复合函数知识总结及例题.pdf

1复合函数问题一、复合函数定义：一、复合函数定义：设 y=f(u)的定义域为 A，u=g(x)的值域为 B，若 A B，则 y 关于 x 函数的y=fg(x)叫做函数 f 与 g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：二、复合函数定义域问题：(1)、已知、已知的定义域，求的定义域，求的定义域的定义域f x()f g x()思路：设函数的定义域为 D，即，所以的作用范围为 D，又 f 对作用，作用范f x()xDfg x()围不变，所以，解得，E 为的定义域。Dxg)(xEf g x()例例 1.设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_。f u()fx(ln)解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）f u()u()01，f又 f 对 lnx 作用，作用范围不变，所以01lnx解得，故函数的定义域为（1，e）xe()1，fx(ln)例例 2.若函数，则函数的定义域为_。f xx()11f f x()解析：先求 f 的作用范围，由，知f xx()11x 1即 f 的作用范围为，又 f 对 f(x)作用所以，即中 xxR x|1f xRf x()()且1f f x()应满足即，解得xf x 11()xx 1111xx 12且故函数的定义域为f f x()xR xx|12且（2）、已知、已知的定义域，求的定义域，求的定义域的定义域f g x()f x()思路：设的定义域为 D，即，由此得，所以 f 的作用范围为 E，又 f 对 x 作f g x()xDg xE()用，作用范围不变，所以为的定义域。xEE，f x()例例 3.已知的定义域为，则函数的定义域为_。fx()32x 12，f x()解析：的定义域为，即，由此得fx()3212，x 12，3215 x，所以 f 的作用范围为，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以15，x 15，2即函数的定义域为例例 4.已知，则函数的定义域为-f x()15，f xxx()lg22248f x()解析：先求 f 的作用范围，由，知f xxx()lg22248xx2280解得，f 的作用范围为，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以，x244()4，x ()4，即的定义域为f x()()4，（3）、已知、已知的定义域，求的定义域，求的定义域的定义域f g x()f h x()思路：设的定义域为 D，即，由此得，的作用范围为 E，又 f 对f g x()xDg xE()f作用，作用范围不变，所以，解得，F 为的定义域。h x()h xE()xFf h x()例例 5.若函数的定义域为，则的定义域为_。fx()211，fx(log)2解析：的定义域为，即，由此得fx()211，x 11，2122x，的作用范围为，又 f 对作用，所以，解得f122，log2xlog2122x，x 24，即的定义域为fx(log)224，评注：函数定义域是自变量 x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是 f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但 f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。三、复合函数单调性问题三、复合函数单调性问题（1 1）引理证明）引理证明已知函数已知函数.若若在区间在区间 ）上是减函数，其值域为）上是减函数，其值域为(c(c，d)d)，又函数，又函数)(xgfy)(xgu ba,(在区间在区间(c,d)(c,d)上是减函数，那么，原复合函数上是减函数，那么，原复合函数在区间在区间 ）上是增函数）上是增函数.)(ufy)(xgfy ba,(证明：在区间）内任取两个数，使ba,(21,xxbxxa21因为在区间）上是减函数，所以,记,即)(xgu ba,()()(21xgxg)(11xgu)(22xgu),(,21,21dcuuuu且3因为函数在区间(c,d)上是减函数，所以,即，)(ufy)()(21ufuf)()(21xgfxgf故函数在区间）上是增函数.)(xgfy ba,(（2）复合函数单调性的判断复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：)(ufy 增 减)(xgu 增 减 增 减)(xgfy 增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3）、复合函数）、复合函数的单调性判断步骤：的单调性判断步骤：)(xgfy 确定函数的定义域；将复合函数分解成两个简单函数：与与。)(ufy)(xgu 分别确定分解成的两个函数的单调性；若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函)(xgfy 数），则复合后的函数为减函数。)(xgfy（4）例题演练）例题演练例 1、求函数的单调区间，并用单调定义给予证明奎屯王新敞新疆)32(log221xxy解：定义域 130322xxxx或单调减区间是 设 则),3(2121),3(,xxxx且 )32(log121211xxy)32(log222212xxy=)32(121xx)32(222 xx)2)(1212xxxx 312 xx012 xx0212 xx4 又底数)32(121 xx)32(222 xx1210 即 012 yy12yy 在上是减函数奎屯王新敞新疆y),3(同理可证：在上是增函数奎屯王新敞新疆y)1,(例2、讨论函数的单调性.)123(log)(2xxxfa解由得函数的定义域为01232 xx.31,1|xxx或则当时，若，为增函数，为增函数.1a1x1232xxu)123(log)(2xxxfa若，为减函数.31x1232xxu为减函数。)123(log)(2xxxfa当时，若，则为减函数，若，则10 a1x)123(log)(2xxxfa31x为增函数.)123(log)(2xxxfa例 3、.已知 y=(2-)在0，1上是 x 的减函数，求 a 的取值范围.alogxa解：a0 且 a1当 a1 时，函数 t=2-0 是减函数xa由 y=(2-)在0，1上 x 的减函数，知 y=t 是增函数，alogxaaloga1由 x0，1时，2-2-a0,得 a2,xa1a2当 0a0 是增函数奎屯王新敞新疆xa由 y=(2-)在0，1上 x 的减函数，知 y=t 是减函数，alogxaalog0a1奎屯王新敞新疆由 x0，1时，2-2-10,0a1xa综上述，0a1 或 1a2奎屯王新敞新疆例例 4、已知函数（为负整数）的图象经过点，设2)3()2(2axaaxxfaRmm),0,2(.问是否存在实数使得在区间上是减函)()()(),()(xfxpgxFxffxg)0(pp)(xF)2(,(f数，且在区间上是减函数？并证明你的结论。)0),2(f解析由已知，得，0)2(mf02)3(2amaam5其中 即，.0,aRm009232 aa解得.37213721a为负整数，a.1a，1)2(34)2(2xxxxf即，.1)(2xxf242221)1()()(xxxxffxg.1)12()()()(24xppxxfxpgxF假设存在实数，使得满足条件，设，)0(pp)(xF21xx.12)()()()(2221222121pxxpxxxFxF，当时，为减函数，3)2(f)3,(,21xx)(xF，0)()(21xFxF.012)(,022212221pxxpxx,3,321xx182221 xx,11612)(2221ppxxp.0116p当时,增函数,)0,3(,21xx)(xF.0)()(21xFxF,02221 xx11612)(2221ppxxp.0116p由、可知，故存在161p.161p一指数函数与对数函数 同底的指数函数与对数函数互为反函数；xyalogayx（二）主要方法：1解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于 1 还是小于 1，要注意对底数的讨论；3比较几个数的大小的常用方法有：以和 为桥梁；利用函数的单调性；作差01（三）例题分析：例 1（1）若，则，从小到大依次为 ；21abalogbbalogbalogab （2）若，且，都是正数，则，从小到大依次为 ；235xyzxyz2x3y5z （3）设，且（，），则与的大小关系是 （）0 x 1xxab0a 0b ab （）（）（）（）A1baB1abC1baD1ab解：（1）由得，故21ababaalogbbalogba1 logab 6（2）令，则，235xyzt1t lglg2tx lglg3ty lglg5tz ，；2lg3lglg(lg9lg8)230lg2lg3lg2 lg3tttxy23xy 同理可得：，（3）取，知选（）250 xz25xz325yxz1x B例 2已知函数，2()1xxf xax(1)a 求证：（1）函数在上为增函数；（2）方程没有负数根()f x(1,)()0f x 证明：（1）设，121xx 则1212121222()()11xxxxf xf xaaxx，121212121212223()11(1)(1)xxxxxxxxaaaaxxxx，121xx 110 x 210 x 120 xx；12123()0(1)(1)xxxx，且，121xx 1a 12xxaa120 xxaa，即，函数在上为增函数；12()()0f xf x12()()f xf x()f x(1,)（2）假设是方程的负数根，且，则，0 x()0f x 01x 000201xxax 即，00000023(1)31111xxxaxxx 当时，而由知，010 x 001 1x 0331x03121x 1a 01xa式不成立；当时，而，01x 010 x 0301x03111x 00 xa式不成立综上所述，方程没有负数根()0f x 例 3已知函数（且）()log(1)xaf xa0a 1a 求证：（1）函数的图象在轴的一侧；()f xy （2）函数图象上任意两点连线的斜率都大于()f x0证明：（1）由得：，10 xa 1xa 当时，即函数的定义域为，此时函数的图象在轴的右侧；1a 0 x()f x(0,)()f xy当时，即函数的定义域为，此时函数的图象在轴的左侧01a0 x()f x(,0)()f xy函数的图象在轴的一侧；()f xy（2）设、是函数图象上任意两点，且，则直线的斜率，11(,)A x y22(,)B xy()f x12xxAB1212yykxx7，1122121log(1)log(1)log1xxxaaaxayyaaa当时，由（1）知，1a 120 xx121xxaa12011xxaa，又，；121011xxaa120yy120 xx0k 当时，由（1）知，01a120 xx121xxaa12110 xxaa ，又，12111xxaa120yy120 xx0k 函数图象上任意两点连线的斜率都大于()f x08同步练习（二）同步练习：（二）同步练习：1、已知函数)x(f的定义域为 1,0，求函数)x(f2的定义域。答案：1,12、已知函数)x23(f的定义域为 3,3，求)x(f的定义域。答案：9,33、已知函数)2x(fy的定义域为)0,1(，求|)1x2(|f的定义域。答案：)23,1()0,21(4、设，则的定义域为（）xxxf22lgxfxf22 A.B.4,00,4 4,11,4C.D.2,11,2 4,22,4解：选 C.由得，的定义域为。故，解得202xx()f x|22xx 22,2222.xx 。故的定义域为 4,11,4x xfxf22 4,11,45、已知函数的定义域为，求的定义域。)(xf)23,21(x)0)()()(aaxfaxfxg解析由已知，有.232,2321,2321,2321axaaxaaxax（1）当时，定义域为；1a2321|xx（2）当，即时，有，aa232310 a221aa定义域为；232|axax（3）当，即时，有，aa23231a221aa定义域为.2321|axax9故当时，定义域为；1a2321|axax当时，定义域为10 a.232|axax点评对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。练习二（5 5）同步练习：）同步练习：1函数y（x23x2）的单调递减区间是（）21logA（，1）B（2，）C（，）D（，）2323解析：解析：先求函数定义域为（o，1）（2，），令t（x）x23x2，函数t（x）在（，1）上单调递减，在（2，）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y（x23x2）在（2，）上单调递减21log答案：答案：B2 找出下列函数的单调区间.（1）；)1(232aayxx（2）.2322xxy答案：(1)在上是增函数，在上是减函数。23,(),23（2）单调增区间是，减区间是。1,1 3,1 3、讨论的单调性。)0,0(),1(logaaayxa且答案：时为增函数，时，为增函数。,1a),0(01 a)0,(4求函数y（x25x4）的定义域、值域和单调区间31log解：解：由（x）x25x40，解得x4 或x1，所以x（，1）（4，），当x（，1）（4，），x25x4R，所以函数的值域是 R因为函数y（x25x4）是由y（x）与（x）x25x4 复合而成，函数y（x）在31log31log31log其定义域上是单调递减的，函数（x）x25x4 在（，）上为减函数，在，上为2525增函数考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y（x25x4）的增区间是定义域内使y31log（x）为减函数、（x）x25x4 也为减函数的区间，即（，1）；31log10y（x25x4）的减区间是定义域内使y（x）为减函数、（x）x25x4 为增函数31log31log的区间，即（4，）变式练习变式练习一、选择题一、选择题1函数f（x）的定义域是（）)1(log21x A（1，）B（2，）C（，2）D21(，解析：解析：要保证真数大于 0，还要保证偶次根式下的式子大于等于 0，所以解得 1x20)1(log0121xx答案：答案：D2函数y（x23x2）的单调递减区间是（）21log A（，1）B（2，）C（，）D（，）2323解析：解析：先求函数定义域为（o，1）（2，），令t（x）x23x2，函数t（x）在（，1）上单调递减，在（2，）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y（x23x2）在（2，）上单调递减21log答案：答案：B3若 2（x2y）xy，则的值为（）lglglgxy A4B1 或41 C1 或 4D41错解：错解：由 2（x2y）xy，得（x2y）2xy，解得x4y或xy，则有或lglglgxy411yx11答案：答案：选 B正解：正解：上述解法忽略了真数大于 0 这个条件，即x2y0，所以x2y所以xy舍掉只有x4y答案：答案：D4若定义在区间（1，0）内的函数f（x）（x1）满足f（x）0，则a的取值范围为（a2log）A（0，）B（0，1）21 C（，）D（0，）21解析：解析：因为x（1，0），所以x1（0，1）当f（x）0 时，根据图象只有 02al，解得0a（根据本节思维过程中第四条提到的性质）21答案：答案：A5函数y（1）的图象关于（）lgx12 Ay轴对称Bx轴对称 C原点对称D直线yx对称解析：解析：y（1），所以为奇函数形如y或y的函数都为奇lgx12xx11lgxx11lgxx11lg函数答案：答案：C二、填空题二、填空题已知y（2ax）在0，1上是x的减函数，则a的取值范围是_alog解析：解析：a0 且a1（x）2ax是减函数，要使y（2ax）是减函数，则a1，又alog2ax0a（0 x1）a2，所以a（1，2）x2答案：答案：a（1，2）7函数f（x）的图象与g（x）（）x的图象关于直线yx对称，则f（2xx2）的单调递减区31间为_解析：解析：因为f（x）与g（x）互为反函数，所以f（x）x31log12则f（2xx2）（2xx2），令（x）2xx20，解得 0 x231log（x）2xx2在（0，1）上单调递增，则f（x）在（0，1）上单调递减；（x）2xx2在（1，2）上单调递减，则f（x）在1，2）上单调递增所以f（2xx2）的单调递减区间为（0，1）答案：答案：（0，1）8已知定义域为 R 的偶函数f（x）在0，上是增函数，且f（）0，21则不等式f（log4x）0 的解集是_解析：解析：因为f（x）是偶函数，所以f（）f（）0又f（x）在0，上是增函数，2121所以f（x）在（，0）上是减函数所以f（log4x）0log4x或 log4x2121解得x2 或 0 x21答案：答案：x2 或 0 x21三、解答题三、解答题9求函数y（x25x4）的定义域、值域和单调区间31log解：解：由（x）x25x40，解得x4 或x1，所以x（，1）（4，），当x（，1）（4，），x25x4R，所以函数的值域是 R因为函数y（x25x4）是由y（x）与（x）x25x4 复合而成，函数y（x）在31log31log31log其定义域上是单调递减的，函数（x）x25x4 在（，）上为减函数，在，上为2525增函数考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y（x25x4）的增区间是定义域内使y31log（x）为减函数、（x）x25x4 也为减函数的区间，即（，1）；31logy（x25x4）的减区间是定义域内使y（x）为减函数、（x）x25x4 为增函数31log31log的区间，即（4，）10设函数f（x），532xxx2323lg（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；13（3）已知函数f（x）的反函数f1（x），问函数yf1（x）的图象与x轴有交点吗?若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由解：解：（1）由 3x50 且0，解得x且x取交集得xxx23233523232323（2）令（x），随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；532x1随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数xx2323x236又ylgx在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，y是减函数，所以f（x）xx2323lg是减函数532xxx2323lg（3）因为直接求f（x）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解设函数f（x）的反函数f1（x）与工轴的交点为（x0，0）根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知，f（x）与y轴的交点是（0，x0），将（0，x0）代入f（x），解得x0所以函数yf1（x）52的图象与x轴有交点，交点为（，0）。52