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基本不等式知识点基本不等式知识点1、不等式的基本性质、不等式的基本性质（对称性）abba（传递性）,ab bcac（可加性）abacbc（同向可加性）dbcadcba,（异向可减性）dbcadcba,（可积性）bcaccba0,bcaccba0,（同向正数可乘性）0,0abcdacbd（异向正数可除性）0,0ababcdcd（平方法则）0(,1)nnababnNn且（开方法则）0(,1)nnabab nNn且（倒数法则）babababa110;1102、几个重要不等式、几个重要不等式222abab abR，,（当且仅当ab时取号）.变形公式：22.2abab（基本不等式）2abab abR，当且仅当ab时取到等号）.变形公式：2abab 2.2abab用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.（三个正数的算术几何平均不等式）33abcabc()abcR、（当且仅当abc时取到等号）.222abcabbcca abR，（当且仅当abc时取到等号）.3333(0,0,0)abcabc abc（当且仅当abc时取到等号）.0,2baabab若则（当仅当 a=b 时取等号）0,2baabab 若则（当仅当 a=b 时取等号）banbnamambab1，（其中000)abmn，规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小.220;axaxaxaxa 当时，或22.xaxaaxa 绝对值三角不等式.ababab3、几个著名不等式、几个著名不等式平均不等式：2211222abababab，,a bR（，当且仅当ab时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形公式：222;22ababab 222().2abab幂平均不等式：222212121.(.).nnaaaaaan二维形式的三角不等式：22222211221212()()xyxyxxyy1122(,).x y xyR二维形式的柯西不等式：22222()()()(,).abcdacbda b c dR当且仅当adbc时，等号成立.三维形式的柯西不等式：22222221231231 1223 3()()().aaabbbaba ba b一般形式的柯西不等式：2222221212(.)(.)nnaaabbb21 122(.).nnaba ba b向量形式的柯西不等式：设,是两个向量，则,当且仅当是零向量，或存在实数k，使k 时，等号成立.排序不等式（排序原理）：设1212.,.nnaaa bbb为两组实数.12,.,nc cc是12,.,nb bb的任一排列，则12111 122.nnnnnaba ba ba ca ca c1 122.nnaba ba b（反序和乱序和顺序和），当且仅当12.naaa或12.nbbb时，反序和等于顺序和.琴生不等式:（特例凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x,对于定义域中任意两点1212,(),x xxx有12121212()()()()()().2222xxf xf xxxf xf xff或则称 f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：舍去或加上一些项，如22131()();242aa将分子或分母放大（缩小），如211,(1)kk k 211,(1)kk k 2212,21kkkkkk*12(,1)1kNkkkk等.5、一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)axbxc或2(0,40)abac 解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f xf xg xg xf xg xf xg xg x （“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2()0()(0)()f xf xa af xa2()0()(0)()f xf xa af xa2()0()0()()()0()0()()f xf xf xg xg xg xf xg x或2()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：当1a 时,()()()()f xg xaaf xg x当01a时,()()()()f xg xaaf xg x规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法、对数不等式的解法当1a 时,()0log()log()()0()()aaf xf xg xg xf xg x当01a时,()0log()log()()0.()()aaf xf xg xg xf xg x规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：、含绝对值不等式的解法：定义法：(0).(0)aaaaa平方法：22()()()().f xg xfxgx同解变形法，其同解定理有：(0);xaaxa a (0);xaxaxa a 或()()()()()()0)f xg xg xf xg xg x()()()()()()()0)f xg xf xg xf xg xg x 或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法、含参数的不等式的解法解形如20axbxc且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：讨论a与 0 的大小；讨论与 0 的大小；讨论两根的大小.14、恒成立问题、恒成立问题不等式20axbxc的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当0a 时 0,0;bc当0a 时00.a 不等式20axbxc的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当0a 时0,0;bc当0a 时00.a ()f xa恒成立max();f xa()f xa恒成立max();f xa()f xa恒成立min();f xa()f xa恒成立min().f xa15、线性规划问题、线性规划问题常见的目标函数的类型：“截距”型：;zAxBy“斜率”型：yzx或;ybzxa“距离”型：22zxy或22;zxy22()()zxayb或22()().zxayb在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.