高中文科数学立体几何知识点总结(2).pdf

1/11mll立体几何知识点整理（文科）一一直线和平面的三种位置关系：直线和平面的三种位置关系：1.线面平行 l符号表示：2.线面相交 Al符号表示：3.线在面内l符号表示：二二平行关系：平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。mlmll/方法二：用面面平行实现。mlml/方法三：用线面垂直实现。若，则。ml,ml/方法四：用向量方法：若向量 和向量共线且 l、m 不重合，则lm。ml/2.线面平行：方法一：用线线平行实现。/llmml方法二：用面面平行实现。/ll方法三：用平面法向量实现。若为平面的一个法向量，n且,则。ln l/l3.面面平行：方法一：用线线平行实现。/,/、mlmlmmll方法二：用线面平行实现。/,/、mlmlmlnlmllmmllm 2/11三垂直关系：1.线面垂直：方法一：用线线垂直实现。lABACAABACABlACl,方法二：用面面垂直实现。llmlm,2.面面垂直：方法一：用线面垂直实现。ll方法二：计算所成二面角为直角。3.线线垂直：方法一：用线面垂直实现。mlml方法二：三垂线定理及其逆定理。POlOAlPAl 方法三：用向量方法：若向量 和向量的数量积为 0，则。lmml 三三夹角问题。夹角问题。(一)异面直线所成的角：(1)范围：90,0(2)求法：方法一：定义法。步骤 1：平移，使它们相交，找到夹角。步骤 2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)余弦定理：abcba2cos222(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角)：ACABACABcos(二)线面角(1)定义：直线 l 上任取一点 P（交点除外），作 PO于 O,连结 AO，则 AO 为斜线 PA 在面内的射影，(图中)为直线 l 与面所成的PAO角。ABCllmlmlcbaABCnAOPlAOP 3/11AOP(2)范围：90,0当时，或 0l/l当时，90l(3)求法：方法一：定义法。步骤 1：作出线面角，并证明。步骤 2：解三角形，求出线面角。(三)二面角及其平面角(1)定义：在棱 l 上取一点 P，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m、n，则射线 m 和 n 的夹角为二面角l的平面角。nml P(2)范围：180,0(3)求法：方法一：定义法。步骤 1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。步骤 2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步骤 1：如图，若平面 POA 同时垂直于平面，则交线(射线)AP 和 AO 的夹角就是二面、角。步骤 2：解三角形，求出二面角。AOP方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。n1n2步骤一：计算121212cosn nn nnn 步骤二：判断与的关系，可能相等或12n n 者互补。四四距离问题。距离问题。1点面距。方法一：几何法。OAP 步骤 1：过点 P 作 PO于 O，线段 PO 即为所求。步骤 2：计算线段 PO 的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)2线面距、面面距均可转化为点面距。3异面直线之间的距离方法一：转化为线面距离。nm如图，m 和 n 为两条异面直线，且n，则异面直线 m 和 n 之间的距离可转化为/m 4/11直线 m 与平面之间的距离。方法二：直接计算公垂线段的长度。方法三：公式法。dcba mDCBAmn如图，AD 是异面直线 m 和 n 的公垂线段，则异面直线 m 和 n 之间的距离为：/mmcos2222abbacd五五空间向量空间向量(一)空间向量基本定理若向量为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量，都存在唯一的有序实数对cba,p，使得。zyx、czbyaxp(二)三点共线，四点共面问题1.A，B，C 三点共线，且OAxOByOC 1xy当时，A 是线段 BC 的 21 yxA，B，C 三点共线ACAB2.A，B，C，D 四点共面，且OAxOByOCzOD 1xyz当时，A 是BCD 的 13xyzA，B，C，D 四点共面ADyACxAB(三)空间向量的坐标运算1.已知空间中 A、B 两点的坐标分别为：，则：111(,)A x y z222(,)B xyz ;AB BAd,AB ABCD1A1C1B 5/112.若空间中的向量，111(,)ax y z),(222zyxb 则 abab a b cosa b 六常见几何体的特征及运算(一)长方体1.长方体的对角线相等且互相平分。2.若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为，则、222coscoscos+若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为，则、222coscoscos+3.若长方体的长宽高分别为 a、b、c，则体对角线长为 ，表面积为 ，体积为 。(二)正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。(三)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。(四)正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。(只有五种正多面体)(五)棱锥的性质：平行于底面的的截面与底面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。(六)体积：、V、V(七)球1.定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。2.设球半径为 R，小圆的半径为 r，小圆圆心为 O1，球心 O 到小圆的距离为 d，则它们三者之间的数量关系是 。3.球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。4.球的表面积公式：体积公式：6/11高考题典例高考题典例考点考点 1 点到平面的距离点到平面的距离例 1 如图，正三棱柱111ABCABC的所有棱长都为2，D为1CC中点（）求证：1AB 平面1ABD；（）求二面角1AADB的大小；（）求点C到平面1ABD的距离解答过程解答过程（）取BC中点O，连结AOABC为正三角形，AOBC正三棱柱111ABCABC中，平面ABC平面11BCC B，AO平面11BCC B连结1BO，在正方形11BBC C中，OD，分别为1BCCC，的中点，1BOBD，1ABBD在正方形11ABB A中，11ABAB，1AB平面1ABD（）设1AB与1AB交于点G，在平面1ABD中，作1GFAD于F，连结AF，由（）得1AB 平面1ABD 1AFAD，AFG为二面角1AADB的平面角在1AAD中，由等面积法可求得4 55AF，又1122AGAB，210sin44 55AGAFGAF所以二面角1AADB的大小为10arcsin4（）1ABD中，11152 26A BDBDADABS，1BCDS在正三棱柱中，1A到平面11BCC B的距离为3设点C到平面1ABD的距离为d由11ABCDCA BDVV，得111333BCDA BDSSdAA，1322BCDA BDSdS点C到平面1ABD的距离为22考点考点 2 异面直线的距离异面直线的距离ABCD1A1C1BOF 7/11例例 2 已知三棱锥ABCS，底面是边长为24的正三角形，棱SC的长为 2，且垂直于底面.DE、分别为ABBC、的中点，求 CD 与 SE 间的距离.解答过程解答过程：如图所示，取 BD 的中点 F，连结 EF，SF，CF，EF为BCD的中位线，EFCDCD,面SEF,CD到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线CD上一点 C 到平面SEF的距离，设其为 h，由题意知，24BC,D、E、F 分别是 AB、BC、BD 的中点，2,2,621,62SCDFCDEFCD33222621312131SCDFEFVCEFS在 RtSCE中，3222CESCSE在 RtSCF中，30224422CFSCSF又3,6SEFSEF 由于hSVVSEFCEFSSEFC31，即332331h，解得332h 故 CD 与 SE 间的距离为332.考点考点 3 直线到平面的距离直线到平面的距离例例 3 如图，在棱长为 2 的正方体1AC中，G 是1AA的中点，求 BD 到平面11DGB的距离.思路启迪思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.解答过程解答过程：解析一BD平面11DGB，BD上任意一点到平面11DGB的距离皆为所求，以下求点 O 平面11DGB的距离,1111CADB，AADB111，11DB平面11ACCA,又11DB平面11DGB 平面1111DGBACCA，两个平面的交线是GO1,BACDOGH1A1C1D1B1O 8/11作GOOH1于 H，则有OH平面11DGB，即 OH 是 O 点到平面11DGB的距离.在OGO1中，222212111AOOOSOGO.又362,23212111OHOHGOOHSOGO.即 BD 到平面11DGB的距离等于362.解析二 BD平面11DGB，BD上任意一点到平面11DGB的距离皆为所求，以下求点 B 平面11DGB的距离.设点 B 到平面11DGB的距离为 h，将它视为三棱锥11DGBB 的高，则，由于632221,111111DGBGBBDDGBBSVV 34222213111GBBDV,36264h即 BD 到平面11DGB的距离等于362.小结小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.考点考点 4 异面直线所成的角异面直线所成的角例例 4 如图，在RtAOB中，6OAB，斜边4AB RtAOC可以通过RtAOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC的直二面角D是AB的中点（I）求证：平面COD 平面AOB；（II）求异面直线AO与CD所成角的大小解答过程解答过程：（I）由题意，COAO，BOAO，BOC是二面角BAOC是直二面角，COBO，又AOBOO，CO平面AOB，又CO 平面COD平面COD 平面AOB（II）作DEOB，垂足为E，连结CE（如图），则DEAO，OCADBEOCADBxyz 9/11CDE是异面直线AO与CD所成的角在RtCOE中2COBO，112OEBO，225CECOOE又132DEAO在RtCDE中，515tan33CECDEDE异面直线AO与CD所成角的大小为15arctan3小结小结：求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：2,0.考点考点 5 直线和平面所成的角直线和平面所成的角例例 5.四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC 底面ABCD已知45ABC，2AB，2 2BC，3SASB（）证明SABC；（）求直线SD与平面SAB所成角的大小解答过程：解答过程：（）作SOBC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC底面ABCD，得SO底面ABCD因为SASB，所以AOBO，又45ABC，故AOB为等腰直角三角形，AOBO，由三垂线定理，得SABC（）由（）知SABC，依题设ADBC，故SAAD，由2 2ADBC，3SA，2AO，得 1SO，11SD SAB的面积22111222SABSAABA连结DB，得DAB的面积21sin13522SAB ADA设D到平面SAB的距离为h，由于D SABSABDVV，得121133h SSO SAA，解得2h 设SD与平面SAB所成角为，则222sin1111hSD所以，直线SD与平面SBC所成的我为22arcsin11DBCASODBCAS 10/11小结小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：构造作出斜线与射影所成的角，证明论证作出的角为所求的角，计算常用解三角形的方法求角，结论点明直线和平面所成的角的值.考点考点 6 二面角二面角例例 6如图，已知直二面角PQ，APQ，B，C，CACB，45BAP，直线CA和平面所成的角为30（I）证明BCPQ（II）求二面角BACP的大小过程指引过程指引：（I）在平面内过点C作COPQ于点O，连结OB因为，PQ，所以CO，又因为CACB，所以OAOB而45BAO，所以45ABO，90AOB，从而BOPQ，又COPQ，所以PQ平面OBC因为BC 平面OBC，故PQBC（II）由（I）知，BOPQ，又，PQ，BO，所以BO过点O作OHAC于点H，连结BH，由三垂线定理知，BHAC故BHO是二面角BACP的平面角由（I）知，CO，所以CAO是CA和平面所成的角，则30CAO，不妨设2AC，则3AO，3sin302OHAO在RtOAB中，45ABOBAO，所以3BOAO，于是在RtBOH中，3tan232BOBHOOH故二面角BACP的大小为arctan2小结小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，由二面角两个平面内的两ABCQPABCQPOH 11/11条平行直线找出棱，补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.考点考点 7 利用空间向量求空间距离和角利用空间向量求空间距离和角例例 7 如图，已知1111ABCDABC D是棱长为3的正方体，点E在1AA上，点F在1CC上，且11AEFC（1）求证：1EBFD，四点共面；（2）若点G在BC上，23BG，点M在1BB上，GMBF，垂足为H，求证：EM 平面11BCC B；（3）用表示截面1EBFD和侧面11BCC B所成的锐二面角的大小，求tan过程指引过程指引：（1）如图，在1DD上取点N，使1DN，连结EN，CN，则1AEDN，12CFND因为AEDN，1NDCF，所以四边形ADNE，1CFD N都为平行四边形从而ENAD，1FDCN又因为AD BC，所以ENBC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CNBE，从而1FDBE因此，1EBFD，四点共面（2）如图，GMBF，又BMBC，所以BGMCFB，tantanBMBGBGMBGCFBAA23132BCBGCFA因为AE BM，所以ABME为平行四边形，从而ABEM又AB平面11BCC B，所以EM 平面11BCC B（3）如图，连结EH因为MHBF，EMBF，所以BF 平面EMH，得EHBF于是EHM是所求的二面角的平面角，即EHM因为MBHCFB，所以sinsinMHBMMBHBMCFBAA22223311332BCBMBCCF A，tan13EMMHCBAGHMDEF1B1A1D1CCBAGHMDEF1B1A1D1CN