2023年人教版高中数学第六章平面向量及其应用知识点题库.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第六章平面向量及其应用知识点题库年人教版高中数学第六章平面向量及其应用知识点题库 单选题 1、已知向量 =(1,1)，=(2,3)，那么|2|=（）A5B52C8D74 答案：B 分析：根据平面向量模的坐标运算公式，即可求出结果.因为向量 =(1,1)，=(2,3)，所以 2=(5,5)|2|=52+(5)2=52.故选：B.2、一个骑行爱好者从地出发向西骑行了2km到达地，然后再由地向北偏西60骑行23km到达地，再从地向南偏西30骑行了5km到达地，则地到地的直线距离是（）A8B37C33D5 答案：B 分析：根据给定信息作出图形，再利用三角形正弦定理、余弦定理计算作答.如图，在 中，=150，=2,=23，依题意，=90，在 中，由余弦定理得：=2+2 2 cos=4+12+83 32=27，由正弦定理得：sin=sin=127，在 中，cos=cos(90+)=sin=127，由余弦定理得：=2+2 2 cos=28+25+2 27 5 127=37，所以地到地的直线距离是37km.故选：B 3、如图，等腰梯形ABCD中，=3，点E为线段CD上靠近D的三等分点，点 F 为线段BC的中点，则=（）A1318+518 B1318+118 C1118+49 D1118+119 答案：B 分析：以,为基底，利用平面向量线性运算的相关运算化简即可.=+=12+23 =12()+23(+23)=12 12 29 49 =1318+118 故选：B 4、已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A60，a=3，则+sin+sin等于（）A12B3C32D2 答案：D 解析：由已知结合正弦定理即可直接求解 A60，a=3，由正弦定理可得，sin=sin=sin=332=2，b2sinB，c2sinC，则+sin+sin=2 故选：D 小提示：本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础试题 5、在复平面内，把复数3 3i对应的向量按顺时针方向旋转3，所得向量对应的复数是()A23B23iC3 3iD3+3i 答案：B 分析：由题意知复数3 3对应的向量按顺时针方向旋转3，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果 解：由题意知复数3 3i对应的向量按顺时针方向旋转3，旋转后的向量为(3 3i)cos(3)+isin(3)=(3 3i)(123i2)=3233i23i2+3i22=23i 故选：B 6、已知向量 =(2，3)，=(3，2)，则|=A2B2 C52D50 答案：A 分析：本题先计算 ，再根据模的概念求出|由已知，=(2,3)(3,2)=(1,1)，所以|=(1)2+12=2，故选 A 小提示：本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错 7、设,均为单位向量，且|=1，则|2|=（）A3B7C3D7 答案：A 分析：由已知，利用向量数量积的运算律求得 =12，又|2|2=2 4 +42即可求|2|.由题设，|2=2 2 +2=1，又,均为单位向量，=12，|2|2=2 4 +42=3，则|2|=3.故选：A 8、ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinAbsinB=4csinC，cosA=14，则=A6B5C4D3 答案：A 分析：利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.详解：由已知及正弦定理可得2 2=42，由余弦定理推论可得 14=cos=2+222,2422=14,32=14,=32 4=6，故选 A 小提示：本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用 9、已知在锐角三角形中，角，所对的边分别为，若2=(+)，则sincoscos的取值范围是（）A(0,22)B(0,32)C(12,22)D(12,32)答案：C 分析：由2=(+)利用余弦定理，可得 =2cos，正弦定理边化角，在消去，可得sin()=sin，利用三角形是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得sincoscos的取值范围 由2=(+)及余弦定理，可得 =2cos 正弦定理边化角，得sin sin=2sincos +=sin(+)sin=2sincos sin()=sin 是锐角三角形，=，即=2 0 2，2 +，那么：6 4 则sincoscos=sin2sin()=sin (12，22)故选：C 小提示：方法点睛：解三角形的基本策略 一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.10、内角,的对边分别为,，已知2+2 2=，则=（）A6B56C3D23 答案：C 分析：利用余弦定理求出cos，再求出即可.2+2 2=,cos=2+222=2=12，0 ，=3.故选：C 11、若(2,3)，(3,2)，(12,)三点共线，则实数的值为 A2B2C52D12 答案：C 分析：由三点共线可得出向量共线，再根据向量共线的知识即可解题.因为(2,3)，(3,2)，(12,)三点共线，所以方向向量=(5,1)与=(52,3)共线，所以5(3)(1)52=0，解得=52.故选：C 小提示：本题主要考查点共线和向量共线问题，属于常规题型.12、如图，在梯形中，且=2，点为线段的靠近点的一个四等分点，点为线段的中点，与交于点，且=+，则+的值为（）A1B57C1417D56 答案：C 分析：由向量的线性运算法则化简得到=(2)+2 和=(1 )+43，结合,三点共线和,三点共线，得出2+3 2=0和3 4=0，联立方程组，即可求解.根据向量的线性运算法则，可得=+=+(+)=+=()+(+)=()+(2+12)=()+2+12 =(2)+2，因为,三点共线，可得 2+2=1，即2+3 2=0；又由=+=+=+43=(1 )+43，因为,三点共线，可得1 +43=1，即3 4=0，联立方程组2+3 2=03 4=0，解得=817,=617，所以+=1417.故选：C.双空题 13、已知在ABC中，AD是BAC的角平分线，与BC交于点D，M是AD的中点，延长BM交AC于点H，|=|，tan=12，则|=_，|=_.答案：455 521 分析：（1）由tan=12，求出cos=255，在ADC中，利用余弦定理即可求得；（2）在ABC中，利用正弦定理，求出=544511=1116，利用平面向量基本定理和三点共线建立方程组，解出|=521.在ABC中，AD是的角平分线，所以=(0,2).因为|=|，所以=.因为tan=12，又sin2+cos2=1，解得 sin=55,cos=255.所以cos=cos=255 ADC中，设=,=则=，由余弦定理得：2=2+2 2 cos，即2=2+2 2 255，即=455，所以|=455.在ABC中，sin=sin=55，cos=cos=255.因为AD是BAC的角平分线，所以sin=sin2 所以sin=2sincos=2 55255=45，cos=1 2sin2=1 2 (55)2=35 所以sin=sin(+)=45255+3555=11525.由正弦定理得：sin=sin,所以=sinsin=4511255=4511.而=54，所以=544511=1116.取,为基底，则由H、M、B三点共线可得：=(1 )+；、由C、D、B三点共线可得：=(1 )+；即 =()，所以=,所以=1116.即=516+1116.因为M是AD的中点，所以=2,式可化为：2=2(1 )+2，即=2(1 )+2 设|=，则=对照得：2=11162(1 )=516，解得=1132=521，即|=521.所以答案是：455；521 小提示：在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；(2)从式子结构来选择 14、已知向量,满足|=2,|=1，若 (+)+()的最大值为1，则向量,的夹角的最小值为_，|+2|的取值范围为_ 答案：23#120 0，2 分析：由题意 (+)+()1，求得23 ，所以的最小值为23，再利用向量的模的计算公式，即可求解.设向量,的夹角为，则0，；又|=2,|=1,所以 (+)+()=2+2 2=3+4cos 1，所以1 cos 12，则向量,的夹角的最小值为23；所以|+2|2=2+4 +42=8+8cos，又cos 1,12，所以 8+8cos0，4，所以|+2|的取值范围是0，2 所以答案是：23；0，2 15、在等腰梯形中，设=，=，=2，为的中点，则=_（用 和 表示），当=_时，|最小.答案：32 +12 12 分析：第一空，根据向量加法的三角形法则可得；第二空，设=，则 =，由此即可求出答案 解：为的中点，=12(+)=12+12(+)=12 +12+12 2 =32 +12，如图，设=，则 =，当 时，|最小，此时由几何知识易得=12，所以答案是：32 +12，12 小提示：本题主要考查平面向量的线性运算，考查数形结合思想，属于中档题 16、在锐角 中，内角A，B所对的边分别为a，b，若=2,=2，则cos=_；边长a的取值范围是_.答案：4 (22,23)分析：依据题意可知sin=sin(2)，然后结合正弦定理可知cos，然后得到角的范围，简单计算即可.由题可知：=2,=2，所以sin=sin(2)=2sincos 所以sincos=2sin，由正弦定理可知cos=2=4,则=4cos，由 为锐角三角形，所以 0 20 20 2，即 0 3 20 2 20 2 6 4 所以22 cos 32，则=4cos (22,23)所以答案是：4,(22,23)17、在ABC中，BC23，AC3，BAC2B，D是BC上一点且ADAC，则 sinBAC_，ABD的面积为_ 答案：223 210 分析：在ABC中根据正弦定理可求 cosB33，sinB63，从而可求 sinBAC的值；根据条件ADAC和cosBAC13可求出 inBAD13，cosBAD223，从而求出 sinADB539.在ABC中，由余弦定理可求AC的值，从而求 的面积.BC23，AC3，BAC2B，在ABC中，由正弦定理得sinsin，即3sin232sincos，解得 cosB33，因为0 ，所以 sinB63，cosBACcos2B2cos2B113，又因为因为0 125且 12.分析：（1）利用向量共线的坐标表示：12 21=0即可求解.（2）利用向量垂直的坐标表示：12+12=0即可求解.（3）利用向量数量积的坐标表示，只需12+12 0且不共线即可求解.解：（1）+=(+2,1),+2=(5,2).+与 +2 平行，(+2)2 1 5=0，解得=12.（2）+与 +2 垂直，(+)(+2)=0，即5 (+2)+2 1=0，=125（3）由题意可得5 (+2)+2 1 0且不共线，解得 125且 12.