椭圆题型归纳大全.pdf

第 1 页椭圆典型题型归纳椭圆典型题型归纳题型一题型一.定义及其应用定义及其应用例 1.已知一个动圆与圆相内切，且过点，求这个动圆圆心22:(4)100Cxy(4,0)A的轨迹方程；M例 2.方程所表示的曲线是 223(1)(1)22xyxy练习练习：1.方程对应的图形是（）2222(3)(3)6xyxyA.直线 B.线段 C.椭圆 D.圆2.方程对应的图形是（）2222(3)(3)10 xyxyA.直线 B.线段 C.椭圆 D.圆3.方程成立的充要条件是（）2222(3)(3)10 xyxy A.B.C.D.2212516xy221259xy2211625xy221925xy4.如果方程表示椭圆，则的取值范围是 2222()()1xymxymm m5.过椭圆的一个焦点的直线与椭圆相交于两点，则两点与椭圆22941xy1F,A B,A B的另一个焦点构成的的周长等于 ；2F2ABF6.设圆的圆心为，是圆内一定点，为圆周上任意一点，线段22(1)25xyC(1,0)AQ的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程为 ；AQCQMM题型二题型二.椭圆的方程椭圆的方程 （一）由方程研究曲线（一）由方程研究曲线例 1.方程的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的2211625xy点的轨迹；（二）分情况求椭圆的方程（二）分情况求椭圆的方程例 2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的 3 倍，并且过点，求椭圆的方(3,0)P第 2 页程；（三）用待定系数法求方程（三）用待定系数法求方程例 3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点、1(6,1)P，求椭圆的方程；2(3,2)P 例 4.求经过点且与椭圆有共同焦点的椭圆方程；(2,3)229436xy注：一般地，与椭圆注：一般地，与椭圆共焦点的椭圆可设其方程为共焦点的椭圆可设其方程为；22221xyab222221()xykbakbk（四）定义法求轨迹方程；（四）定义法求轨迹方程；例 5.在中，所对的三边分别为，且，求满足ABC,A B C,a b c(1,0),(1,0)BC且成等差数列时顶点的轨迹；bac,b a cA五）相关点法求轨迹方程；（五）相关点法求轨迹方程；例 6.已知轴上一定点，为椭圆上任一点，求的中点的轨迹x(1,0)AQ2214xyAQM方程；（六）直接法求轨迹方程；（六）直接法求轨迹方程；例 7.设动直线 垂直于轴，且与椭圆交于两点，点是直线 上满足lx2224xy,A BPl的点，求点的轨迹方程；1PA PB AP（七）列方程组求方程（七）列方程组求方程例 8.中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标(0,50)F32yx为，求此椭圆的方程；12题型三题型三.焦点三角形问题焦点三角形问题例 1.已知椭圆上一点的纵坐标为，椭圆的上下两个焦点分别为、，2211625xyP532F1F第 3 页求、及；1PF2PF12cosFPF题型四题型四.椭圆的几何性质椭圆的几何性质例 1.已知是椭圆上的点，的纵坐标为，、分别为椭圆的两个焦点，P22221xyab531F2F椭圆的半焦距为，则的最大值与最小值之差为 c12PFPFA例 2.椭圆的四个顶点为，若四边形的内切圆恰22221xyab(0)ab,A B C DABCD好过焦点，则椭圆的离心率为 ；例 3.若椭圆的离心率为，则 ；22114xyk12k 例 4.若为椭圆上一点，、为其两个焦点，且P22221(0)xyabab1F2F，则椭圆的离心率为 01215PFF02175PF F题型五题型五.求范围求范围例 1.方程表示准线平行于轴的椭圆，求实数的取值范围；22221(1)xymmxm题型六题型六.椭圆的第二定义的应用椭圆的第二定义的应用例 1.方程所表示的曲线是 222(1)(1)2xyxy例 2.求经过点，以轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程；(1,2)My12例 3.椭圆上有一点，它到左准线的距离等于，那么到右焦点的距离为221259xyP52P 例 4已知椭圆，能否在此椭圆位于轴左侧的部分上找到一点，使它到13422yxyM左准线的距离为它到两焦点距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能12,F F找到，请说明理由。第 4 页例 5已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是15922yx)1,1(A1F2FP椭圆上一点求的最小值及对应的点的坐标223PFPA P题型七题型七.求离心率求离心率例 1.椭圆的左焦点为，是两个顶点，22221xyab(0)ab1(,0)Fc(,0)Aa(0,)Bb如果到直线的距离为，则椭圆的离心率 1FAB7be 例 2.若为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，P22221(0)xyabab1F2F12PFF，则椭圆的离心率为 212PF F例 3.、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，且1F2F2F,P Q1PFPQ，则椭圆的离心率为 ；1PFPQ题型八题型八.椭圆参数方程的应用椭圆参数方程的应用例 1.椭圆上的点到直线的距离最大时点的坐标 22143xyP270 xyP例 2.方程()表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；22sincos1xy0y题型九题型九.直线与椭圆的关系直线与椭圆的关系（1 1）直线与椭圆的位置关系）直线与椭圆的位置关系例 1.当为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离？m:l yxm22916144xy第 5 页yxOABP例 2.曲线（）与连结，的线段没有公共点，求的22222xya0a(1,1)A(2,3)Ba取值范围。例 3.过点作直线 与椭圆相交于两点，为坐标原点，)0 ,3(Pl223412xy,A BO求面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。OAB分析：分析：若直接用点斜式设 的方程为则要求l)3(0 xky的斜率一定要存在，但在这里 的斜率有可能不存在，因此要ll讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线 的方l程为，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而3 myx简化了运算。解：设，：1122(,),(,)A x yB xyl3 myx)(3|)|(|3|21|21212121yyyyyOPyOPSAOB把代入椭圆方程得：，即3 myx0124)332(3222ymyym，0336)43(22myym4336221mmyy433221myy481444314312)43(108|22222221xmmmmyy3)13(133443133443394222222mmmmmm23234133133422mmm第 6 页，此时 3223S1331322mm36m令直线的倾角为，则36tan26 即面积的最大值为，此时直线倾斜角的正切值为。OAB326例 4.求直线和椭圆有公共点时，的取值范围cossin2xy2236xy。(0)（二）弦长问题（二）弦长问题例 1.已知椭圆，是轴正方向上的一定点，若过点，斜率为 1 的直线22212xyAxA被椭圆截得的弦长为，求点的坐标。3134A 分析：分析：若直线与圆锥曲线相交于两点、，ykxb(,)0f x y 11(,)P x y22(,)Q xy则弦的长度的计算公式为，PQ|11|1|212212yykxxkPQ而，因此只要把直线的方程代入圆锥曲线21221214)(|xxxxxxykxb方程，消去（或），结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。(,)0f x y yx 解：设（），则直线 的方程为，设直线 与椭圆相交于0(,0)A x00 x l0yxxl、，由，可得，11(,)P x y22(,)Q xy022212yxxxy2200342120 xx xx，则34021xxx31222021xxx20202021221212363234889164)(|xxxxxxxxx，即|13144212xxx202363223144x，又，；204x00 x 02x(2,0)A第 7 页例 2.椭圆与直线相交于两点，是的中点，221axby1xy,A BCAB若，为坐标原点，的斜率为，求的值。22|ABOOC22,a b例 3.椭圆的焦点分别是和，过中心作直线与椭圆交于两点，若1204522yx1F2FO,A B的面积是 20，求直线方程。2ABF（三）弦所在直线方程（三）弦所在直线方程例 1.已知椭圆，过点能否作直线 与椭圆相交所成弦的中点恰好是；221164xy(2,0)PlP例 2.已知一直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标为，224936xy,A BAB(1,1)M求直线的方程；AB例 3.椭圆中心在原点，焦点在轴上，其离心率,过点的直线 与椭EOx32e(1,0)C l圆相交于两点，且 C 分有向线段的比为 2.E,A BAB（1）用直线 的斜率表示的面积；l(0)k k OAB（2）当的面积最大时，求椭圆 E 的方程OAB第 8 页解：（1）设椭圆的方程为，由，a2=3b2E12222byax23cea故椭圆方程；22233xyb设，由于点分有向线段的比为 21122(,),(,)A x yB xy(1,0)C AB，即0321322121yyxx21212)1(21yyxx由消去 y 整理并化简得(3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=0)1(33222xkybyx由直线 l 与椭圆 E 相交于两点1122(,),(,)A x yB xy13331360)23)(13(4362222122212224kbkxxkkxxbkkk而 122222211333|2|(1)|1|22222OABSyyyyyk xkx由得:，代入得：.222131xk 23|(0)31OABkSkk（2）因,23|33313122 33|OABkSkkk当且仅当取得最大值,33kOABS此时，又，；121xx 12213xx 121,2xx 将及代入得 3b2=5，椭圆方程12,x x213k 2235xy例 4.已知是椭圆上的三点，为椭圆的左焦点，11022(,),(1,),(,)A x yByC xy22143xyF且成等差数列，则的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论AFBFCFAC第 9 页（四）关于直线对称问题四）关于直线对称问题例 1.已知椭圆，试确定的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线22143xym对称；4yxm例 2.已知中心在原点，焦点在轴上，长轴长等于 6，离心率，试问是否存在直y322e线，使 与椭圆交于不同两点，且线段恰被直线平分？若存在，求出直ll,A BAB21x线 倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。l题型十题型十.最值问题最值问题例 1若，为椭圆的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求(2,3)P 2F1162522yx的最大值和最小值。2MPMF分析：欲求的最大值和最小值2MPMF可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义,为椭圆的左焦点。212MFaMF1F解：，连接，延长交椭圆于点 M1,延长交椭212MPMFMPaMF1PF1PF1FP圆于点由三角形三边关系知2M111PFMPMFPF当且仅当与重合时取右等号、与重合时取左等号。M1MM2MF2F1M1M2o第 10 页因为，所以,；1210,2aPF2max()12MPMF2min()8MPMF结论结论 1：设椭圆：设椭圆的左右焦点分别为的左右焦点分别为,为椭圆内一点，为椭圆内一点，12222byax12,F F00(,)P xy为椭圆上任意一点，则为椭圆上任意一点，则的最大值为的最大值为,最小值为最小值为；(,)M x y2MPMF12aPF12aPF例 2,为椭圆的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求的(2,6)P 2F1162522yx2MPMF最大值和最小值。分析：点在椭圆外，交椭圆于，此点使值最小，求最大值方法同例P2PFM2MPMF1。解：，连接并延长交椭圆于点 M1，212MPMFMPaMF1PF则 M 在 M1处时取最大值；1MPMF1PF最大值是 10+，最小值是。2MPMF3741结论结论 2 设椭圆设椭圆的左右焦点分别为的左右焦点分别为，为椭圆外一点，为椭圆外一点，12222byax12,F F00(,)P xy为椭圆上任意一点，则为椭圆上任意一点，则的最大值为的最大值为，最小值为，最小值为;(,)M x y2MPMF12aPF2PF2.二次函数法例 3求定点到椭圆上的点之间的最短距离。(,0)A a12222byax分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示，转化为的函数求最小值。PA,x y解：设为椭圆上任意一点，(,)P x y222222211()()1(2)122PAxayxaxxaa 由椭圆方程知的取值范围是x2,2（1）若，则时，22a 2xa2min1PAa（2）若,则时22a 2x min2PAa第 11 页（3）若,则22a min2PAa结论结论 3：椭圆：椭圆上的点上的点到定点到定点 A(m,0)或或 B(0,n)距离的最值问题，可以距离的最值问题，可以12222byax(,)M x y用两点间距离公式表示用两点间距离公式表示MA或或MB，通过动点在椭圆上消去，通过动点在椭圆上消去 y 或或 x,转化为二次函数转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。求最值，注意自变量的取值范围。3.三角函数法三角函数法例 4求椭圆上的点到直线的距离的最值；14222 yx(,)M x y:24l xy解：三角换元 令 245xyd14222 yxRyxsincos2则2cos2sin422sin()2455d当时；当时,sin()14min4 52 105dsin()14 结论结论 4：若椭圆：若椭圆上的点到非坐标轴上的定点的距离求最上的点到非坐标轴上的定点的距离求最max4 52 105d12222byax值时值时,可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。4.判别式法判别式法例 4 的解决还可以用下面方法把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。解。令直线将代入椭圆方程整理得，:20m xyc2xyc 228440ycyc由=0 解得,时直线与椭圆切于点，2 2c 2 2c :22 20m xyP则到直线 的距离为最小值，且最小值就是两平行直线与 的距离，Plml所以；min4 52 105d时直线与椭圆切于点 Q，则 Q 到直线 l 的距离为最大值，且2 2c:22 20m xy最大值就是两平行直线 m 与 l 的距离，所以。max4 52 105d结论结论 5：椭圆上的点到定直线：椭圆上的点到定直线 l 距离的最值问题距离的最值问题,可转化为与可转化为与 l 平行的直线平行的直线 m 与椭圆相切的与椭圆相切的问题问题,利用判别式求出直线利用判别式求出直线 m 方程，再利用平行线间的距离公式求出最值方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。第 12 页例 5.已知定点，点为椭圆的右焦点，点在该椭圆上移动时，(2,3)A F2211612xyM求的最小值，并求此时点的坐标；（第二定义的应用）2AMMFM例 3已知、分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点的坐标为1F2F22110064xyM，为椭圆上的一个动点，试分别求：(2,6)P（1）的最小值；（2）的取值范围253PMPF2PMPF解：（1），此时点为过点且垂直于 的线段与椭圆的交点；443PMl（2）由椭圆的定义知，故，1220PFPF2120PMPFPMPF，故1110PMPFMF230PMPF（当且仅当为有向线段的延长线与椭圆的交点时取“=”）；P1MF，故;1110PFPMMF2120()10PMPFPFPM（当且仅当为有向线段的反向延长线与椭圆的交点时取“=”）P1MF综上可知，的取值范围为;2PMPF10,30题型十一题型十一.轨迹问题轨迹问题例 1到两定点，的距离之和为定值 5 的点的轨迹是 ()(2,1)(2,2)A椭圆 双曲线 直线 线段例 2已知点，点在圆的上半圆周上(即 y0)，AOP 的平分线交(3,0)AP221xy于 Q，求点 Q 的轨迹方程。PA例 3.已知圆及点，是圆 C 上任一点，线段的垂直平22:(3)100Cxy(3,0)A PPA分线 l 与 PC 相交于 Q 点，求 Q 点的轨迹方程。题型十二题型十二.椭圆与数形结合椭圆与数形结合例 1关于的方程有两个不相等的实数解，求实数的取值范围.x22220 xkxkk第 13 页例 2求函数的最值。246tt