1、曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 前一章我们已经把积分概念从积分范围的角度前一章我们已经把积分概念从积分范围的角度从数轴上的一个区间推广到平面或空间内的一个从数轴上的一个区间推广到平面或空间内的一个区域，在应用领域，有时常常会遇到计算密度不区域，在应用领域，有时常常会遇到计算密度不均匀的曲线的质量、变力对质点所作的功、通过均匀的曲线的质量、变力对质点所作的功、通过某曲面的流体的流量等，为解决这些问题，需要某曲面的流体的流量等，为解决这些问题，需要对积分概念作进一步的推广，引进曲线积分和曲对积分概念作进一步的推广，引进曲线积分和曲面积分的概念，给出计算方法，这就是本章的中面积分的概念，给出计
2、算方法，这就是本章的中心内容，此外还要介绍心内容，此外还要介绍 Green 公式、公式、Gauss公公式式 和和 Stokes 公式，这些公式揭示了存在于各公式，这些公式揭示了存在于各种积分之间的某种联系。种积分之间的某种联系。.重点重点第二型曲线积分与曲面积分的概念和计算方法第二型曲线积分与曲面积分的概念和计算方法Green公式、公式、Gauss 公式公式曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件难点难点第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算基本要求基本要求 正确理解曲线积分和曲面积分概念正确理解曲线积分和曲面积分概念熟练掌握曲线积分与曲面积分的计算方法熟练掌握曲线积分与曲面积分的计
3、算方法.掌握几种积分间的联系，明确它们在概念、掌握几种积分间的联系，明确它们在概念、性质、计算方法上的异同性质、计算方法上的异同掌握第二型曲线积分与路径无关的条件掌握第二型曲线积分与路径无关的条件牢固掌握牢固掌握Green公式及其成立条件公式及其成立条件牢固掌握牢固掌握 Gauss 公式及其成立条件公式及其成立条件.对弧长的曲线积分及其计算对弧长的曲线积分及其计算一、问题的提出一、问题的提出实例实例:曲线形构件的质量曲线形构件的质量匀质之质量匀质之质量分割分割求和求和近似值近似值取极限取极限精确值精确值.二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的概念1.定义定义.积分弧段积分弧段被积函数
4、被积函数积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量.2.存在条件：存在条件：3.推广推广.注意：注意：4.性质性质.三、对弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算定理定理.注意注意:特殊情形特殊情形.推广推广:一代、二换、三定限一代、二换、三定限代代：将积分曲线的参数方程代入被积函数，：将积分曲线的参数方程代入被积函数，换换：换弧微元：换弧微元定限定限：定积分限，下限：定积分限，下限小参数，上限小参数，上限大参数大参数.例例1。计算。计算其中其中L为为在第二象限的部分在第二象限的部分解一解一将将L表示为表示为.解二解二将将L表示为表示为解三解三将将L表示为参数方程表示为参数方程.例例2
5、解解.例例3解解.例例4解解例例5.解解由对称性由对称性,知知注注 关于对弧长的曲线积分的对称性关于对弧长的曲线积分的对称性若若 L 关于关于 y 轴对称轴对称.其中其中L1 是是L 的关于的关于 y 轴对称的部分弧段轴对称的部分弧段若若L关于关于 x 轴对称轴对称其中其中L2 是是L 的关于的关于x 轴对称的部分弧段轴对称的部分弧段.若若 L 关于关于 原点原点 对称对称其中其中 L3 是是 L 的对称的部分弧段的对称的部分弧段若若 L 关于直线关于直线 y=x 对称对称与重积分的对称性十分类似与重积分的对称性十分类似.四、几何与物理意义四、几何与物理意义.五、小结五、小结1 1、对弧长曲线积分的概念、对弧长曲线积分的概念2 2、对弧长曲线积分的计算、对弧长曲线积分的计算3 3、对弧长曲线积分的应用、对弧长曲线积分的应用思考题思考题对弧长的曲线积分的定义中对弧长的曲线积分的定义中 的符号的符号可能为负吗？可能为负吗？.思考题解答思考题解答的符号永远为正，它表示弧段的长度的符号永远为正，它表示弧段的长度.练习题练习题.练习题答案练习题答案.
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