等比数列的性质总结.pdf

等比数列性质等比数列性质1.等比数列的定义：，称为公比公比*12,nnaq qnnNa0且q2.通项公式：，首项：；公比：11110,0nnnnaaa qqA Ba qA Bq1aq推广：，从而得或n mnmaa qn mnmaqann mmaqa3.等比中项（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项即：或,a A bAab2AabAab 注意：同号的同号的两个数才有才有等比中项，并且它们的等比中项有两个有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列是等比数列 na211nnnaaa4.等比数列的前 n 项和公式：nS(1)当时，1q 1nSna(2)当时，1q 11111nnnaqaa qSqq（为常数）1111nnnaaqAA BA BAqq,A B A B5.等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的 n,都有为等比数列 11(0)nnnnnaaqaq qaa或为常数，na（2）等比中项：（0）为等比数列211nnnaaa11nnaa na（3）通项公式：为等比数列0nnaA BA B na（4）前 n 项和公式：为等比数列,nnnnSAA BSA BAA B A B或为常数 na6.等比数列的证明方法依据定义：若或为等比数列*12,nnaq qnnNa0且1nnaqa na7.注意注意（1 1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到 5 个元素：、及，其中、称作n1aqnnanS1aq为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。（2 2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；11nnaa q如奇数个数成等差，可设为，（公比为，中间项用表示）；22,aaa aq aqqqqa8.等比数列的性质(1)当时1q 等比数列通项公式是关于 n 的带有系数的类指数函数，底数为公比1110nnnnaaa qqA BA Bqq前 n 项和，系数和常数项是互为相反1111111111nnnnnnaqaa qaaSqAA BA BAqqqq数的类指数函数，底数为公比q(2)对任何 m,n,在等比数列中,有,特别的,当 m=1 时,便得到等比数列的通项公*Nnan mnmaa q式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3)若 m+n=s+t(m,n,s,t),则.特别的,当 n+m=2k 时,得*Nnmstaaaa2nmkaaa注：12132nnna aaaa a(4)列,为等比数列,则数列,(k 为非零常数)均为等比数na nbnkank aknannk abnnab列.(5)数列为等比数列,每隔 k(k)项取出一项()仍为等比数列na*N23,mm kmkmkaaaa(6)如果是各项均为正数的等比数列等比数列,则数列是等差数列等差数列nalogana(7)若为等比数列,则数列，成等比数列nanS2nnSS32,nnSS(8)若为等比数列,则数列,成等比数列na12na aa122nnnaaa21223nnnaaa(9)当时，当时，1q 1q 0,1100nnaaaa，则为递增数列，则为递减数列1100nnaaaa，则为递减数列，则为递增数列当 q=1 时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;当 q0 时,该数列为摆动数列.(10)在等比数列中,当项数为 2n(n)时,.na*N1SSq奇偶(11)若是公比为 q 的等比数列,则nann mnmSSqS