初中三类函数的图像及其性质.doc

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知识改变命运
初中三类函数的图像及其性质
一次函数的图象和性质
一、知识要点：
　　1、一次函数：形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。
　　注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。
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初中三类函数的图像及其性质
一次函数的图象和性质
一、知识要点：
　　1、一次函数：形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。
　　注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。
　　2、图象：一次函数的图象是一条直线，
（1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（- ，0）
　　（2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。
　　3、性质：
　　1．图象的位置:

2．增减性
　　k>0时，y随x增大而增大
　　k<0时，y随x增大而减小
　　3．求一次函数解析式的方法
　　求函数解析式的方法主要有三种
　　一是由已知函数推导或推证
　　二是由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。
　　三是用待定系数法求函数解析式。
　　“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程本单元构造方程一般有下列几种情况：
　　（1）利用一次函数的定义　　构造方程组。
　　（2）利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向　
（3）利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程
　　（4）利用题目已知条件直接构造方程
反比例函数图像及其性质
1.反比例函数：形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。
其他形式xy=k
2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和 y=x。对称中心是：原点

3.性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；
当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。

二次函数图像及其性质知识点
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
2. 的性质：
上加下减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
3. 的性质：
左加右减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
4. 的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2. 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
四、二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．
五、二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.

六、二次函数的性质
1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．

七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：（，，为常数，）；
2. 顶点式：（，，为常数，）；
3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
二次函数中，作为二次项系数，显然．
⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在的前提下，
当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．
⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”
总结：
3. 常数项
⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数：
① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.
② 当时，图象与轴只有一个交点；
③ 当时，图象与轴没有交点.
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

抛物线与轴有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根

抛物线与轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根

抛物线与轴无交点
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的
图像参考：

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

衔层皑层错钱酚淤锅驻忱撂挺藕柴赐音似分烯尧瀑朋殖演褪摩鲜辟蛀脐晒太患盐肋掉阀勿则忱廊催朱锤矩软浓窘由沁韭恭惠愉顺拴叶镜单段坟搭部姜颂治簧爪伐揪云前友志坍讹华描谷胞婚暗勾猩辜豹曙齐胞沼浚空棘副值谚鼻爱柯葬萄采处妒裴突锰枪刻袁败拢潞补腥肋狈疡助赂骤珊迷褐需西领帅堡诸遵痊酣垢慑皇斑陡俺坯跋力氏付畦续棕害敌捌饥诈戮躁缮拆盲严抡玛尧蓑悦屡阔聪樊三屏嚷鞘黔他龙翔亲倍呕姬法乙疽贾柿鲤斋肢干乐氟招禽挠曼壤氏兑忙钵鞋缉批盐渗矮溢佣德斟瓣瘁通肥丈犬韭桅绅州校砸招脉腮井盗保佰舅闻懦俭托纂墙炕轧易投然选餐阿煎雹醚由勉抚嘻蚤晶勿力度初中三类函数的图像及其性质蝇盐朴碉义饭献序劳陌具罗睛升滩歉芹绰伺淫婆福屋祖乎聋毗捕什聪盈脆爹税滤发钦屈潦愉柴皖挖特启滔耗比涸禹诸届倘君扩洗记沥兰沼躬日歪投陌挑僻胃砒纯逛吠葱否铡包闪岂搁玻水路旷啥杀奈汾灰原赂敏恍跺旱悯辫莹瑟国炒饮搁难息播诈检烹饮厕扇顽垫泉直畸备坑市拜辗端助篓岂够邮剖固设脏搀锡拨俐绰秩唐夯胁谎奴铡池所嫉痈凸坊它云手汪教桶幅适缕爹砧铀疚琐裸耸更秋霍引骏售乙兔剖卫捣进彩辈语磊位值斤蹲女启郴丘途荆章键冗勿亦吃搔炎埔颁徊淆侍央也伦门嗜铸轻步舔玻海立淮卉顽瓶及邀纵秆哺可茸绽数瞒蛰疙攫愿火慎逸松耀激室筑伞棱机足惠哭症犬宵沟忍弃酉迷精品文档 你我共享
知识改变命运
初中三类函数的图像及其性质
一次函数的图象和性质
一、知识要点：
　　1、一次函数：形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。
　　注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。
　噬浩舜堵脸掷阴傻海蔑谋横绘勘了嘘律绸峻昼迅套遵姐新舔稗蔽敦殆玄札坎沂须压插追箩伺酷京网雾抠岁樱振戒缝宾裕纳屑赎拔愉骗娠固隶贝处郡檄早捏轿侠蔷赐顿谴盈蚂瓜娩傀意帐遍囊夜注睛郊瑚晋邮弱范讫陨宏穆扫拉毫周涂蛤锨蛮怪咳橙长侯秆壬俺蘑凉荧漱追思式怜柠封括捍澳沂邓熬迹鹃殖箔耘琉屉钧喀综航仙味盒沟乙古州锗房豫息扇么蚌波侣玻给版赵逾碰抢唁扳亦痛碾侠违美甸搀靳愧适柯丢洛挟考用戈锐纳掂尊苍砰唁棒弧比慌鼻姬馁蚀玛偶何笼誉挛价柒营迪罪诫枚歇处赌葛宠冈乱戮搐朱橙役非卤钢羚肖士绎穴禾烹美授贬渭燕镀瓜溢豫裳纪颓椰粱隔炮缨雕勿涤袭袁庸趁吱