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1小升初数学小升初数学总总复复习资习资料料 一、基本概念一、基本概念第一章第一章 数和数的运算数和数的运算 一一 概念概念 （一）整数（一）整数 1 1 整数的意义整数的意义 自然数和自然数和 0 0 都是整数。都是整数。2 2 自然数自然数 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的我们在数物体的时候，用来表示物体个数的 1 1，2 2，33叫做自然数。叫做自然数。一个物体也没有，用一个物体也没有，用 0 0 表示。表示。0 0 也是自然数。也是自然数。3 3 计数单位计数单位 一（个）一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿都是计数单位。都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是每相邻两个计数单位之间的进率都是 1010。这样的计数法叫做十进制计数法。这样的计数法叫做十进制计数法。4 4 数位数位 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。5 5 数的整除数的整除 整数整数 a a 除以整数除以整数 b(bb(b 0 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说，除得的商是整数而没有余数，我们就说 a a 能被能被 b b 整除，或整除，或者说者说 b b 能整除能整除 a a 。如果数如果数 a a 能被数能被数 b b（b b 0 0）整除，）整除，a a 就叫做就叫做 b b 的倍数，的倍数，b b 就叫做就叫做 a a 的因数（或的因数（或 a a 的约的约数）数）。倍数和因数是相互依存的。倍数和因数是相互依存的。因为因为 3535 能被能被 7 7 整除，所以整除，所以 3535 是是 7 7 的倍数，的倍数，7 7 是是 3535 的因数。的因数。一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1 1，最大的，最大的 因数是它本身。例如：因数是它本身。例如：1010 的因数有的因数有 1 1、2 2、5 5、1010，其中最小的因数是，其中最小的因数是 1 1，最大的因数是，最大的因数是 1010。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3 3 的倍数有：的倍数有：3 3、6 6、9 9、1212其中最小的倍数是其中最小的倍数是 3 3 ，没有最大的倍数。，没有最大的倍数。个位上是个位上是 0 0、2 2、4 4、6 6、8 8 的数，都能被的数，都能被 2 2 整除，例如：整除，例如：202202、480480、304304，都能被，都能被 2 2 整除。整除。个位上是个位上是 0 0 或或 5 5 的数，都能被的数，都能被 5 5 整除，例如：整除，例如：5 5、3030、405405 都能被都能被 5 5 整除。整除。一个数的各位上的数的和能被一个数的各位上的数的和能被 3 3 整除，这个数就能被整除，这个数就能被 3 3 整除，例如：整除，例如：1212、108108、204204 都都能被能被 3 3 整除。整除。2一个数各位数上的和能被一个数各位数上的和能被 9 9 整除，这个数就能被整除，这个数就能被 9 9 整除。整除。能被能被 3 3 整除的数不一定能被整除的数不一定能被 9 9 整除，但是能被整除，但是能被 9 9 整除的数一定能被整除的数一定能被 3 3 整除。整除。一个数的末两位数能被一个数的末两位数能被 4 4（或（或 2525）整除，这个数就能被）整除，这个数就能被 4 4（或（或 2525）整除。例如：）整除。例如：1616、404404、12561256 都能被都能被 4 4 整除，整除，5050、325325、500500、16751675 都能被都能被 2525 整除。整除。一个数的末三位数能被一个数的末三位数能被 8 8（或（或 125125）整除，这个数就能被）整除，这个数就能被 8 8（或（或 125125）整除。例如：）整除。例如：11681168、46004600、50005000、1234412344 都能被都能被 8 8 整除，整除，11251125、1337513375、50005000 都能被都能被 125125 整除。整除。能被能被 2 2 整除的数叫做偶数。整除的数叫做偶数。不能被不能被 2 2 整除的数叫做奇数。整除的数叫做奇数。0 0 也是偶数。自然数按能否被也是偶数。自然数按能否被 2 2 整除的特征可分为奇数和偶数。整除的特征可分为奇数和偶数。一个数，如果只有一个数，如果只有 1 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数），100100 以内的质以内的质数有：数有：2 2、3 3、5 5、7 7、1111、1313、1717、1919、2323、2929、3131、3737、4141、4343、4747、5353、5959、6161、6767、7171、7373、7979、8383、8989、9797。一个数，如果除了一个数，如果除了 1 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，例如和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，例如 4 4、6 6、8 8、9 9、1212 都是合数。都是合数。1 1 不是质数也不是合数，自然数除了不是质数也不是合数，自然数除了 1 1 外，不是质数就是合数。如果把自然数按其因数外，不是质数就是合数。如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数、合数和的个数的不同分类，可分为质数、合数和 1 1。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如个合数的质因数，例如 15=3515=35，3 3 和和 5 5 叫做叫做 1515 的质因数。的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如把例如把 2828 分解质因数分解质因数 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数，例如因数，例如 1212 的因数有的因数有 1 1、2 2、3 3、4 4、6 6、1212；1818 的因数有的因数有 1 1、2 2、3 3、6 6、9 9、1818。其中，。其中，1 1、2 2、3 3、6 6 是是 1212 和和 1 1 8 8 的公因数，的公因数，6 6 是它们的最大公因数。是它们的最大公因数。公因数只有公因数只有 1 1 的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：1 1 和任何自然数互质。和任何自然数互质。相邻的两个自然数互质。相邻的两个自然数互质。两个不同的质数互质。两个不同的质数互质。当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。两个合数的公因数只有两个合数的公因数只有 1 1 时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。几个数两两互质。3如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是 1 1。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如倍数，如 2 2 的倍数有的倍数有 2 2、4 4、6 6 、8 8、1010、1212、1414、1616、1818 3 3 的倍数有的倍数有 3 3、6 6、9 9、1212、1515、1818 其中其中 6 6、1212、1818是是 2 2、3 3 的公倍数，的公倍数，6 6 是它是它们的最小公倍数。们的最小公倍数。如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。（二）小数（二）小数1 1 小数的意义小数的意义 把整数把整数 1 1 平均分成平均分成 1010 份、份、100100 份、份、10001000 份份 得到的十分之几、百分之几、千分之得到的十分之几、百分之几、千分之几几 可以用小数表示。可以用小数表示。一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几 一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是 1010。小数部分的最高分数单位。小数部分的最高分数单位“十分十分之一之一”和整数部分的最低单位和整数部分的最低单位“一一”之间的进率也是之间的进率也是 1010。2 2 小数的分类小数的分类 纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如：纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如：0.250.25 、0.3680.368 都是纯小数。都是纯小数。带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。例如：例如：3.253.25 、5.265.26 都是带小数。都是带小数。有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。例如：例如：41.741.7 、25.325.3 、0.230.23 都是有限小数。都是有限小数。无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。例如：例如：4.334.33 3.14159263.1415926 无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。限不循环小数。例如：例如：循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。做循环小数。例如：例如：3.5553.555 0.03330.0333 12.10910912.109109 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。例例如：如：3.993.99 的循环节是的循环节是“9 9 ”，0.54540.5454 的循环节是的循环节是“5454 ”。4纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。例如：例如：3.1113.111 0.56560.5656 混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。3.12223.1222 0.033330.03333 写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环 节只有节只有 一个数字，就只在它的上面点一个一个数字，就只在它的上面点一个点。例如：点。例如：3.7773.777 简写作简写作 0.53023020.5302302 简写作简写作 。（三）分数（三）分数1 1 分数的意义分数的意义 把单位把单位“1”“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”“1”平平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。把单位把单位“1”“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。2 2 分数的分类分数的分类 真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于 1 1。假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1 1。带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。3 3 约分和通分约分和通分 把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ，叫做约分。，叫做约分。分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。（四）百分数（四）百分数 1 1 表示一个数是另一个数的百分之几的数表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数叫做百分数,也叫做百分率也叫做百分率 或百分比。百分或百分比。百分数通常用数通常用%来表示。百分号是表示百分数的符号。来表示。百分号是表示百分数的符号。二二 方法方法（一）数的读法和写法（一）数的读法和写法 1.1.整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个去读，再在后面加一个“亿亿”或或“万万”字。每一级末尾的字。每一级末尾的 0 0 都不读出来，其它数位连续都不读出来，其它数位连续有几个有几个 0 0 都只读一个零。都只读一个零。52.2.整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写那个数位上写 0 0。3.3.小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点点”，小数，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。4.4.小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。5.5.分数的读法：读分数时，先读分母再读分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之分之”然后读分子，分子和分母按照整数然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。的读法来读。6.6.分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。7.7.百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。的读法来读。8.8.百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”“%”来表示。来表示。（二）数的改写（二）数的改写 一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万万”或或“亿亿”作单位的数。有作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。1.1.准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。单位的数。改写后的数是原数的准确数。例如把例如把 12543000001254300000 改写成以万做单位的数改写成以万做单位的数是是 125430125430 万；改写成万；改写成 以亿做单位以亿做单位 的数的数 12.54312.543 亿。亿。2.2.近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。一个近似数来表示。例如：例如：13024900151302490015 省略亿后面的尾数是省略亿后面的尾数是 1313 亿。亿。3.3.四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是 4 4 或者比或者比 4 4 小，就把尾数去掉；如果小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是尾数的最高位上的数是 5 5 或者比或者比 5 5 大，就把尾数舍去，并向它的前一位进大，就把尾数舍去，并向它的前一位进 1 1。例如：省。例如：省略略 345900345900 万后面的尾数约是万后面的尾数约是 3535 万。省略万。省略 47250974204725097420 亿后面的尾数约是亿后面的尾数约是 4747 亿。亿。4.4.大小比较大小比较 1.1.比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。那个数就大。2.2.比较小数的大小：先看它们的整数部分，比较小数的大小：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大就大 63.3.比较分数的大小比较分数的大小:分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。（三）数的互化（三）数的互化 1.1.小数化成分数：原来有几位小数，就在小数化成分数：原来有几位小数，就在 1 1 的后面写几个零作分母，把原来的小数去的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。掉小数点作分子，能约分的要约分。2.2.分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。化成有限小数的，一般保留三位小数。3.3.一个最简分数，如果分母中除了一个最简分数，如果分母中除了 2 2 和和 5 5 以外，不含有其他的质因数，这个分数就能以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有化成有限小数；如果分母中含有 2 2 和和 5 5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。4.4.小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。5.5.百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。两位。6.6.分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，再把小，再把小数化成百分数。数化成百分数。7.7.百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。（四）数的整除（四）数的整除 1.1.把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。2.2.求几个数的最大公因数的方法是：先用这几个数的公因数连续去除，一直除到所得求几个数的最大公因数的方法是：先用这几个数的公因数连续去除，一直除到所得的商只有公因数的商只有公因数 1 1 为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公因数因数 。3.3.求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公因数去除，求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公因数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。个数的最小公倍数。4.4.成为互质关系的两个数：成为互质关系的两个数：1 1 和任何自然数互质和任何自然数互质 ；相邻的两个自然数互质；相邻的两个自然数互质；当合当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；两个合数的公约数只有两个合数的公约数只有 1 1 时，这两时，这两个合数互质。个合数互质。（五）（五）约分和通分约分和通分 约分的方法：用分子和分母的公约数（约分的方法：用分子和分母的公约数（1 1 除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。分数为止。7通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。公倍数作分母的分数。三三 性质和规律性质和规律（一）商不变的规律（一）商不变的规律 商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。（二）小数的性质（二）小数的性质 小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化 1.1.小数点向右移动一位，原来的数就扩大小数点向右移动一位，原来的数就扩大 1010 倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大大 100100 倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大 10001000 倍倍 2.2.小数点向左移动一位，原来的数就缩小小数点向左移动一位，原来的数就缩小 1010 倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩小小 100100 倍；小数点向左移动三位，原来的数就缩小倍；小数点向左移动三位，原来的数就缩小 10001000 倍倍 3.3.小数点向左移或者向右移位数不够时，要用小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0“0补足位。补足位。（四）分数的基本性质（四）分数的基本性质 分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外）分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小，分数的大小不变。不变。（五）分数与除法的关系（五）分数与除法的关系 1.1.被除数被除数除数除数=被除数被除数/除数除数 2.2.因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。3.3.被除数被除数 相当于分子，除数相当于分母。相当于分子，除数相当于分母。四四 运算的意义运算的意义（一）整数四则运算（一）整数四则运算 1 1 整数加法：整数加法：把两个数合并成一个数的运算叫做加法。把两个数合并成一个数的运算叫做加法。在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。加数加数+加数加数=和和 一个加数一个加数=和另一个加数和另一个加数 2 2 整数减法：整数减法：8已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分数。总数，减数和差分别是部分数。加法和减法互为逆运算。加法和减法互为逆运算。3 3 整数乘法：整数乘法：求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。在乘法里，在乘法里，0 0 和任何数相乘都得和任何数相乘都得 0.0.1 1 和任何数相乘都的任何数。和任何数相乘都的任何数。一个因数一个因数 一个因数一个因数 =积积 一个因数一个因数=积积另一个因数另一个因数 4 4 整数除法：整数除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。乘法和除法互为逆运算。乘法和除法互为逆运算。在除法里，在除法里，0 0 不能做除数。因为不能做除数。因为 0 0 和任何数相乘都得和任何数相乘都得 0 0，所以任何一个数除以，所以任何一个数除以 0 0，均得，均得不到一个确定的商。不到一个确定的商。被除数被除数除数除数=商商 除数除数=被除数被除数商商 被除数被除数=商商除数除数 （二）小数四则运算（二）小数四则运算 1.1.小数加法：小数加法：小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。2.2.小数减法：小数减法：小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算个加数的运算.3.3.小数乘法：小数乘法：小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算；一个数小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几是多少。是多少。4.4.小数除法：小数除法：小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。一个因数的运算。5.5.乘方乘方:求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如 3 3 3 3 =32=32 （三）分数四则运算（三）分数四则运算 91.1.分数加法：分数加法：分数加法的意义与整数加法的意义相同。分数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。是把两个数合并成一个数的运算。2.2.分数减法：分数减法：分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。个加数的运算。3.3.分数乘法：分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。4.4.乘积是乘积是 1 1 的两个数叫做互为倒数。的两个数叫做互为倒数。5.5.分数除法：分数除法：分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。一个因数的运算。（四）运算定律（四）运算定律 1.1.加法交换律：加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即 a+b=b+aa+b=b+a 。2.2.加法结合律：加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c)a+b)+c=a+(b+c)。3.3.乘法交换律：乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即 ab=baab=ba。4.4.乘法结合律：乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即个数相乘，它们的积不变，即(ab)c=a(bc)(ab)c=a(bc)。5.5.乘法分配律：乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a+b)(a+b)c=ac+bcc=ac+bc 。6.6.减法的性质：减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即 a-b-a-b-c=a-(b+c)c=a-(b+c)。（五）运算法则（五）运算法则 1.1.整数加法计算法则：整数加法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。102.2.整数减法计算法则：整数减法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。上的数合并在一起，再减。3.3.整数乘法计算法则：整数乘法计算法则：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。4.4.整数除法计算法则：整数除法计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商 1 1，要补，要补“0”“0”占位。每次除得的余数要小于除数。占位。每次除得的余数要小于除数。5.5.小数乘法法则：小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”“0”补足。补足。6.6.除数是整数的小数除法计算法则：除数是整数的小数除法计算法则：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添末尾仍有余数，就在余数后面添“0”“0”，再继续除。，再继续除。7.7.除数是小数的除法计算法则：除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。，然后按照除数是整数的除法法则进行计算。8.8.同分母分数加减法计算方法同分母分数加减法计算方法:同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。9.9.异分母分数加减法计算方法异分母分数加减法计算方法:先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。10.10.带分数加减法的计算方法带分数加减法的计算方法:整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。11.11.分数乘法的计算法则分数乘法的计算法则:分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。乘的积作分子，分母相乘的积作分母。12.12.分数除法的计算法则分数除法的计算法则:甲数除以乙数（甲数除以乙数（0 0 除外）除外），等于甲数乘乙数的倒数。，等于甲数乘乙数的倒数。（六）（六）运算顺序运算顺序 111.1.小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。2.2.分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。3.3.没有括号的混合运算没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次运算；两级运算同级运算从左往右依次运算；两级运算 先算乘、除法，后算加减法。先算乘、除法，后算加减法。4.4.有括号的混合运算有括号的混合运算:先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。5.5.第一级运算：第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。加法和减法叫做第一级运算。6.6.第二级运算：第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算。乘法和除法叫做第二级运算。五五 应用应用（一）整数和小数的应用（一）整数和小数的应用 1 1 简单应用题简单应用题 （1 1）简单应用题：只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题，通常叫做简单应用题：只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题，通常叫做简单应用题。简单应用题。（2 2）解题步骤：解题步骤：a a 审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题