二次函数区间取最值问题专题练习(含答案).pdf

12018 届初三数学培优材料（一）届初三数学培优材料（一）函数实际应用专题（一）函数实际应用专题（一）例题例题 1 1 小华的爸爸在国际商贸城开专卖店专销某种品牌的计算器，进价 12 元只，售价 20 元只为了促销，专卖店决定凡是买 10 只以上的，每多买一只，售价就降低0.10 元，但是最低价为 16 元只（1）顾客一次至少买多少只，才能以最低价购买？（2）写出当一次购买 x 只时（x10），利润 y（元）与购买量 x（只）之间的函数关系式（3）星期天，小华来到专卖店勤工俭学，上午做成了两笔生意，一是向顾客甲卖了 46只，二是向顾客乙卖了 50 只，记账时小华发现卖 50 只反而比卖 46 只赚的钱少为了使每次卖得越多赚钱越多，在其他促销条件不变的情况下，最低价 16 元只至少要提高到多少？为什么？分析：理解促销方案，正确表示售价，得方程求解；（2）利用分段函数分别得出 y 与 x 的函数关系式即可；（3）根据函数性质当 x=45 时，y 有最大值 202.5 元；ab2此时售价为 20-0.1（45-10）=16.5（元），进一步解决问题解：(1)设需要购买 x 只，则 200.1(x10)=16，得 x=50，故一次至少要购买 50 只；(2)当 1050 时,y=(1612)x，即 y=4x；(3)当 0 x50 时,y=0.1x2+9x，当 x=45 时，y 有最大值 202.5 元；ab2此时售价为 200.1(4510)=16.5(元)，当 45x50 时，y 随着 x 的增大而减小，最低价至少要提高到 16.5 元/只。班级 姓名 2练习练习 1 1：某城市香菇上市时，外商李经理按市场价格 10 元/千克在我州收购了 2000 千克香菇存放入冷库中据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨 0.5 元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计 340 元，而且香菇在冷库中最多保存 90 天，同时，平均每天有 6 千克的香菇损坏不能出售（1）若存放 x 天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为 y 元，试写出y 与 x 之间的函数关系式（2）李经理想获得利润 22500 元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润=销售总金额-收购成本-各种费用）（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？分析：（1）根据等量关系“销售总金额=（市场价格+0.5存放天数）（原购入量-6存放天数）”列出函数关系式；（2）按照等量关系“利润=销售总金额-收购成本-各种费用”列出函数方程求解即可；（3）根据等量关系“利润=销售总金额-收购成本-各种费用”列出函数关系式并求最大值解答：（1）由题意 y 与 x 之间的函数关系式为 y=（10+0.5x）（2000-6x），=-3x2+940 x+20000（1x90，且 x 为整数）；（2）由题意得：-3x2+940 x+20000-102000-340 x=22500解方程得：x1=50，x2=150（不合题意，舍去）李经理想获得利润 22500 元需将这批香菇存放 50 天后出售；（3）设利润为 w，由题意得w=-3x2+940 x+20000-102000-340 x=-3（x-100）2+30000a=-30，抛物线开口方向向下，在 1x90 时 w 随 x 的增大而增大x=90 时，w最大=29700存放 90 天后出售这批香菇可获得最大利润 29700 元340030060 70y(件)x(元)例题例题 2 2某服装公司试销一种成本为每件 50 元的 T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件 70 元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近yx似的看作一次函数（如图）（1）求与之间的函数关系式；yx（2）设公司获得的总利润（总利润总销售额总成本）为 P 元，求 P 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；根据题意判断：当 x 取何值时，P 的值最大？最大值是多少？分析：（1）直接利用待定系数法求一次函数解析式得出即可；（2）利用总利润=总销售额-总成本，进而得出 P 与 x 的函数关系式，进而得出最值；（3）利用二次函数的增减性得出 x 的取值范围即可解答：（1）设 y 与 x 的函数关系式为：y=kx+b，函数图象经过点（60，40）和（70，30），解得：3007040060bkbk100010bk故 y 与 x 之间的函数关系式为：y=-10 x+1000（2）由题意可得出：P=（x-50）（-10 x+1000）=-10 x2+1500 x-50000，自变量取值范围：50 x70 -，a=-100752015002ab函数 P=-10 x2+1500 x-50000 图象开口向下，对称轴是直线 x=75 50 x70，此时 y 随 x 的增大而增大，当 x=70 时，P最大值=6000 （3）由 p4000，当 P=4000 时，4000=-10 x2+1500 x-50000，解得：x1=60，x2=90，a=-100，得 60 x90，又 50 x70；故 60 x704练习练习 2.2.为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数（台）与补贴款额（元）之间大致满足如图所示的一次函数关yx系随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益（元）会相xZ应降低且与之间也大致满足如图所示的一次函数关系Zx（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数和每台家y电的收益与政府补贴款额之间的Zx函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益（元）最大，政府应将每台补贴款额定为多少？并求出总收益的最大值wxw分析：（1）总收益=每台收益总台数；（2）结合图象信息分别利用待定系数法求解；（3）把 y 与 z 的表达式代入进行整理，求函数最值解答：(1)该商场销售家电的总收益为 800200=160000(元)；(2)根据题意设 y=k1x+800,Z=k2x+200400k1+800=1200,200k2+200=160 解得 k1=1,k2=15，y=x+800,Z=15x+200；(3)W=yZ=(x+800)(15x+200)=15x2+40 x+160000=15(x100)2+162000.a=150，抛物线开口向下W 有最大值。当 x=100 时，W 最大=162000政府应将每台补贴款额 x 定为 100 元，总收益有最大值其最大值为 162000 元。12008000400y(台)x(元)z(元)x(元)2001602000图图5练习练习 3.3.“健益”超市购进一批 20 元/千克的绿色食品，如果以 30 元/千克销售，那么每天可售出 400 千克由销售经验知，每天销售量(千克)与销售单价(元)(yx）存在如下图所示的一次函数关系式30 x 试求出与的函数关系式；yx 设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润 P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过 4480 元，现该超市经理要求每天利润不得低于 4180 元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围(直接写出答案)x分析：（1）由图象过点（30，400）和（40，200）利用待定系数法求直线解析式；（2）每天利润=每千克的利润销售量据此列出表达式，运用函数性质解答；（3）画出函数图象，结合图形回答问题解答：(1)设 y=kx+b，由图象可知，解得：2004040030bkbk100020bky=20 x+1000 (30 x50,)(2)p=(x20)，y=(x20)(20 x+1000)=20 x2+1400 x20000，a=200，p 有最大值。当 x=时,p最大值=4500.35)20(214002ab即当销售单价为 35 元/千克时，每天可获得最大利润 4500 元。（3）令 p=4480 得：4480=-20 x2+1400 x-20000解方程得：x1=34，x2=36令 p=4180 得：4180=-20 x2+1400 x-20000解方程得：x1=31，x2=39如图所示：每天可获利润不超过 4480 元，不得低于 4180 元，31x34 或 36x396练习练习 4 4.某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为 18 元，试销过程中发现，每月销售量 y（万件）与销售单价 x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数 y=-2x+100（利润=售价-制造成本）（1）写出每月的利润 z（万元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得 350 万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于 32 元，如果厂商要获得每月不低于 350 万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？分析：（1）根据每月的利润 z=（x-18）y，再把 y=-2x+100 代入即可求出 z 与 x 之间的函数解析式，（2）把 z=350 代入 z=-2x2+136x-1800，解这个方程即可，把函数关系式变形为顶点式运用二次函数的性质求出最值；（3）根据销售单价不能高于 32 元，厂商要获得每月不低于 350 万元的利润得出销售单价的取值范围，进而解决问题解答：(1)z=(x18)y=(x18)(2x+100)=2x2+136x1800，z 与 x 之间的函数解析式为 z=2x2+136x1800；(2)由 z=350,得 350=2x2+136x1800，解这个方程得 x1=25,x2=43,所以，销售单价定为 25 元或 43 元，将 z2x2+136x1800 配方,得 z=2(x34)2+512，因此，当销售单价为 34 元时，每月能获得最大利润，最大利润是 512 万元；(3)结合(2)及函数 z=2x2+136x1800 的图象(如图所示)可知，当 25x43 时 z350，又由限价 32 元，得 25x32，根据一次函数的性质，得 y=2x+100 中 y 随 x 的增大而减小，当 x=32 时,每月制造成本最低。最低成本是 18(232+100)=648(万元)，因此，所求每月最低制造成本为 648 万元。7例题例题 3 3：某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为 6 千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售数量 x（千件）的关系为：来源:Zxxk.Com11590 025130 26xxyxx若在国外销售，平均每件产品的利润 y2（元）与国外的销售数量 t（千件）的关系为：ww#w.zzstep.*com%www.z%#z&ste*2100 025110 26tytt（1）用 x 的代数式表示 t 为：t ；当 0 x4 时，y2与 x 的函数关系为 y2 ；当 4x 时，y2100；（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润 w（千元）与国内的销售数量 x（千件）的函数关系式，并指出 x 的取值范围；（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？分析：（1）由该公司的年产量为 6 千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内销售量+国外销售量=6 千件，即 x+t=6，变形即为 t=6-x；根据平均每件产品的利润 y2（元）与国外的销售数量 t（千件）的关系 y2=)62(1105)20(100ttt及 t=6-x 即可求出 y2与 x 的函数关系：当 0 x4 时，y2=5x+80；当 4x6 时，y2=100；（2）根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润，结合函数解析式，分三种情况讨论：0 x2；2x4；4x6；（3）先利用配方法将各解析式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最大值，再比较即可8解答：（1）由题意，得 x+t=6，t=6-x；y2=)62(1105)20(100ttt当 0 x4 时，26-x6，即 2t6，此时 y2与 x 的函数关系为：y2=-5（6-x）+110=5x+80；当 4x6 时，06-x2，即 0t2，此时 y2=100故答案为：6-x；5x+80；4，6；（2）分三种情况：当 0 x2 时，W=（15x+90）x+（5x+80）（6-x）=10 x2+40 x+480；当 2x4 时，W=（-5x+130）x+（5x+80）（6-x）=-10 x2+80 x+480；当 4x6 时，W=（-5x+130）x+100（6-x）=-5x2+30 x+600；综上可知，)64(600305)42(4808010)20(4804010222xxxxxxxxxw（3）当 0 x2 时，W=10 x2+40 x+480=10（x+2）2+440，此时 x=2 时，W最大=600；当 2x4 时，W=-10 x2+80 x+480=-10（x-4）2+640，此时 x=4 时，W最大=640；当 4x6 时，W=-5x2+30 x+600=-5（x-3）2+645，4x6 时，W3 时，W 随 x 的增大而减小，x=4 时，W最大=640故该公司每年国内、国外的销售量各为 4 千件、2 千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为 64 万元9练习练习 5 5.某公司营销 A、B 两种产品，根据市场调研，发现如下信息：信息信息 1 1：销售 A 种产品所获利润 y（万元）与销售产品 x（吨）之间存在二次函数关系y=ax2+bx在 x=1 时，y=1.4；当 x=3 时，y=3.6信息信息 2 2：销售 B 种产品所获利润 y（万元）与销售产品 x（吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x根据以上信息，解答下列问题；（1）求二次函数解析式；（2）该公司准备购进 A、B 两种产品共 10 吨，请设计一个营销方案，使销售 A、B 两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？分析：（1）把两组数据代入二次函数解析式，然后利用待定系数法求解即可；（2）设购进 A 产品 m 吨，购进 B 产品（10-m）吨，销售 A、B 两种产品获得的利润之和为 W 元，根据总利润等于两种产品的利润的和列式整理得到 W 与 m 的函数关系式，再根据二次函数的最值问题解答解答：(1)当 x=1 时，y=1.4；当 x=3 时，y=3.6，解得 6.3394.1baba5.11.0ba所以,二次函数解析式为 y=0.1x2+1.5x；(2)设购进 A 产品 m 吨,购进 B 产品(10m)吨，销售 A.B 两种产品获得的利润之和为 W 元，则 W=0.1m2+1.5m+0.3(10m)=0.1m2+1.2m+3=0.1(m6)2+6.6，a=0.10，当 m=6 时，W 有最大值 6.6，购进 A 产品 6 吨，购进 B 产品 4 吨，销售 A.B 两种产品获得的利润之和最大，最大利润是 6.6 万元。