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复习专题：导数
导数
一、导数公式
（1）、几种常见的导数
① ；② ；
③ = ；④ ；
⑤ = ；
⑥ ； ⑦ ；⑧；
（2）、导数运算规则：
① ；② ；
③ ；④ ；
练习：1、函数的导数为________________ ；
2、若,则
3、若,则
二、函数的单调性
在区间A单调递增在A恒成立
在区间A单调递减在A恒成立
作用：可求单调区间解不等式；或判定函数在某区间单调；
常识：看到单调，就想到导数大于等于（或小于等于）0在给定区间恒成立
练习：1、已知在R上是减函数，则的取值范围是
2、设是函数的导函数，的图象如图（1）所示，则的图象最有可能为（ ）
3、已知函数, 的导函数的图象如下图，那么, 的图象可能是（ ）

4、已知对任意实数，有，且时，，则时（ ）
A． B．
C． D．
5、若在（1，4）内为减函数，在（6，+∞）上为增函数，则的范围是
三、极值和极值点
（1）、极值点的判别法-----函数草图中的转折点或导数草图中与轴的交点
函数的草图 导数的草图

注意点：①如图，是边界点不是极值点；，是转折点，才是极值点，其中极大值点，极小值点，
是极大值，极小值；------极大值、极小值统称极值------是函数值
②由于极值点由横坐标决定，因此，常称为极大值点，极小值点；所以求极值点---求横坐标（即的解）
③导数的草图需画轴；轴上方，导数大于0，函数单调递增；下方导数小于0，函数单调递减-----画轴
（2）、求函数的极值的方法：
①求出的根；②利用导数草图判定是极大值点还是极小值点③求出极值
（3）求最值的方法
①求出的根；②作出导数草图；③作出函数草图；④计算比较得到最值
练习：1、①已知函数在区间上的最大值为，则　　 　.
②在的值域是
2、已知。如图，的图象过点（1，0），（2，0），则下列
说法中：不正确的有　　　　　
①时，函数取到极小值；
②函数有两个极值点；
③；
④时，函数取到极大值；
3、设，函数的图像可能是（ ）

4、若函数在处取极值，则
四、切线：曲线在处切线的斜率，切点，从而切线方程为
---------求切线方程----关键在求切点的横坐标
练习：1、设点是上一点，则在点处的斜率取值范围是
2、曲线在点（0,1）处的切线方程为
3、已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为
4、设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为
5、在曲线的切线中，则斜率最小的切线方程是
6、若曲线y=在点（0，b）处的切线方程式=0，则 ，
7、若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是
解答题
1、已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为.
（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间.
2、已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。
（I）求的解析式；（II）是否存在自然数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
3、设函数．
（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．
4、已知函数的图象过点（－1，－6），且函数的图象关于y轴对称.
(Ⅰ)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若a＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值.
5、已知函数f（x）=的图像在点P（0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2
(Ⅰ)求实数a,b的值；
(Ⅱ)设g（x）=f(x)+是[]上的增函数。
（i）求实数m的最大值；
(ii)当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。
6、已知函数
（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（II）当时，讨论的单调性
7、已知函数，常数．①讨论函数的奇偶性，并说明理由；②若函数在上为增函数，求的取值范围．
8、已知函数．①求曲线在点处的切线方程；②设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．
9、已知函数
（I）当时，求的极值;（II）若在上是增函数，求的取值范围
二阶导数的意义
二阶导数就是对一阶导数再求导一次， 意义如下：
（1）斜线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率
（2）函数的凹凸性。
（3）判断极大值极小值。

结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。
一、用二阶导数判断极大值或极小值定理
设在二阶可导，且．
(1) 若，则在取得极大值；
(2) 若，则在取得极小值．
例 试问为何值时，函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？求此极值．
解 ．
由假设知，从而有，即．
又当时，，且
，所以在处取得极大值，且极大值．
例 求函数的极大值与极小值．
解 在上连续，可导．令
，
得 和，
思考： 在取得极大还是极小值？在取得极大还是极小值？

-1代入二阶导数表达式为-12，在取得极大值
3代入二阶导数表达式12，在取得极小值
三、函数图像凹凸定理 若在内二阶可导，
则曲线在内的图像是凹曲线的充要条件是，．
曲线在内的图像是凸曲线的充要条件是，。
几何的直观解释：如果如果一个函数f(x)在某个区间I上有恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。
１. 曲线的凸性

对函数的单调性、极值、最大值与最小值进行了讨论，使我们知道了函数变化的大致情况．但这还不够，因为同属单增的两个可导函数的图形，虽然从左到右曲线都在上升，但它们的弯曲方向却可以不同．如图1—1中的曲线为向下凸，而图1—2中的曲线为向上凸．

图 1—1 图 1—2

定义4.5.1 设在内可导，若曲线位于其每点处切线的上方，则称它为在内下凸(或上凹)；若曲线位于其每点处切线的下方，则称它在内上凸(或下凹)．相应地，也称函数分别为内的下凸函数和上凸函数(通常把下凸函数称为凸函数)．
从图1—1和图1—2明显看出，下凸曲线的斜率(其中为切线的倾角)随着的增大而增大，即为单增函数；上凸曲线斜率随着的增大而减小，也就是说，为单减函数．但的单调性可由二阶导数来判定，因此有下述定理．
定理4.5.1 若在内二阶可导，则曲线在内下凸(凹函数)的充要条件是
．