctanxxdx求22222222211arctan()(arctanarctan)2211 1(arctan)2111arctan(1)211arctan22xd xxxx dxxxxdxxxxdxxxxxc 解：原式=五、证明题。1、证明方程有且仅有一正实根。310 xx 证明：设3()1f xxx1221222212222(0)10,(1)10,()0,10,1),(0()01)()00()00,(),()()0,()0()31fff xff xf xf xx xxf xx xx xf xf xx xff 且在上连续至少存在（使得）即在（，内至少有一根，即在（，）内至少有一实根假设在（，）有两不同实根x在上连续，在（）内可导且至少（），s t而3110 xx 与假设相矛盾方程有且只有一个正实根2、arcsinarccos1x12xx 证明（）22()arcsinarccos11()0,1,111()(0)arcsin0arccos02(1)arcsin1 arccos12(1)arcsin(1)arccos(1)2()arcsinarccos1,12f xxxfxxxxf xcffff xxxx 证明：设综上所述，六、应用题1、描绘下列函数的图形21yxx32233.Dy=(-,0)(0,+)1212.y=2x-102220,1xxxyxyxyx 解：1令得令得3.4.补充点7179(2,).(,).(1,2).(2,)222250lim(),()0 xf xf xx 有铅直渐近线6 如图所示：2.讨论函数22()f xxInx的单调区间并求极值12()22(1)(1)()2(0)()0,1,1Df xRxxfxxxxxfxxx 解：令得由上表可知 f(x)的单调递减区间为(,1)(0,1)和单调递增区间为(1,0)1和（，）且 f(x)的极小值为 f(-1)=f(1)=1