直线、平面垂直的判定及其性质题(含答案).pdf

试卷第 1 页，总 8 页直线、平面垂直的判定及其性质题（含答案）直线、平面垂直的判定及其性质题（含答案）一、单选题一、单选题1如图，已知棱长为 1 的正方体中，是的中点，则直线与 111111平面所成角的正弦值是（）11A B C D 1551531031052如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，E、F、G 分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线 A1E 与 GF 所成角的余弦值是（）A B C D 1552210503已知边长为 2 的等边三角形，为的中点，以为折痕，将折成直二面角，则过四点的球的表面积为（）,A B C D 34564如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()A AC B BD C A1D D A1D15如图，已知正三棱柱的棱长均为 2，则异面直线与所成角的余 11111弦值是()试卷第 2 页，总 8 页A B C D 03212146如图，已知边长为 2 的正方体，点 为线段的中点，则直线 11111与平面所成角的正切值为（）11A B C D 22123227下列命题正确的是（）A 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行D 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行8已知互不重合的直线,互不重合的平面,给出下列四个命题，正确命题的个数,是若 ，则 /=/若，则 若，则 =若 ，则/A 1 B 2 C 3 D 49下列四个命题:试卷第 3 页，总 8 页(1)存在与两条异面直线都平行的平面;(2)过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行;(3)过平面外一点可作无数条直线与该平面平行;(4)过直线外一点可作无数个平面与该直线平行.其中正确的命题的个数是A B C D 1234二、填空题二、填空题10、是两个平面，m、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果 mn，m，n，那么.（2）如果 m，n，那么 mn.（3）如果，m，那么 m.（4）如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等.其中正确的命题有_.(填写所有正确命题的编号）11设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列正确命题的序号是,_(1)若 m,n,则 mn，(2)若则 ,/(3)若，且，则；(4)若，则 /12已知平面 ，直线，给出下列命题：若，则；若，则；/,/,/若，则；若，则.,其中是真命题的是_（填写所有真命题的序号）13给出下列命题：如果，是两条直线，且，那么 平行于经过 的任何平面；如果直线 和平面 满足，那么直线 与平面 内的任何直线平行；如果直线，和平面 满足，那么；如果直线，和平面 满足，那么；如果平面，满足，那么.其中正确命题的序号是_14如图，圆锥的底面圆直径 AB 为 2，母线长 SA 为 4，若小虫 P 从点 A 开始绕着圆锥表面爬行一圈到 SA 的中点 C，则小虫爬行的最短距离为_试卷第 4 页，总 8 页15已知矩形的长，宽，将其沿对角线折起，得到四面体=4=3，如图所示，给出下列结论：四面体体积的最大值为；725四面体外接球的表面积恒为定值；若分别为棱的中点，则恒有且；、当二面角的大小为时，棱的长为；60145当二面角为直二面角时，直线所成角的余弦值为 、1625其中正确的结论有_(请写出所有正确结论的序号)16如图所示，已知正方体，分别是上不重合的两个动 1111,1,1点，给山下列四个结论：；平面平面；1 11；平面平面.1 11其中，正确结论的序号是_17设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是_(填序号)若 m，n，则 mn；若 m，m，则；若 mn，m，则 n；若 m，则 m.18如图，正四棱锥的体积为 2，底面积为 6，为侧棱的中点，则直线 与平面所成的角为_.试卷第 5 页，总 8 页三、解答题三、解答题19如图 ABCD 是正方形,平面,.|=2=2（）求证:平面;（）求与平面所成角的大小；20如图,在四棱锥中,底面,底面是直角梯形,是线段的中点./=2,=1 证明：平面；若,求三棱锥的体积.=3 21如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB=5,AC=6,点 E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=,EF 交 BD 于点 H.将DEF 沿 EF 折到DEF 的位置,OD=54.10（）证明:DH平面 ABCD （）求二面角 B-DA-C 的正弦值.试卷第 6 页，总 8 页22如图，在斜三棱柱中，底面是边长为 的正三角形，11121=3，.1=10 1=60（）求证：平面平面；11（）求二面角的正弦值.1 23在三棱锥中，底面，是的中 =12=2点，是线段上的一点，且，连接，.=5 （1）求证：平面；/（2）求点 到平面的距离.24如图，四棱锥中，底面，=60，是的中点=试卷第 7 页，总 8 页（1）求证：；（2）求证：面；（3）求二面角 E-AB-C 的正切值25如图，在四棱锥中，底面是边长为 4 的菱形，=60面，是棱上一点，且，为的一个靠近 点的三等分点。=4 =1（1）求证：面（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值。26如图所示，在四棱锥中，平面，/.=12=2（1）求证：；试卷第 8 页，总 8 页（2）当几何体的体积等于 时，求四棱锥的侧面积.43 27如图，在斜三棱柱中，底面是边长为 的正三角形，为棱的 1112中点，.1=3 1=10 1=60（）求证：平面；11（）求斜三棱柱的体积.111答案第 1 页，总 21 页参考答案参考答案1D【解析】【分析】根据与平面的关系，先找到直线与平面的夹角，然后通过勾股定理求得各边长，11即可求得夹角的正弦值。【详解】连接、相交于点 M，连接 EM、AM11因为 EMAB，EMBC1所以 EM平面11则EAM 即为直线与平面所成的角11所以 =121=22 =12+(12)2=52所以 =2252=105所以选 D【点睛】本题考查了空间几何体线面的夹角关系，主要是找到直线与平面的夹角，再根据各长度求正弦值，属于中档题。2D【解析】【分析】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，可得和的坐标，进而可得,1,1，从而可得结论.1,【详解】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，,1,则可得，1(1,0,2),(0,0,1),(0,2,1),(1,1,0)，1=(1,0,1),=(1,1,1)设异面直线与所成的角为,1答案第 2 页，总 21 页则，故选 D.=|1,|=|1 1+0+(1)(1)2 2|=0【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.3C【解析】由题意，知过四点的球的直径为以为邻边的长方体的对角线的长，,而，则，所以球的表面积为，=3,=1=12(3)2+1+1=52=4(52)2=5故正确答案为 C.点睛：此题主要考查了从平面图形到空间几何体的变化过程的空间想象能力，简单组合体中直三棱锥与外接球关系，以及球的表面积的计算等方面的知识和技能力，属于中档题型，也是常考题型.在解决简单几何体的外接球问题中，一般情况下，球的直径为简单几何体的对角线的长.4B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，求出的坐标，以及的坐标，可1，1得，因此，即 =0 【详解】以 为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，1，设正方体棱长为，则，1(0，0，0)(1，1，0)(1，0，0)(0，1，0)，1(0，0，1)(12，12，1)=(12，12，1)，=(1，1，0)=(1，1，0)，1=(0，1，1)1=(0，0，1)=1212+0=0则即 答案第 3 页，总 21 页故选【点睛】本题考查了空间直线的位置关系，在解答本题中采用了建立空间直角坐标系，然后计算求出结果，较为基础。5C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以 AC 的中点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则：,，1(0,1,2)(3,0,0)1(3,0,2)(0,1,0)向量,，1=(3,1,2)1=(3,1,2).=1 1|1|1|=22 2 2 2=14本题选择 C 选项.答案第 4 页，总 21 页【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6A【解析】连接交于,连接,由于,所以平面,所以角11 1,11为所求线面角,其正切值为.故选.=221=22答案第 5 页，总 21 页7D【解析】分析：先举反例说明 A,B,C 不成立，再利用线面平行判定定理与性质定理说明 D正确.详解：因为两条相交直线和同一个平面所成的角也可相等，所以 A 错，一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，因为这三点可分布在另一个平面两侧，即这两个平面可相交，B 错，因为两个相交平面可同时垂直于第三个平面，所以 C 错，若一条直线平行于两个相交平面，过该直线作平面与两个相交平面分别相交于，则该1,2直线与平行，即相互平行，即 平行 所在平面，因此 与两个相交平面的交线平行，1,21,2121即得这条直线与这两个平面的交线平行，所以选 D.点睛：本题考查线面关系的判断，考查空间想象能力以及运用线面平行判定定理与性质定理论证的能力.8C【解析】【分析】由线线平行的性质定理能判定 A 是正确的；由面面垂直和线面垂直的性质定理能判断 B 的正误；由线面垂直的判定定理能判定 C 的正误，在 D 中，可得或，即可得到答/案.答案第 6 页，总 21 页【详解】由题意，已知互不重合的直线和互不重合的平面，,在 A 中，由于，=,/,/过直线 平面都相交的平面，记，,=,=则且，所以，/又，所以，故 A 是正确的；/在 B 中，若，则由面面垂直和线面垂直的性质得，所以是正确；,在 C 中，若，则由线面垂直的判定定理得，所以是正确；,=在 D 中，若，则或，所以是不正确的，故选 C./,/【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，合理作出证明是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.9C【解析】(1)将一个平面内的两条相交直线平移到平面外,且平移后不相交,则这两条直线异面且与该平面平行,故正确;(2)当过该点的平面过其中一条直线时,这个平面与两条异面直线都平行是错误的,故不正确;(3)显然正确;(4)显然正确.故答案为 C.10【解析】试题分析：如果 mn，m，n，不能得出，故错误；如果 n，则存在直线 l，使 nl，由 m，可得 ml，那么 mn故正确；如果，m，那么 m 与 无公共点，则 m故正确如果 mn，那么 m，n 与 所成的角和 m，n 与 所成的角均相等故正确考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系视频11(3)(4)【解析】答案第 7 页，总 21 页若，则与 可能平行，相交或异面，故（1）错误；若，则或/,/,/，故（2）错误；若，且，根据法向量的性质可得，故（3）正确；,若，由面面平行的性质，可得故（4）正确，故答案为（3）（4）.,/【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.12.【解析】【分析】利用直线和平面的位置关系判断每一个命题的真假得解.【详解】对于，若，则或相交，所以该命题是假命题；/,对于，若，则可能平行、相交、异面，所以该命题是假命题；/,/,对于可以证明是真命题.故答案为：【点睛】（1）本题主要考查空间直线和平面位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力.(2)类似这种空间直线平面位置关系命题真假的判断，方法比较灵活，可以举反例，也可以直接证明.13【解析】分析：根据线面平行的判定定理可判断；根据线面平行的性质可判断、；根据线面平行的判定定理可判断；根据面面平行的性质与定义可判断.详解：对于，在 与 确定的平面内，错误；对于，和平面 内的直线平行或异面，错误；对于，与 可能平行，也可能异面，错误；对于，符合线面平行的判定定理，正确；对于，符合面面平行的定义，正确，故答案为.点睛：本题考查线面平行的判断与性质、面面平行的定义域性质，属于难题.空间直线、平答案第 8 页，总 21 页面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.142.5【解析】分析：要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果详解：由题意知底面圆的直径 AB2，故底面周长等于 2.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 n，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得 2，4180解得 n90，所以展开图中PSC90，根据勾股定理求得 PC2，5所以小虫爬行的最短距离为 2.5故答案为 25点睛：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决15【解析】分析：将矩形折叠后得到三棱锥：四面体体积最大值为两个面互相垂直求三棱锥的底面积和高即可；求出三棱锥的外接球半径，即可计算表面积；连接，,则，连接，得到，利用等腰三角形的三线合一即可；当二面角=,=为直二面角时，以 为原点所在直线分别为轴建立坐标系，借助于向量 ,的数量积解答；找到二面角的平面角计算即可.详解：由题意，中，四面体体积最大值为两个面互相垂直，四面体体积的 最大值，所以不正确；1312 3 4 125=245答案第 9 页，总 21 页中，三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为 52 ，所以是正确的.4 (52)2=25中，若分别为棱的中点，连接，则，根据等腰三角形三线合一得,=到，连接，可得，所以，所以是正确的；,=中，由二面角的大小为时，棱的长为，600145在直角中，=4,=3,=5作，则，,=125,=95同理直角中，则,=75在平面内，过 作，连接，易得四边形为矩形，/则，=75,/,又，即为二面角的平面角，即，=600则，由平面，得到，即有，=125 则，所以是错误的，=2+2=1935中，当二面角为直二面角时，以 为原点所在直线分别为轴建立坐标 ,系，则由向量的数量积可得到直线所成的角的余弦值为，所以是正确的；,1625综上可知正确命题的序号为.点睛：本题考查了平面与立体几何的综合应用，解答中涉及到两条直线的位置关系的判定，二面角以及三棱锥的外接球的表面积，以及直线与平面垂直的判定等知识点的综合应用，试题综合性强，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力.其中线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判断定理转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，或是根据面面垂直.16【解析】分析：取 E,F 特殊位置可否定，根据线面垂直关系可得正确.详解：当 E=D1，F=A1时平面平面，所以错；1与 11不成立因为，在内，所以；1 平面11平面111 答案第 10 页，总 21 页因为平面，所以平面平面.因此正确.11 11点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.17【解析】【分析】用直线与平面平行的性质定理判断的正误；用直线与平面平行的性质定理判断的正误；用线面垂直的判定定理判断的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断的正误.【详解】，则，与 可能相交也可能异面，所以不正确；，则，还有 与 可能相交，所以不正确；，则，满足直线与平面垂直的性质 定理，故正确；，则，也可能，也可能，所以不正 =确；故答案为.【点睛】本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力，属于基础题.1860【解析】【分析】首先找到线面角，然后利用三角函数计算角的大小即可.【详解】如图所示，连结，交于点，连结，,由正方形的性质可知，由正棱锥的性质可知底面，则，且，=由线面垂直的判断定理可得平面，由线面角的定义可知即为直线与平面所成的角，则，=6=6=12=3答案第 11 页，总 21 页由三棱锥的体积公式有：，则，13 =2=1=2+2=2由正棱锥的性质可得，=2在BPC 中，由余弦定理可得：，=22+22(6)22 2 2=14在BPE 中，由余弦定理可得：，=4+1+2 2 1 14=2则，=32,=60即直线与平面所成的角为 60.【点睛】本题主要考查锥体的空间结构，线面角的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19()证明见解析；().30【解析】试题分析：（）方法一：由是正方形，得，再由平面，得到 ，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面.方法二：可根据平面平面，利用面面垂直的性质，证得平面.（）设,连接，得平面，所以是与平面所成 =,角，在中，求得，即与平面所成角的大小.=30试题解析：答案第 12 页，总 21 页（）证明：方法一：是正方形 平面，平面 平面,=平面 方法二：平面，平面 平面 平面 是正方形 平面 平面,平面 =平面 （）解：设,连接 =,平面 是直线在平面上的射影是与平面所成角 在中，=2+2=2 2=2在中,=12，即与平面所成角为=3030点睛：本题考查了直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理和直线与平面所成角的求解，其中熟记直线与平面位置的关系的判定与性质定理是证明线面位置关系的答案第 13 页，总 21 页关键，其中根据直线与平面所成角的概念找出是直线与平面所成的角是解答的难点，着重考查了学生的空间想象能力和推理运算能力.20（1）见解析；（2）16【解析】【分析】(1)先证明 PC底面 ABCD,再证明平面.(2)先求出 PC 的长度，再求三棱锥 的体积.【详解】（1）证明：取 AB 的中点 M，连接 CM，=12=1=,|,四边形 CDAM 为正方形，CM=MA=MB,ACCB,底面,又 =所以 AC平面 PBC.,在 RtPCA 中，=3 底面,底面,而,.2+2=2=2 =1,=1312 1 1 1=16【点睛】（1）本题主要考查空间位置关系的证明，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理转化能力.（2）求几何体的体积常用是有公式法、割补法和体积变换法.21（）详见解析；（）.2 9525【解析】试题分析：（）证，再证，最后证；ACEFAD HOHD HABCD平面（）用向量法求解.试题解析：（）由已知得，又由得，故ACBDADCDAECFAECFADCD.ACEFA因此，从而.由,得.EFHDEFD H5AB 6AC 2204DOBABAO由得.所以，.EFACA14OHAEDOAD1OH=3D H DH答案第 14 页，总 21 页于是，222223110D HOHD O故.D HOH又，而，D HEFOHEFH所以.D HABCD平面（）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系HHFx，则，Hxyz0,0,0H3,1,0A 0,5,0B3,1,0C0,0,3D，.设是平面的法6,0,0AC 3,1,3AD ABD向量，则，即，所以可取.设0 0m ABm AD 11111340 330 xyxyz4,3,5m 是平面的法向量，则，即，所以ACD0 0n ACn AD 222260 330 xxyz可取.于是，.因0,3,1n 147 5cos,255010m nm nm n2 95sin,25m n 此二面角的正弦值是.BD AC 2 9525【考点】线面垂直的判定、二面角.【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；ab，ab；，aa；面面垂直的性质线面垂直的性质，常用来证明线线垂直求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角答案第 15 页，总 21 页视频22（1）见解析；（2）4 7437.【解析】【分析】（）要证平面平面，即证平面，易证；11 11 ，1（）以点 为坐标原点，为 轴，为 轴，为 轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到结果.11【详解】（）取的中点，连接，,1因为底面是边长为 的正三角形，2所以，且，=3因为，1=31=60=1所以，12=12+32 2 1 3 60=7所以，又因为，1=71=10所以，2+12=10=12所以，又因为，11 =所以平面，又因为平面，11 所以平面平面.11（）如图所示，以点 为坐标原点，为 轴，为 轴，为 轴建立空间直角坐标系，其中，则=2，(0,3,0),(1,0,0),(1,0,0),1(12,0,3 32)所以，1=(12,3,3 32)=(1,3,0)=(1,3,0)答案第 16 页，总 21 页设为平面的法向量，则1=(1,1,1)1即，令，得；1 =01 1=0 131=0,12131+3 321=0 1=11=(3,1,1)设为平面的法向量，则2=(2,2,2)1即，令，得；2 =02 1=0 232=0,12232+3 322=0 2=12=(3,1,13)所以，1,2=1 2|1|2|=3+1+133795=537所以二面角的正弦值为 1 1 537=4 7437.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.23(1)见解析;(2).2【解析】试题分析：（1）由题意，根据勾股定理可计算出，又，易知 为的=5中点，由三角形中位线性质可知，与平行，再根据线面平行的判定定理，从而问题可得解；（2）由题意，可采用等体积法进行求解运算.即由，又其底面与 =均为直角三角形，从而问题可得解.试题解析：（1）因为，所以.12=2=4又，=2 所以在中，由勾股定理，得.=2+2=22+42=2 5因为，=5=12所以是的斜边上的中线.所以 是的中点.又因为 是的中点，答案第 17 页，总 21 页所以直线是的中位线，所以./又因为平面，平面，所以平面./（2）由（1）得，.=12=1又因为，.=12=2 所以.=12 =12 1 2=1又因为，=2所以.三棱锥 =13 =13 1 2=23易知，且，=2 2 所以.=12 =12 1 2 2=2设点 到平面的距离为，则由，三棱锥 =三棱锥 得，13 =23即，132 =23解得.=2即点 到平面的距离为.224（1）见解析；（2）见解析；（3）2 33【解析】【分析】（1）根据线面垂直得到线线垂直；（2）由等腰三角形的性质得到，由（1）推得 面，故，进而得到结果；（3）过点 E 作 EFAC，垂足为 过点 F 作 FGAB，垂足为 G连结 EG，是二面角的一个平面角，根据直角三角形 的性质求解即可.易知，故面 【详解】答案第 18 页，总 21 页（1）证明：底面，又，故面 =面，故 （2）证明：，故=60=是的中点，故 由（1）知，从而面，故 易知，故面 （3）过点 E 作 EFAC，垂足为 过点 F 作 FGAB，垂足为 G连结 EGPAAC,PA/EF EF底面且 F 是 AC 中点故是二面角的一个平面角 设，则 PA=BC=，EF=AF=2从而 FG=，故 60=34=2 33【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角。面面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，要么建系来做。求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。25（1）见解析；（2）1510【解析】【分析】（1）以，所在的直线分别为 轴、轴，建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系，求平面 BDF 的法向量，可证明与 CE 垂直，从而得证（2）求出两个平面的法向量，求其夹答案第 19 页，总 21 页角余弦值即可得出二面角的余弦值.【详解】以点 为坐标原点，以，所在的直线分别为 轴、轴，建立空间直角坐标系如图。则，(0,0,0)(0,4,0)(0,0,4)(0,0,1)(2 3,2,0)(2 3,2,0)（1）=+13=(2 3,23,43)设面的法向量为，又，=(,)=(2 3,6,0)=(0,4,1)所以 取 得 2 3+6=0 4+=0 =1=(3,1,4)所以 即 =6+23+163=0 又面 所以面（2）由（1）面的法向量为=(3,1,4)又面的法向量可取1=(1,0,0)所以=|=33+1+16 1=1510【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明直线与平面平行，利用空间向量求两个平面的二面角，属于中档题.利用向量法求二面角时，注意法向量的夹角余弦与二面角余弦的关系，可能相等，也可能互为相反数.26（1）证明见解析；（2）.6+2 2+2 6【解析】【分析】（1）连结 BD，取 CD 的中点 F，连结 BF，证明 BCBD，BCDE，即可证明 BC平面答案第 20 页，总 21 页BDE，推出 BCBE（2）利用体积求出 DE=2，然后求解 EA，通过就是 BE2=AB2+AE2，证明 ABAE，然后求解四棱锥 EABCD 的侧面积【详解】（1）连结 BD，取 CD 的中点 F，连结 BF，则直角梯形 ABCD 中，BFCD，BF=CF=DF，CBD=90即：BCBDDE平面 ABCD，BC平面 ABCDBCDE又 BDDE=DBC平面 BDE 由 BE平面 BDE 得：BCBE（2），=13 =13 12 =23=43DE=2，=2+2=2 2 =2+2=2 3又 AB=2，BE2=AB2+AE2ABAE四棱锥 EABCD 的侧面积为 12 +12 +12 +12 =6+2 2+2 6【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积以及侧面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力27(1)见解析;(2)92.【解析】答案第 21 页，总 21 页【分析】（）根据底面为正三角形，易得；由各边长度，结合余弦定理，可求得的值，1再根据勾股定理逆定理可得，可证平面。1 11（）将斜棱柱的体积，转化为棱锥的体积，结合三角形面积公式可求解。【详解】（）如图，连接，1因为底面是边长为 的正三角形，2所以，且，=3因为，1=3 1=60=1所以，12=12+32 2 1 3 60=7所以，又因为，所以，1=71=102+12=10=12所以，又因为，所以平面.11 =11（）设斜三棱柱的体积为，则 111=3 1=3 131|=12 2 3 603=92.所以斜三棱柱的体积为 11192.【点睛】本题考查了立体几何中线面垂直的证明，几何体体积的求法，熟练掌握线面关系的证明原理非常重要，属于基础题。