中考初三圆知识点专题复习.pdf

1一、圆中重要的知识点一、圆中重要的知识点1 1、垂径定理、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：是直径 弧弧 弧弧ABABCDCEDEBCBDACAD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在中，OABCD 弧弧ACBD例题例题 1 1、基本概念基本概念1下面四个命题中正确的一个是（）A平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2下列命题中，正确的是（）A过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B过弦的中点的直线必过圆心C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D弦的垂线平分弦所对的弧例题例题 2 2、垂径定理、垂径定理1 1、在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为 16cm，那么油面宽度AB是_cm.OEDCBAOCDAB22 2、在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，如果油面宽度是 48cm，那么油的最大深度为_cm.3 3、如图，已知在中，弦，且，垂足为，于，于.OCDAB CDAB HABOE ECDOF F（1）求证：四边形是正方形.OEHF（2）若，求圆心到弦和的距离.3CH9DHOABCD4、已知：ABC 内接于O，AB=AC，半径 OB=5cm，圆心 O 到 BC 的距离为 3cm，求 AB 的长5 5、如图，F 是以 O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，ADBC 于 D，求证：AD=BF.21例题例题 3 3、度数问题、度数问题1、已知：在中，弦，点到的距离等于的一半，求：的度数和圆的半径.Ocm12ABOABABAOB3 2 2、已知：O的半径，弦AB、AC的长分别是、.求的度数。1OA23BAC例题例题 4 4、相交问题、相交问题如图，已知O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=6cm，EB=2cm，BED=30，求 CD 的长.例题例题 5 5、平行问题、平行问题在直径为 50cm 的O 中，弦 AB=40cm，弦 CD=48cm，且 ABCD，求：AB 与 CD 之间的距离.例题例题 6 6、同心圆问题、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为4.求证：.ba,22baBDAD例题例题 7 7、平行与相似、平行与相似已知：如图，是的直径，是弦，于.求证：.ABOCD于CDAE ECDBF FFDEC 六、圆心角定理六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称 1 推 3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即：；AOBDOE ABDE；弧弧OCOFBABD七、圆周角定理七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：和是弧所对的圆心角和圆周角AOBACBAB 2AOBACB 2、圆周角定理的推论：FEDCBAOCBAODCBAO5推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在中，、都是所对的圆周角OCD CD 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在中，是直径 或OAB90C 是直径90CAB推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在中，ABCOCOAOB 是直角三角形或ABC90C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。【例 1】如图，已知O 中，AB 为直径，AB=10cm，弦 AC=6cm，ACB 的平分线交O 于 D，求 BC、AD 和 BD 的长【例 2】如图所示，已知 AB 为O 的直径，AC 为弦，ODBC，交 AC 于 D，BC=4cm（1）求证：ACOD；（2）求 OD 的长；（3）若 2sinA1=0，求O 的直径CBAOCBAO6【例 3】四边形 ABCD 中，ABDC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图，求 BD 的长【例 4】如图 1，AB 是半O 的直径，过 A、B 两点作半O 的弦，当两弦交点恰好落在半O 上 C 点时，则有ACACBCBC=AB2（1）如图 2，若两弦交于点 P 在半O 内，则 APACBPBD=AB2是否成立？请说明理由（2）如图 3，若两弦 AC、BD 的延长线交于 P 点，则 AB2=参照（1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性八、圆内接四边形八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在中，O 四边形是内接四边形ABCD 180CBAD180BD DAEC 例 1、如图 7-107，O 中，两弦 ABCD，M 是 AB 的中点，过 M 点作弦 DE求证：E，M，O，C 四点共圆EDCBA7九、切线的性质与判定定理九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：且过半径外端MNOAMNOA 是的切线MNO（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：、是的两条切线PAPB PAPB 平分POBPA利用切线性质计算线段的长度利用切线性质计算线段的长度NMAOPBAO8例例 1 1：如图，已知：AB 是O 的直径，P 为延长线上的一点，PC 切O 于 C，CDAB 于 D，又 PC=4，O 的半径为 3求：OD 的长利用切线性质计算角的度数利用切线性质计算角的度数例例 2 2：如图，已知：AB 是O 的直径，CD 切O 于 C，AECD 于 E，BC 的延长线与 AE 的延长线交于 F，且AF=BF求：A 的度数利用切线性质证明角相等利用切线性质证明角相等例例 3 3：如图，已知：AB 为O 的直径，过 A 作弦 AC、AD，并延长与过 B 的切线交于 M、N求证：MCN=MDN利用切线性质证线段相等利用切线性质证线段相等例例 4 4：如图，已知：AB 是O 直径，COAB，CD 切O 于 D，AD 交 CO 于 E求证：CD=CE9利用切线性质证两直线垂直利用切线性质证两直线垂直例例 5 5：如图，已知：ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作O，交 BC 于 D，DE 切O 于 D，交 AC 于 E求证：DEAC十一、圆幂定理十一、圆幂定理（1）相交弦定理相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在中，弦、相交于点，OABCDP PA PBPC PD（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在中，直径，OABCD 2CEAE BE（3）切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在中，是切线，是割线OPAPB 2PAPC PB（4）割线定理割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在中，、是割线OPBPE PC PBPD PE例1.如图，正方形 ABCD 的边长为1，以 BC 为直径。在正方形内作半圆 O，过 A 作半圆切线，切点为 F，交 CD 于PODCBAOEDCBADECBPAO10E，求 DE：AE 的值。例2.O 中的两条弦 AB 与 CD 相交于 E，若 AE6cm，BE2cm，CD7cm，那么 CE_cm。例3.如图3，P 是O 外一点，PC 切O 于点 C，PAB 是O 的割线，交O 于 A、B 两点，如果PA：PB1：4，PC12cm，O 的半径为10cm，则圆心 O 到 AB 的距离是_cm。图3例4.如图4，AB 为O 的直径，过 B 点作O 的切线 BC，OC 交O 于点 E，AE 的延长线交 BC 于点 D，（1）求证：；（2）若 ABBC2厘米，求 CE、CD 的长。图4例5.如图5，在直角三角形 ABC 中，A90，以 AB 边为直径作O，交斜边 BC 于点 D，过 D 点作O 的切线交AC 于 E。求证：BC2OE。图5 十二、两圆公共弦定理十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：垂直平分。12OOABBAO1O211即：、相交于、两点1O2OAB 垂直平分12OOAB十三、圆的公切线十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：中，；12Rt OO C22221122ABCOOOCO（2）外公切线长：是半径之差；内公切线长：是半径之和。2CO2CO十四、十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形 在中是正三角形，有关计算在中进行：；OABCRt BOD:1:3:2OD BD OB（2）正四边形同理，四边形的有关计算在中进行，Rt OAE：:1:1:2OE AE OA（3）正六边形同理，六边形的有关计算在中进行，.Rt OAB:1:3:2AB OB OA 1、如图所示，正六边形螺帽的边长是 2cm，这个扳手的开口 a 的值应是()A2 3 cm B3 cm C2 33cm D1 cmCO2O1BADCBAOECBADOBAO12 2、已知圆的半径是 2，则该圆的内接正六边形的面积是（）A3B9C18D 363、正三角形、正方形、圆三者的周长都等于l，它们的面积分别为 S1，S2、S3，则()AS1S2S3 BS3S1S2 CS1S2S3 DS2S1S3十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：；180n Rl（2）扇形面积公式：213602n RSlR：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长：扇形面积nRlS2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图 =2SSS侧表底222rhr（2）圆柱的体积：2Vr h3.圆锥侧面展开图（1）=SSS侧表底2Rrr（2）圆锥的体积：213Vr h1如图，AB 切O 于点 B，OA=2 3，AB=3，弦 BCOA，则劣弧的弧长为（）ABCSlBAO C1D1DCBAB1RrCBAO13A33 B32CD32 2、如图，在ABC 中，BC=4，以点 A 为圆心，2 为半径的A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于 E，交 AC 于 F，点 P 是A 上的一点，且EPF=40，则图中阴影部分的面积是（）A449 B849 C489 D889 3如图，一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的底面半径 r 与母线 R 之比；（2）圆锥的全面积