高三一轮复习平面向量知识点整理.pdf

1-平面向量知识点整理平面向量知识点整理1 1、概念概念（1）向量：既有大小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度 （2）单位向量：长度等于 个单位的向量1（3）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有零向量)三点 A、B、C 共线 共线ACAB、（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量（5）相反向量：长度相等方向相反的向量。a a 的相反向量是的相反向量是-a-a（6）向量表示：几何表示法AB；字母 a 表示；坐标表示：aj（，）.（7）向量的模：设OAa，则有向线段OA 的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a.（。）222222|,|axyaaxy（8）零向量：长度为的向量。a aO Oa aO O.0【例题】1.下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件abab是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。ABDC ABCD（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若ABCDABDC,ab bc ac，则。其中正确的是_/,/ab bc/ac（答：（4）（5）2.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么_,a b 60|3|ab（答：）；132 2、向量加法运算：、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点b a C A abCC AA -2-三角形不等式：ababab运算性质：交换律：；结合律：；abbaabcabc 00aaa坐标运算：设，则11,ax y22,bxy1212,abxxyy3 3、向量减法运算：、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设，则11,ax y22,bxy1212,abxxyy设、两点的坐标分别为，则A11,x y22,xy1212,xxyyA 【例题】（1 1）_；_；ABBCCD ABADDC _ （答)()ABCDACBD ADCB 0（2 2）若正方形的边长为 1，则ABCD,ABa BCb ACc _|abc（答：）；2 2（3 3）已知作用在点的三个力，则合力(1,1)A123(3,4),(2,5),(3,1)FFF 的终点坐标是 123FFFF （答：（9,1）4 4、向量数乘运算：、向量数乘运算：实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作aa；aa当时，的方向与的方向相同；0aa 当时，的方向与的方向相反；当时，0aa00a运算律：；aa aaaabab坐标运算：设，则,ax y,ax yxy【例题例题】（1 1）若 M（-3，-2），N（6，-1），且，则点 P 的坐标为1M PM N3 _（答：）；7(6,)3-3-5 5、向量共线定理、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使0a a b设，（）。ba11,ax y22,bxy0b 22()(|)a ba b 【例题例题】(1)(1)若向量，当_时与共线且方向相同(,1),(4,)axbxxab（答：2）；（2 2）已知，且，则 x_(1,1),(4,)abx2uab2vab/uv（答：4）；6 6、向量垂直：、向量垂直：.0|aba babab 12120 x xy y【例题例题】(1)】(1)已知，若，则 (1,2),(3,)OAOBm OAOB m（答：）；32 （2 2）以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，则点 B 的坐标是_ 90B（答：(1,3)或（3，1）；（3 3）已知向量，且，则的坐标是_(,),na bnmnmm（答：）(,)(,)bab a或7 7、平面向量的数量积：、平面向量的数量积：零向量与任一向量的数量积为cos0,0,0180a ba bab0性质：设和都是非零向量，则当与同向时，ab0aba bab；当与反向时，；或a ba baba ba b 22a aaa aa a a ba b运算律：；a bb a aba bababca cb c 坐标运算：设两个非零向量，则11,ax y22,bxy1212a bx xy y若，则，或,ax y222axy22axy设，则abab0 x1x2y1y20.11,ax y22,bxy 则 abab(b0)x1y2 x2y1.-4-设、都是非零向量，是与的夹角，则ab11,ax y22,bxyab；（注）121222221122cosx xy ya ba bxyxy|a ba b【例题】（1 1）ABC 中，则_3|AB4|AC5|BCBCAB（答：9）；（2 2）已知，与的夹角为，则等11(1,),(0,),22abcakb dab cd 4k于_ （答：1）；（3 3）已知，则等于_ （答：）；2,5,3aba b Aab23（4 4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为,a b abab与aab_（答：）30（5 5）已知，如果与的夹角为锐角，则的取值)2,(a)2,3(bab范围是_ （答：或且）；43 013（6 6）已知向量（sinx，cosx）,（sinx，sinx）,（1，0）。abc（1）若 x，求向量、的夹角；（答：150）；3ac8 8、在在上的投影：即上的投影：即，它是一个实数，但不一定大于 0。ba|cosb【例题】已知，且，则向量在向量上的投影为3|a5|b12baab_ （答：)512-5-平面向量高考经典试题平面向量高考经典试题一、选择题1已知向量，则与(5,6)a (6,5)b abA垂直 B不垂直也不平行 C平行且同向 D平行且反向2、已知向量，若与垂直，则（）(1)(1)nn，ab2 abba AB CD41223、若向量满足，的夹角为 60，则=_；,a b|1ab,a b a aa b 4、在中，已知是边上一点，若，则（ABCDAB123ADDBCDCACB ，）ABCD231313235、若 O、E、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（）A B.EFOFOE EFOFOE C.D.EFOFOE EFOFOE -6-6、已知平面向量，则向量（）(11)(11)或或或ab1322ab (21)或(21)或 (10)或(12)或二、填空题1、已知向量若向量，则实数的值是2 411，a=b=()bab2、若向量的夹角为，则 a b，601abaabA3、在平面直角坐标系中，正方形的对角线的两端点分别为，OABCOB(0 0)O，(11)B，则AB AC A三、解答题：1、已知 ABC 三个顶点的直角坐标分别为 A(3，4)、B(0，0)、C(，0)c (1)若，求的值；0AB AC Ac(2)若，求 sinA 的值5c 2、在中，角的对边分别为ABCABC，tan3 7abcC，（1）求；cosC（2）若，且，求52CB CA A9abc3、在中，分别是三个内角的对边若，ABCabc，ABC，4,2Ca，求的面积5522cosBABCS4、设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，2 sinabA（）求 B 的大小；（）若，求 b3 3a 5c 5、在中，ABC1tan4A 3tan5B（）求角的大小；C（）若最大边的边长为，求最小边的边长ABC17-7-答案答案选择题1、A.已知向量，则与垂直。(5,6)a (6,5)b 30300a b ab2、C ，由与垂直可得：2(3,)nab=2 abb，。2(3,)(1,)303nnnn 2a3、解析：，32131 1 122a aa b 4、A 在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若=2，=，则ADDBCDCBCA31，=。22()33CDCAADCAABCACBCA 1233CACB 325B 由向量的减法知EFOFOE 6、D 1322ab(12).，填空题-8-1、解析：已知向量量，则2 411ab，=(2,4)ab()bab+2+4+=0，实数=32、【解析】。212211cos60122aabaa baab A3、解析：(0,1)(1,1)0(1)1 11.AB AC A解答题1、解:(1)(3,4)AB (3,4)ACc 由 得 3(3)162530AB ACcc A253c (2)(3,4)AB (2,4)AC 6 161cos5 205AB ACAAB AC A A22 5sin1 cos5AA2、解：（1）sintan3 73 7cosCCC，又 解得22sincos1CC1cos8C ，是锐角tan0C C1cos8C（2），52CB CA A5cos2abC20ab又9ab22281aabb2241ab2222cos36cababC6c 3、解：由题意，得为锐角，3cos5BB，54sinB ，102743sin)sin(sinBCBA 由正弦定理得，710c111048sin222757SacB A4、解：（）由，根据正弦定理得，所以，2 sinabAsin2sinsinABA1sin2B 由为锐角三角形得ABC6B（）根据余弦定理，得2222cosbacacB2725457所以，7b-9-5、本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分 12 分解：（），()CAB1345tantan()113145CAB 又，0C34C（），边最大，即34C AB17AB 又，角最小，边为最小边tantan0ABAB，ABC由且，22sin1tancos4sincos1AAAAA，02A，得由得：17sin17A sinsinABBCCAsin2sinABCABCA所以，最小边2BC