立体几何初步(知识点梳理).pdf

春季高考立体几何部分知识点梳理及历年试题春季高考立体几何部分知识点梳理及历年试题一一.线面之间空间关系及证明方法线面之间空间关系及证明方法A.线线/线的证明方法线的证明方法1.将两条直线放到一个平面内（或者转移到同一平面内）利用平行四边形或者三角形的中位线来证明2.一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.（线（线/面面线线/线）线）3.如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。（面（面/面面线线/线）线）4.垂直于同一个平面的两条直线平行。B.线线线的证明方法线的证明方法1.异面直线平移到一个平面内证明垂直2.一条直线垂直于一个平面,则这条直线与平面内任意直线垂直.（线（线面面线线线）线）C.线线/面的证明方法面的证明方法1.平面外一直线与平面内一直线平行,则该直线与此平面平行.（线（线/线线线线/面）面）2.如果两个平面平行,那么其中一平面内的任一直线平行于另一平面（面（面/面面线线/面）面）D.线线面的证明方法面的证明方法1.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（线（线线线线线面）面）2.两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面（面（面面面线线面）面）E.面面/面的证明方法面的证明方法1.一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两平面平行（线（线/面面面面/面）面）2.如果一个平面内的两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行,那么这两个平面平行（线（线/线线面面/面）面）3.垂直于同一条直线的两个平面平行。4.平行于同一个平面的两个平面平行。F.面面面的证明方法面的证明方法1.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直（线（线面面面面面）面）二二.各几何体的体积公式各几何体的体积公式柱体（圆柱，棱柱）V=s h 其中 s 为底面积，h 为高椎体（圆柱，棱柱）V=其中 s 为底面积，h 为高13 球体 体积 V=表面积 S=443322012 年春考真题年春考真题23.已知空间四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点，给出下列四个命题：1.AC 与 BD 是相交直线 2.AB/DC3.四边形 EFGH 是平行四边形 4.EH/平面 BCD其中真命题的个数是A.4 B.3 C.2 D.1解析：如图AC 与 BD 没有相交，是异面直线。所以 1 错；AB 和 DC 也是异面直线，所以 2 错。根据三角形中位线 EH/BD,FG/BD,所以 EH/FG,同理 HG/EF,所以四边形 EFGH 是平行四边形是正确的；因为 EH/FG,所以 EH/平面 BCD 正确(平面外一直线与平面内一直线平行,则该直线与此平面平行)。综合来看正确的命题有 2 个，答案选 C2012 年春考真题年春考真题 28 题题已知圆锥的底面半径为 1，高为 3，则该圆锥的体积是_.解析：V=V=V=13 132 13 12 32012 年春考真题年春考真题 33 题题33.如图所示，已知正四棱锥 S-ABCD，E，F 分别是棱柱 SA，SC 的中点。求证（1）EF/平面 ABCD （2）EF平面 SBD解析：解析：（1）连接 AC 交 BD 于 P，在中 E，F 分别是棱柱 SA，SC 的中点，所以在三角形中中位线 EF/AC。因为 AC面 ABCD，EF 面 ABCD，所以 EF/平面 ABCD（平面外一直线与平面内一直线平行,则该直线与此平面平行.）（2）连接 SP，因为 p 是正四棱锥 S-ABCD 的中心，所以 SP面 ABCD，所以 SPAP，又因为在正方形 ABCD 中 APBD，所以 AP面 SBD（一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直），因为 EF/AP,所以 EF平面 SBD2013 年春考真题年春考真题 18 题题18.下列四个命题：(1).过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面平行；(2).过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面平垂直；(3).平行于同一个平面的两个平面平行；(4).垂直于同一个平面的两个平面平行。其中真命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4解析：解析：过平面外一点可以有很多条直线与已知平面平行，这些直线可以构成一个平面与已知平面平行所以(1)错。垂直于同一个平面的两个平面也可以垂直，例如墙角上的三个面。所以真命题的个数为 2 个。28一个球的体积与其表面积的数值恰好相等，该球的直径是_.解析：解析：设球的半径为 r，球体体积 V=，表面积 S=4 有等式4解得 r=3，4332433=2所以直径为 6。2013 年春考真题年春考真题 33 题题33.如图所示，已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1（1）求三棱锥 C1-BCD 的体积（2）求证平面 C1BD平面 A1B1CD解析：解析：（1）VC1-BCD=SBCDCC1=1313(12 1 1)116 （2）证明：在正方体 ABCD-A1B1C1D1中棱 A1B1面 BB1CC1,所以 A1B1BC1（一条直线垂直于一个平面,则这条直线与平面内任意直线垂直）在正方形 BB1CC1中 BC1CB1，又因为 A1B1与 CB1相交于 B1,所以 BC1平面 A1B1CD，（一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直）面 C1BD 过直线 BC1，所以平面 C1BD平面 A1B1CD（如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直）2014 年春考真题年春考真题 17 题题17.正方体的棱长为 2，下列结论正确的是 （A）异面直线 AD1与 CD 所成的角为 45 （B）直线 AD1与平面 ABCD 所成的角为 60 （C）直线 AD1与 CD1所成的角为 90（D）VD1-ACD=43解析：解析：A 中的异面直线问题要将异面直线转移到一个平面内，观察图形因为 CD/C1D1所以异面直线 AD1与 CD 所成的角转成异面直线 AD1与 C1D1所成的角，即角 A D1C1。因为 C1D1面 AA1DD1，所以 C1D1AD1，角 A D1C1=90B 考察的是线与面成的角。因为 DD1面 ABCD，所以直线 AD1与平面 ABCD 所成的角为角 D AD1，为 45C 中直线 AD1与 CD1还有直线 AC 构成了等边三角形，所以 AD1与 CD1所成的角为 60D 中 VD1-ACD=13（12 2 2）243综上，D 答案正确。2014 年春考真题年春考真题 24 题题24.如一个圆锥的侧面展开图是面积为 8 的半圆面，则该圆锥的体积为_.解析：解析：如图如图圆的面积公式为 r2，根据半圆面积 8 解得半径 r=4，半圆的周长为 r=4，这 4 要充当圆锥底面的周长，所以圆锥底面的半径 R 为2,在圆锥中母线 r=4，解出 h=2，所以圆锥的体积为 V=123132 1322 2 38 3 32014 年春考真题年春考真题 29 题题29.如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD，PA=AD，E 为PD 中点，AB/CD 且 AB=CD，ABAD。求证：12（1）AE平面 PCD（2）AE/平面 PBC解析：解析：（1）因为 PA平面 ABCD，所以 PA AB，因为 ABAD，所以 AB面 PAD，因为 AB/CD所以 CD面 PAD，所以 CDAE在三角形 APD 中 PA=AD，且 E 为等腰三角形的中点，所以 AEPD，因为 CD 与 PD 相交于D 所以 AE平面 PCD（一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直）（2）如图取 PC 的中点 F，分别连接 EF 和 BF。因为 E 为 PD 的中点，所以 EF 为三角形 PDC 的中位线，所以 EF/DC 且 EF=CD，因为 AB/DC 且 AB=CD，所以1212AB/EF且 AB=EF，所以四边形 ABEF 为平行四边形。所以 AE/FB。因为 AE 不在面 PBC 内，FB 在面PBC 内所以 AE/平面 PBC（平面外一直线与平面内一直线平行,则该直线与此平面平行.）