高中阶段常见函数性质汇总(学生用).pdf

1高中阶段常见函数性质汇总高中阶段常见函数性质汇总函 数 名 称：常数函数常数函数解析式 形 式：f f(x x)=)=b b (b bR)R)图象及其性质：函数f f(x x)的图象是平行于x x轴或与x x轴重合（垂直于y y轴）的直线定 义 域：R R值 域：bb单 调 性：没有单调性奇 偶 性：均为偶函数当b b=0=0 时，函数既是奇函数又是偶函数周 期 性：无周期性函 数 名 称：一次函数一次函数解析式 形 式：f f(x x)=)=kxkx+b b (k k0,0,b bR)R)图象及其性质：直线型图象。|k|k|越大，图象越陡；|k|k|越小，图象越平缓；当b b=0=0 时，函数f f(x x)的图象过原点；当b b=0=0 且k k=1=1 时，函数f f(x x)的图象为一、三象限角平分线；当b b=0=0 且k k=-1=-1 时，函数f f(x x)的图象为二、四象限角平分线；定 义 域：R R值 域：R R单 调 性：当kk0 0 时，函数f f(x x)为 R R 上的增函数；当kkk0 0 时，函数f f(x x)的图象分别在第一、第三象限；当kkk0 0 时，函数f f(x x)为和上的减函数；)0,(),0(当kkk0 0 时，函cay cdx数f f(x x)的图象分别在直线与直线形成的左下与右上部分；cay cdx当kk0 0 时，函数f fx x)的图象分别在直线与直线形成的左上cay cdx与右下部分；双曲线型曲线，直线与直线分别是曲线的两条渐近线；cay cdx3图象成中心对称图形，对称中心为点；),(cacd图象成轴对称图形，对称轴有两条，分别为、cdaxy；cdaxy由于cacdxcadbcdcxcadbcadcxcadbdcxcadcxbaxxf2)()(令，则2cadbckcacdxkxf)(进而函数f f(x x)的图象可以看成是由函数向左平移个单位，向上平xky cd移 个单位得到的ca定 义 域：),(),(cdcd值 域：),(),(caca单 调 性：当时，函数在和上均为减函数；0 adbc),(cd),cd当时，函数在和上均为增函数；0 adbc),(cd),(cd奇 偶 性：非奇非偶函数周 期 性：无函 数 名 称：二次函数二次函数解析式 形 式：一般式：)0()(2acbxaxxf4顶点式：)0()()(2ahkxaxf两根式：)0)()()(21axxxxaxf图象及其性质：图形为抛物线，对称轴为，顶点坐标为或abx2)44,2(2abacab，与轴的交点为；),(hky),0(c当时，抛物线的开口向上，此时函数图象有最低点0a；当时，抛物线的开口向下，此时函数图象有最高)44,2(2abacab0a点；)44,2(2abacab当时，函数图象与轴有两个交点，当042acbx时，函数图象与轴有一个交点，当时，042acbx042acb函数图象与轴没有交点；x横坐标关于对称轴对称时，纵坐标相等；当时，横坐标距对称轴0a近则函数值小，当时，横坐标距对称轴近则函数值大；0a函数均可由函数平移得到；)0()(2acbxaxxf)0()(2aaxxf定 义 域：R R值 域：当时，值域为；当时，值域为0a),44(2abac0a)44,(2abac单 调 性：当时，上为减函数，上为增函数；0a2,(ab),2ab当时，上为减函数，上为增函数；0a),2ab2,(ab奇 偶 性：当时，函数为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数0b0b周 期 性：无5函 数 名 称：指数函数指数函数解析式 形 式：)1,0()(aaaxfx图象及其性质：函数图象恒过点，与 轴不相交，只是无限靠近；)1,0(x函数与的图象关于轴对称；xaxf)(xxaaxf)1()(y当时，轴以左的图象夹在在直线与轴之间，轴以右的1ay1yxy图象在直线以上；当时，轴以左的图象在直线以上，1y10 ay1y轴以右的图象夹在在直线与轴之间；y1yx第一象限内，底数大，图象在上方；定 义 域：R R值 域：),0(单 调 性：当时，函数为增函数；当时，函数为减函数；1a10a奇 偶 性：无6反 函 数：对数函数)1,0(log)(aaxxfa周 期 性：无函 数 名 称：对数函数对数函数解析式 形 式：)1,0(log)(aaxxfa图象及其性质：函数图象恒过点，与轴不相交，只是无限靠近；)0,1(y函数与的图象关于轴对称；xxfalog)(xxxfaaloglog)(1x当时，轴以下的图象夹在在直线与轴之间，轴以上的1ax1xyx图象在直线以右；当时，轴以下的图象在直线以右，1x10 ax1x轴以上的图象夹在在直线与轴之间；x1xy第一象限内，底数大，图象在右方；定 义 域：),0(值 域：R R单 调 性：当时，函数为增函数；当时，函数为减函数；与指数函数1a10a的单调性类似，因为两函数互为反函数奇 偶 性：无反 函 数：指数函数)1,0()(aaaxfx周 期 性：无函 数 名 称：对钩函数对钩函数7解析式 形 式：xxxf1)(图象及其性质：函数图象与轴及直线不相交，只是无限靠近；yxy 当时，函数有最低点，即当时函数取得最小0 x)(xfy)2,1(1x值；2)1(f当时，函数有最高点，即当时函数取得0 x)(xfy)2,1(1x最大值；2)1(f定 义 域：),0()0,(值 域：),22,(单 调 性：在和上函数为增函数；在和上函数为减函数；1,(),1 )0,1 1,0(奇 偶 性：奇函数周 期 性：无1 1、幂函数的定义一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数.如yxxx等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等11234,yxyxyx函数.82、函数的图像（1）（2）yx12yx （3）（4）（5）2yx1yx3yx用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出幂函数的性质。3幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0 时，幂函数的图象都通过原点，并且在0，+）上，是增函数（3）0 时，幂函数的图象在区间（0，+）上是减函数.（4）在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.规律总结1在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2对于幂函数 y，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定x图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即0，01 和1 三种情况下曲线的基本形状，还要注意0，1 三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即0（1）时图象是抛物线型；0 时图象是双曲线型；1 时图象是竖直抛物线型；01 时图象是横9卧抛物线型在0，+上，、是增函数，yx2yx3yx12yx在（0，+）上，是减函数。1yxxxxxxyyyyy121003.110210121，如）双曲线型（图像向上发展，如图像向右发展。，如）抛物线型（，如，如）直线型（10