2018届高考文科数学第一轮总复习检测12.doc

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第一节　平面向量的基本概念及线性运算

【最新考纲】　1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．

1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算

3．共线向量定理
向量ɑ(ɑ≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λɑ．

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　)
(2)若ɑ∥b，b∥c，则ɑ∥c.(　　)
(3)ɑ∥b是ɑ＝λb(λ∈R)的充要条件．(　　)
(4)△ABC中，D是BC的中点，则＝(＋)．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于(　　)
A．－＋　　　　　　B．－－
C.－ D.＋
解析：∵D是△ABC的边AB上的中点，
∴＝＋＝－＋.
答案：A
3．(2014·课标全国Ⅰ卷)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：由于D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，所以＋＝－(＋)－(＋)＝－(＋)＝(＋)＝×2＝.
答案：A

4．如右图，已知D，E，F分别是△ABC的边BC，AB，AC的中点，则下列说法正确的是(　　)

A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
解析：∵向量与向量方向相同，且模相等，
∴＝.
答案：C
5．(2015·课标全国Ⅱ卷)设向量ɑ，b不平行，向量λɑ＋b与ɑ＋2b平行，则实数λ＝________．
解析：∵λɑ＋b与ɑ＋2b平行，∴λɑ＋b＝t(ɑ＋2b)，
则λɑ＋b＝tɑ＋2tb，∴
解得λ＝t＝.
答案：

一条规律
一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．
三个结论
1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．
2.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心．
三个防范
1．向量共线的充要条件中要注意“ɑ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．
2．进行向量减法运算时，一定将向量平移至同一起点．
3．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

一、选择题
1．把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是(　　)
A．一条线段　　　　　B．一段圆弧
C．两个孤立点 D．一个圆
解析：由单位向量的定义可知，如果把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，则所有的终点到这个起点的距离都等于1，所有的终点构成的图形是一个圆．
答案：D
2．设ɑ、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．ɑ＝－b B．ɑ∥b
C．ɑ＝2b D．ɑ∥b且|ɑ|＝|b|
解析：表示与ɑ同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要ɑ与b同向，就有＝，观察选项易知C满足题意．
答案：C
3．(2017·佛山一中期中考试)如下图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB、AD分别交于E、F两点，且交其对角线AC于K，其中，＝，＝，＝λ，则λ的值为(　　)

A. B.
C. D.
解析：∵＝，＝，
则＝，＝2，
∵＝＋，∴＝λ＝λ(＋)＝λ＝λ＋2λ，
由E，F，K三点共线可得，λ＋2λ＝1，解得λ＝.
答案：A
4．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则(　　)
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝0 D.＋＋＝0
解析：由向量加法的平行四边形法则易知，与的和向量过AC边中点，长度是AC边中线长的2倍．结合已知条件可知P为AC边中点，做＋＝0.
答案：C
5．设ɑ是已知的平面向量且ɑ≠0.关于向量ɑ的分解，有如下四个命题：
①给定向量b，总存在向量c，使ɑ＝b＋c；
②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使ɑ＝λb＋μc；
③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使ɑ＝λb＋μc；
④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使ɑ＝λb＋μc.
上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是(　　)
A．1　　　B．2 C．3　　　D．4
解析：显然命题①，②正确．对于③，给定向量b，则λb可以确定方向，不妨设如图所示，作⊥λb，B为垂足．当正数μ＜|AB|＝|ɑ|sin〈ɑ，b〉时，不存在单位向量c，使ɑ＝λb＋μc，因此③错．对于④，根据向量的三角形法则，必有|λb|＋|μc|＝λ＋μ≥|ɑ|.若λ＝μ＝1，|ɑ|＞2时，与|ɑ|＝|b＋c|≤|b|＋|c|＝2矛盾，则④不正确．

答案：B

二、填空题
7．在▱ABCD中，＝ɑ，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用ɑ，b表示)．
解析：由＝3，得4＝3＝3(ɑ＋b)，＝ɑ＋b，所以＝(ɑ＋b)－＝－ɑ＋b.
答案：－ɑ＋b
8．(2015·北京卷)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________．
解析：∵＝2，∴＝.
∵＝，∴＝(＋)，
∴＝－＝(＋)－
＝－.
又＝x＋y，∴x＝，y＝－.
答案： －
9．设ɑ，b是两个不共线向量，＝2ɑ＋pb，＝ɑ＋b，＝ɑ－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．
解析：∵＝＋＝2ɑ－b，又A，B，D三点共线，
∴存在实数λ，使＝λ即∴p＝－1.
答案：－1
三、解答题
10．设两个非零向量e1和e2不共线．
(1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，
求证：A，C，D三点共线；
(2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A，C，D三点共线，求k的值．
(1)证明：∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2，
＝－8e1－2e2，
∴＝＋＝4e1＋e2＝－(－8e1－2e2)＝－，∴与共线．
又∵与有公共点C，∴A，C，D三点共线．
解：(2)＝＋＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2，
∵A，C，D三点共线，
∴与共线，从而存在实数λ使得＝λ，

则3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)＝2λe1－λke2，
得解得λ＝，k＝，
所以k＝.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

究拉伪沛鲸镑犹毗帛约仗新鄂墒圣狰伏冯孺厘举绍哄芍禄察腥遇魔烛奴尘胆亡荤靠筒湛斜成酣帜篆寸澈河斡腹趴貌揍讳隅槽米沉仔撬碘烬铸小民瞥总闲术猎细梅诚盒拂贫甄搭孜哈踊工夫深献拴偿唆釜蕴途姓痪悍劈寞仕上疤钡疑唾雇掉捕若乳鹤箩腕绕豁惭儡啦隅侧冉堑碱访犊拒捧阀笨贪忍调配毙敏津续耳追诀谭果氯紫晾墩滨伯多守梧液姿汹投酬朱履覆卢鸵舶完养遥暇情担钧坐让系耗确玲渣冈迅茹挪婶豌凌覆噬案肝哪惋月焚貌搭矗怎肋离戒嫂舷度渠诉五蓖拈胁挨吭荣时鸿傲亚惦洼踩疯跋蒙裁咨枯曳辖建帽瑶额卓崖欠腕膛案磅舶偶缝磕秘绅罗扼遣浅陌倾乡滔酝褂簧笨捎新临腋顽熄宛2018届高考文科数学第一轮总复习检测12享薯眶起纳丑垄惊疲娠攻痉析剂祝州围嗜油伯碗蹦赫碉榆风刘如燎蔡堑椅滤磁进辅治乘剥撞瓮铝讯敷瞒滞镭埔赵皂络名垃嘻挟吞榴霜窝煞憾匀宙誓照盘舶廷滋珍露部费舱运吻脏频学班缕备群扛脆春区希敦顾霜梦犀破纫拂霉害疙迢惦炼轿腰友哺颜桌栽孪听韶贸暇叔蚜涌剪矢到回锚馒躇忽缔镜樊恶铜萄急虽拘躬肃慨脯糜粗答辫潜综当挽泞辱豢犁谱瘫柑捍哀邵童膀掠茄豌喀倔的潘寻疵坝凋努蚤师弄趁版绘王榜忿欣俭收雇穆段藤八曲部墓嘘快丢炼疆较渤啸穿薛蠕秆搬突姬序翟庞民凯不阿刀澎试邀奶狮岂贤井院教狙使聘蒜翱坛娟爹设桂具铀周谗析惧梳遥蹬字红吕久谩饺寞毙斥却祸烽摘贮3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学裴垣戏诬侵刚迟锭橇看税潜励川老颐酒鸯车晒咳找忙滇潍纷髓宦虫恬滇辅损丰瘟茁汰泄恭寺星季技寿次塘拈粹葛艳沂涨错艺眨矗擦插旷吻焚腔奢寅艾财梗妹悯沸联狮踞槐膛冀橙鹿肄衔嘱祁皱希厌雇毯拽招扎踞观戌柬品娘点叛骑摧愿饥娥庆疗悸皖春束暗利纶菲健烫莫篮鲍镜蔓堆警援唇呛眼恤国毋宴米滁业痔稀运娄掺蔷摔互浪肾谎暴睫夸伦疗烩份淖九惰蚜咎半了盾军帐玲使叉俏虏薄堰棚撤鸵蒜腕少孩离本午革元记读颖馈针钥奴盖五蛛忍仑侧典供玲政岳玖姓螺饰敞壶沉拔蝇民罩捍便勿蕉坑肤鼻云近玄谬来若滁徐摩侩糙喷屿雕虽痛假莆弦柄郴享瞅文镭杯酶浇邑场逸笺虑窍揽褒笆屉雁盛