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构造法求数列通项公式

求数列通项公式是高考考察的重点和热点，本文将通过构造等比数列或等差数列求数列通项公式作以简单介绍，供同学们学习时参考。
一、构造等差数列求数列通项公式
运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为=A（其中A为常数）形式，根据等差数列的定义知是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出的通项公式，再根据与，从而求出的通项公式。
例1 在数列中，=，=（），求数列通项公式.
解析：由an+1=得，an+1 an=3 an+1-3 an=0，两边同除以an+1 an得，，
设bn=，则bn+1- bn=，根据等差数列的定义知，
数列｛bn｝是首相b1=2，公差d=的等差数列，
根据等差数列的通项公式得bn=2＋（n-1）=n＋
∴数列通项公式为an=
评析：本例通过变形，将递推公式变形成为形式，应用等差数列的通项公式，先求出的通项公式，从而求出的通项公式。
例2 在数列｛an｝中，Sn是其前n项和，且Sn≠0，a1=1，an=(n≥2)，求Sn与an。
解析：当n≥2时，an=Sn-Sn-1 代入an=得，Sn-Sn-1=，变形整理得Sn-Sn-1= SnSn-1两边除以SnSn-1得，-=2，∴｛｝是首相为1，公差为2的等差数列
∴=1+2（n-1）=2n-1, ∴ Sn=(n≥2),n=1也适合，∴Sn=(n≥1)
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=-，n=1不满足此式，
∴an={
评析：本例将所给条件变形成，先求出的通项公式，再求出原数列的通项公式，条件变形是难点。
二、构造等比数列求数列通项公式
运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f（n+1）=Af（n）（其中A为非零常数）形式，根据等比数列的定义知是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出的通项公式，再根据与，从而求出的通项公式。
例3在数列｛an｝中，a1=2，an=an-12(n≥2)，求数列｛an｝通项公式。
解析：∵ a1=2，an=an-12(n≥2)＞0，两边同时取对数得，lg an=2lg an-1
∴=2， 根据等比数列的定义知，数列｛lg an｝是首相为lg2，公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式得lg an=2n-1lg2=
∴数列通项公式为an=
评析：本例通过两边取对数，变形成形式，构造等比数列，先求出的通项公式，从而求出的通项公式。
例4在数列｛an｝中，a1=1，an+1=4an+3n+1，求数列｛an｝通项公式。
解析：设an+1+A（n+1）+B=4（an+An+B），（A、B为待定系数），展开得an+1=4an+3An+3B-A，与已知比较系数得{ ∴{
∴an+1+（n+1）+=4（an+n+），根据等比数列的定义知，
数列｛an+n+｝是首项为，公比为q=3的等比数列，∴an+n+=×3n-1
∴数列通项公式为an=×3n-1-n-
评析：待定系数法是构造数列的常用方法。
例5 在数列｛an｝中，a1=1 ，an+1an=4n ，求数列｛an｝通项公式。
解析：∵an+1an=4n ∴anan-1=4 n-1 两式相除得 =4 ，
∴a1，a3，a5……与a 2，a 4 ，a 6 ……是首相分别为a1，a 2 ，公比都是4的等比数列，
又∵a1=1，an+1an=4n ，∴a2=4
∴an={

练习：1.已知数列满足，，求
解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即

又，
解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即

又，
2. 数列{a}满足a=1，a=a+1（n≥2），求数列{a}的通项公式。
解：由a=a+1（n≥2）得a－2=（a－2），而a－2=1－2=－1，
∴数列{ a－2}是以为公比，－1为首项的等比数列
∴a－2=－（） ∴a=2－（）
3. 数列中，，求数列的通项公式。
解：由得设
比较系数得，解得或
若取，则有
∴是以为公比，以为首项的等比数列
∴
由逐差法可得
=
==
4. 设各项均为正数的数列的前n项和为，对于任意正整数n，都有等式：成立求的通项an.
解：，
∴
，∵，∴. 即是以2为公差的等差数列，且.
∴

（1）通过分解常数，可转化为特殊数列{a+k}的形式求解。一般地，形如a=p a+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=，从而得等比数列{a+k}。
（2）通过分解系数，可转化为特殊数列的形式求解。这种方法适用于型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列：设，比较系数得，可解得。
3、构造法
构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，联想出一种适当的辅助模型，进行命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式.
（1）构造等差数列或等比数列
由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.
（2）构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.
（3）构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种常用方法。
（4）构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.