苏教版九年级数学第七章三角函数知识点梳理.pdf

第七章：锐角三角函数知识点总结第七章：锐角三角函数知识点总结一、锐角三角函数的意义：一、锐角三角函数的意义：（1）一个锐角的正弦、余弦、正切就叫做这个角的三角函数。）一个锐角的正弦、余弦、正切就叫做这个角的三角函数。锐角 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记作 tanA。（即直角三角形中两条直角边的比）锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记作 sinA。（即直角三角形中锐角 A 所对的直角边与斜边的比）锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记作 cosA。（即直角三角形中锐角 A 相邻的直角边与斜边的比）（2）如图，在）如图，在ABC 中中,c=900 0sin A1，0cos A1二、锐角三角函数之间的关系：二、锐角三角函数之间的关系：（1）等角（锐角）的三角函数之间的关系：）等角（锐角）的三角函数之间的关系：如果几个锐如果几个锐角相等，则其三角函数值对应相等；角相等，则其三角函数值对应相等；反之，如果几个锐角的三角函数值对应相等，则这几个锐角相等。反之，如果几个锐角的三角函数值对应相等，则这几个锐角相等。即锐角的三角函数值只与角的度数有关；即锐角的三角函数值只与角的度数有关；若度数相等，则其三角函数值则对应相等。若度数相等，则其三角函数值则对应相等。边边A A的的对对边边s si in nA A斜斜斜边边A A的的邻邻边边c co os sA A边边A A边边A A的的t ta an nA A的邻对（2）同一个锐角的三角函数之间的关系）同一个锐角的三角函数之间的关系sinA+cosA=1（即（即同一个锐角的同一个锐角的正弦值和余弦值的平方和为正弦值和余弦值的平方和为 1。）（即（即同一个锐角的同一个锐角的正切值正切值=这个角的正弦值与该角余弦值的商。这个角的正弦值与该角余弦值的商。）（3）互余）互余两锐角两锐角之间的三角函数之间的关系之间的三角函数之间的关系若若A与与B互为余角，则互为余角，则sin A=cos（90-A）=cosB 若若A与与B互为余角，则互为余角，则tan AAtan（90-A）=1 即即tan AAtanB =1即：若即：若A 与与B 互为余角，互为余角，则则A 的正弦值的正弦值=B 的余弦值；的余弦值；A 的余弦值的余弦值=B 的正弦值。的正弦值。A 的正切值与的正切值与B 的正切值互为倒数。的正切值互为倒数。三、锐角三角函数值的变化规律（或增减性）三、锐角三角函数值的变化规律（或增减性）当角度在当角度在 0-90 之间变化时，正弦值（正切值）随着角度的增大（或减小）之间变化时，正弦值（正切值）随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）而增大（或减小）。当角度在当角度在 0-90 之间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或之间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）增大）。四、特殊角的三角函数四、特殊角的三角函数 三角函数锐角三角函数锐角 正弦正弦 sin余弦余弦 cos正切正切 tan300 450 1 2123332222c co os sA As si in nA At ta an nA A 600 五、解直角三角形五、解直角三角形（1）意义：由直角三角形中的已知元素（除直角外）意义：由直角三角形中的已知元素（除直角外），求出所有未知元素的过，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。程，叫做解直角三角形。（2）直角三角形中各元素之间关系：）直角三角形中各元素之间关系：直角三角形直角三角形 ABC 中，中，C=90，那么，那么A，B，C，a,b,c 六个六个元素元素中，除中，除C90外，其余外，其余 5 个元素之间有如下关系：个元素之间有如下关系：三边之间的关系：三边之间的关系：a+b=c 两锐角之间的关系：两锐角之间的关系：A+B=90 边与角之间的关系：边与角之间的关系：ABCabc 强调：只要知道其中强调：只要知道其中 2 个元素（至少要有一个是边）就可求出其余个元素（至少要有一个是边）就可求出其余 3 个未知数。个未知数。六、应用问题中的几个重要概念六、应用问题中的几个重要概念1）仰角和俯角）仰角和俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角线与水平线的夹角叫做俯角.23213c ca aA AB BB BC C斜斜边边A A的的对对边边s si in nA Ac cb bA AB BA AC C斜斜边边A A的的邻邻边边c co os sA Ab ba aA Ac cB BC C边边A AA A的的对对边边t ta an nA A的邻 铅铅直直线线水平线水平线视线视线视线视线仰角仰角俯角俯角2）方向（方位）角）方向（方位）角以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 900的角的角,叫做方向（方位）角。叫做方向（方位）角。如图所示：（在叙述方位角时通常先说南、北，再说东、西。如图所示：（在叙述方位角时通常先说南、北，再说东、西。）（下图中，射线（下图中，射线 OA 在北偏东在北偏东 30的方向上。的方向上。）3045BOA东东西西北北南南4545西西南南O东东北北东东西西北北南南西北西北东南东南3）坡度（坡比）坡度（坡比）,坡角的概念坡角的概念在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图如图:（1）坡面的铅垂高度（）坡面的铅垂高度（h）和水平长度（）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）的比叫做坡面坡度（或坡比）。记作记作 i,即即 .（2 2）坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作）坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 a，则有，则有显然，坡度越大，坡角显然，坡度越大，坡角 a 就越大，坡面就越陡就越大，坡面就越陡.（3）坡度通常写成）坡度通常写成 1m 的形式，如的形式，如 i=16.图19.4.5 L Lh hI I atanL Lh hi i七、利用三角函数值计算图形的面积七、利用三角函数值计算图形的面积（1）利用三角函数值计算三角形的面积）利用三角函数值计算三角形的面积 S三角形三角形=两邻边的长与其夹角的正弦值的乘积的一半。两邻边的长与其夹角的正弦值的乘积的一半。（2）利用三角函数值计算平行四边形的面积）利用三角函数值计算平行四边形的面积S平行四边形平行四边形=两邻边的长与其夹角的正弦值的乘积。两邻边的长与其夹角的正弦值的乘积。强调：若利用三角函数的知识解题，则必须把它放在直角三角形中。强调：若利用三角函数的知识解题，则必须把它放在直角三角形中。