等差数列、等比数列知识点梳理.pdf

等差数列和等比数列知识点梳理等差数列和等比数列知识点梳理第 1 节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：（ddaann1为公差）（，）注：下面所有涉及，省略，你懂的。2n*nNn*nN2、等差数列通项公式：，为首项，为公差1(1)naand1ad 推广公式：()nmaanm d 变形推广：mnaadmn3、等差中项（1）如果，成等差数列，那么叫做 与 的等差中aAbAab项即：或2baAbaA2（2）等差中项：数列是等差数列 na)2(211-naaannn212nnnaaa4、等差数列的前 n 项和公式：1()2nnn aaS1(1)2n nnad 211()22dnad n2AnBn（其中A、B是常数，所以当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数时，是项数为 2n+1 的等差数列21n1na的中间项（项数为奇数的等差数列的各12121121212nnnnaaSna项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法（1）定义法：若或(常数)daann1daann1 Nn是等差数列 na（2）等差中项：数列是等差数列 na)2(211-naaannn212nnnaaa （3）数列是等差数列（其中是常数）。nabknanbk,（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。na2nSAnBn6、等差数列的证明方法 定义法：若或(常数)是等差daann1daann1 Nn na数列7、等差数列相关技巧：（1）等差数列的通项公式及前 和公式中，涉及到 5 个元素：n、及，其中、称作为基本元素。只要已知这 5 个1adnnanS1ad元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。（2）设项技巧：一般可设通项1(1)naand奇数个数成等差，可设为，（公2,2ad ad a ad ad差为）；d偶数个数成等差，可设为，,（注意；3,3ad ad ad ad公差为 2）d8、等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式0d 是关于 的一次函数，且斜率为公差；11(1)naanddnadnd前 和是关于 的二次函数且常n211(1)()222nn nddSnadnann数项为 0。（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减0d 0d 等差数列，若公差，则为常数列。0d（3）当时,则有，特别地，当mnpqqpnmaaaa时，则有。（注：，）2mnp2mnpaaa12132nnnaaaaaa当然扩充到 3 项、4 项都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。（4）、为等差数列，则都为等差数 na nb12nnnabab，列 (5)若是等差数列，则，也成等差数na232,nnnnnSSSSS列 (6)数列为等差数列,每隔 k(k)项取出一项(na*N)仍为等差数列23,mm kmkmkaaaa （7）、的前 和分别为、，则 na nbnnAnB2121nnnnaAbB （8）等差数列的前 n 项和，前 m 项和，则前namSnnSmm+n 项和，当然也有，则m nSmn,nmam an0m na (9)求的最值nS法一：因等差数列前 项和是关于 的二次函数，故可转化为求nn二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。*nN法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前 项和的最大值是所n有非负项之和即当 由可得达到最大值时的 值，001da001nnaanSn （2）“首负”的递增等差数列中，前 项和的最小值是所有n非正项之和。即 当 由可得达到最小值时的 值，001da001nnaanSn或求中正负分界项 na法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若S p=S q则其对称轴为nS2pqn注意：，对于任何数列都适用，但求通项时记住讨1(2)nnnSSa n论当的情况。1n 解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于和 的方程；1ad巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量。（以上加上蓝色的性质希望读者能够自己证明，不是很难，并能够学会运用）第第 2 节节：等比数列的相关公式和性质：等比数列的相关公式和性质1、等比数列的定义：，为公比12nnaq qna0q2、通项公式：，为首项，为公比11nnaa q1aq推广公式：，从而得n mnmaa qn mnmaqa3、等比中项（1）如果成等比数列，那么叫做 与 的等差中项即：,a A bAab或2AabAab 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列是等比数列 na211nnnaaa4、等比数列的前 n 项和公式：nS(1)当时，1q 1nSna(2)当时，1q 11111nnnaqaa qSqq （为常数）1111nnnaaqAA BA BAqq,A B A B5、等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的 n,都有11(0)nnnnnaaqaq qaa或为常数，为等比数列 na（2）等比中项：（0）为等比数列211nnnaaa11nnaa na（3）通项公式：为等比数列0nnaA BA B na（4）前 n 项和公式：为等比数列,nnnnSAA BSA BAA B A B或为常数 na6、等比数列的证明方法依据定义：若或为等比数*12,nnaq qnnNa0且1nnaqa na列7、等比数列相关技巧：（1）等比数列的通项公式及前 和公式中，涉及到 5 个元素：n、及，其中、称作为基本元素。只要已知这 5 个1aqnnanS1aq元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：11nnaa q如奇数个数成等比，可设为，（公比为，中间项22,aaa aq aqqqq用 表示）；注意隐含条件公比 的正负aq8、等比数列的性质：(1)当时1q 等比数列通项公式是关于 的带有系1110nnnnaaa qqA BA Bqn数的类指数函数，底数为公比q前 项和，系n1111111111nnnnnnaqaa qaaSqAA BA BAqqqq数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q(2)对任何 m,n,在等比数列中,有,特别的,当 m=1 时,便*Nnan mnmaa q得到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3)若(),则。特别的,当时,mnst,m n s t*Nnmstaaaa2mnk得2nmkaaa注：12132nnna aaaa a(4)列,为等比数列,则数列,(k 为na nbnkank aknannk abnnab非零常数)均为等比数列。(5)数列为等比数列,每隔 k(k)项取出一项(na*N)仍为等比数列23,mm kmkmkaaaa(6)如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列nalogana(7)若为等比数列,则数列，成等比数列nanS2nnSS32,nnSS(8)若为等比数列,则数列,na12na aa122nnnaaa成等比数列21223nnnaaa(9)当时，当时，1q 1q 0,1100nnaaaa，则为递增数列，则为递减数列1100nnaaaa，则为递减数列，则为递增数列当 q=1 时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;当 q0 时,该数列为摆动数列。(10)在等比数列中,当项数为 2n(n)时,。na*N1SSq奇偶(11)若是公比为 q 的等比数列,则nann mnmSSqS注意：在含有参数的数列时，若是等比数列，一定要考虑到公比的特殊情况。1q 解决等比数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于和 的方程；1aq巧妙运用等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量。关于等差、等比两个引申：关于等差、等比两个引申：模式（其中模式（其中为常数，为常数，1nnakab,k b）；模式（其中模式（其中 为常数，为常数，）2n 1nnnapapp2n 在这里我们以具体的例子给出，使其更容易理解：例 1 已知数列，有（），则求该数列的通项公式 na134nnaa2n 解题大致思路：先设，则对于，13()nnabab134nnaa123(2)nnaa那么我们就可以构造数列为等比数列，利用等比的相关性质去解决，注意：构造2na 新数列的首项和公比分别是多少？还有你考虑到当的这种情况了吗？1n 例 2 已知数列，有（），求该数列的通项公式 nb122nnnbb2n 解题的大致思路：（），相信你已122nnnbb2n 12122nnnnbb11122nnnnbb经知道构造什么数列了吧，这两个模式考试中喜欢考，也比较基础，当然也希望通过这两个模式能让你意识到求数列中的构造构造思想。