高三数学-苏州市2016届高三调研测试数学试题.doc

苏州市2016届高三调研测试
数学Ⅰ试题 2016．1
参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的方差，其中．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．
1． 设全集U＝｛x | x≥2，x∈N｝，集合A＝｛x | x2≥5，x∈N｝，则＝ ▲ ．
【答案】．
【命题立意】本题旨在考查集合补集的运算．考查概念的理解和运算能力，难度较小．
【解析】∵U＝｛x | x≥2，x∈N｝，A＝｛x | x2≥5，x∈N｝∴．
2． 复数，其中i为虚数单位，＝，则a的值为 ▲ ．
【答案】－5．
【命题立意】本题旨在考查复数的运算，复数模的几何意义．考查概念的理解和运算能力，难度较小．
【解析】，，故．
【方法技巧】本题主要考查复数代数形式的基本运算以及复数模的考查，进行复数的除法的运算需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为-1．在复数的除法运算中，共轭复数是一个重要的概念，通过它能将分母中的虚数单位化去，因，所以复数的共轭复数为，这与实数中的互为有理化因数类似，所以在复数的四则运算中，可类比二次根式的运算，从而更好地掌握共轭复数．
3． 双曲线的离心率为 ▲ ．
【答案】．
【命题立意】本题旨在考查双曲线的离心率．考查概念的理解和计算，难度中等.
【解析】双曲线， ，由 得 ，．
4． 若一组样本数据9，8，x，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为 ▲ ．
【答案】2．
【命题立意】本题旨在考查统计数据的平均数与方差．考查概念的理解和运算能力，难度较小．
【解析】9+8+x+10+11=10×5，解得x=12，这对应的方差为s2=（12+22+22+02+12）=2．
5． 已知向量a=(1，2)，b=(x，-2)，且a⊥(a-b)，则实数x= ▲ ．
【答案】9．
【命题立意】本题旨在考查平面向量的坐标运算与数量积．考查运算和推理能力，难度中等.

【解析】 ，∵∴ ，即 ，解得．
6． 阅读算法流程图，运行相应的程序，输出的结果为 ▲ ．
N
（第6题图）
开始
z←x+y
x←1 ，y←1
z < 6
y← z
Y
输出
结束
x← y

【答案】 ．
【命题立意】本题旨在考查算法的流程图中的直到型循环结构及其应用．考查运算和推理能力，难度较小．
【解析】由算法的流程图，开始时x=1，y=1，此时z=2,满足z<6；接下来有x=1，y=2，z=3,此时满足z<6；接下来有x=2，y=3，z=5,此时满足z<6；接下来有x=3，y=5，z=8此时满足z>6；结束循环，输出．
7． 函数的值域为 ▲ ．
【答案】．
【命题立意】本题旨在考查分段函数，函数的图象与性质，函数的值域．考查数形结合的数学思想，难度较小.
【解析】当时，，∵ 在单调增，∴；
当时，，∵ 在单调减，，综上所述的值域为．
8． 连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，则事件“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为 ▲ ．
【答案】．
【命题立意】本题旨在考查古典概型及其应用．考查运算和推理能力，难度较小．
【解析】设连续2次抛掷一枚骰子两次向上的数字用（x,y）表示，两次向上的数字共有36种，两次向上的数字之和等于7的情况有6种：（1，6），（6，1），（2，5），（5，2），（3，4），（4，3），根据古典概型的概率公式可得所求的概率为．
9． 将半径为5的圆分割成面积之比为的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为，则＝ ▲ ．
【答案】5．
【命题立意】本题旨在考查圆锥的几何性质与展开图．考查计算和推理能力，难度中等.
【解析】半径为5的圆分割成面积之比为的三个扇形，三个扇形的圆心角分别为 ，由弧长公式，所对的弧长分别为，三个扇形作为三个圆锥的底面半径的和为．
10． 已知是第三象限角，且，则＝ ▲ ．
【答案】．
【命题立意】本题旨在考查同角三角函数的基本关系．考查概念的理解和运算能力，难度较小．
【解析】由同角三角函数的基本关系得，解得 ，，∵是第三象限角∴（舍），∴ ，．
11． 已知是等差数列，a5＝15，a10＝－10，记数列的第n项到第n+5项的和为Tn，则取得最小值时的n的值为 ▲ ．
【答案】5或6．
【命题立意】本题旨在考查等差数列的通项公式与求和公式．考查数列的单调性，难度较小.
【解析】由题意可知 ，解得，由等差数列的前n项和公式得 ， ， ，所以当n=5或n=6时，取得最小值．
12． 若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则＝ ▲ ．
【答案】18．
【命题立意】本题旨在考查直线与圆的方程的应用，考查转化与化归，分析解决问题的能力．难度较大.
【解析】设直线与圆相交于A,B点，直线与圆相交于C,D点．由题意可知 ,圆心到直线的距离为2， ，解得 或；圆心到直线的距离为2， ，解得 或，∵ ∴ 或，．

13． 已知函数f(x)＝－kx (x≥0，k∈R)有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为，则＝ ▲ ．
【答案】．
【命题立意】本题旨在考查三角函数的图象与性质，函数与方程，函数的零点及其应用．考查函数与方程思想，数形结合的数学思想，难度中等.
【解析】设函数的图象关于y轴对称，直线过原点，所以函数f(x)＝－kx (x≥0k∈R)有且只有三个零点，即函数 与直线在上有三个公共点，此三个交点中的横坐标最大值为且在 内相切，其切点为 ， ．由于 ，所以，
．
【方法技巧】1．对于易画出图象的函数，判断零点的个数或零点所在的区间时，可转化为判断函数图象与轴的交点问题．
2．对于函数的零点问题，可采用数形结合的方法，将函数的零点问题转化为函数，的图象的交点问题，作出两个函数的图象，从而判断零点所在的大致区间或零点个数.
14． 已知，，则的最小值为 ▲ ．
【答案】．
【命题立意】本题旨在考查基本不等式及换元法．考查推理论证的能力与计算能力．难度较大.
【解析】由得 ，
令 则当且仅当 即 等号成立．
二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15． （本小题满分14分）
在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角C的大小；
（2）若的面积为，，求边的长．
【答案】（1）；（2）．
【命题立意】本题旨在考查余弦定理，“边、角”互化思想．考查运算推理能力，难度较小.
【解析】（1）由余弦定理知3分
，， …………………………………5分
又，. ………………………7分
（2） ………………………10分
又，， …………………13分
. …………………………………14分
16． （本小题满分14分）
如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中， E，F分别是AB，BC的中点，A1C1 与B1D1交于点O.
（1）求证：A1，C1，F，E四点共面；
（2）若底面ABCD是菱形，且A1E，求证：平面A1C1FE.

【答案】（1）略；（2）略．
【命题立意】本题旨在考查空间直线平行．线与平面垂直的判定，考查空间想象．推理论证能力．难度中等.
【解析】（1）连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，
（第16题图）
C1
E
O
D1
B1
A1
F
D
C
B
A
所以EF∥AC． ………………………2分
由直棱柱知AA1CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1． ………………5分
所以EF∥A1C1，
故A1，C1，F，E四点共面．……………7分
（2）连接BD，因为直棱柱中平面，平面，
所以． ………………………9分
因为底面A1B1C1D1是菱形，所以．
又，所以平面． ………………………11分
因为平面，所以OD．
又A1E，，平面A1C1FE，平面A1C1FE，
所以平面A1C1FE. ………………………14分
17． （本小题满分14分）
图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C为半圆弧的中点，渠宽AB为2米．
（1）当渠中水深CD为0.4米时，求水面的宽度；
（2）若把这条水渠改挖（不准填土）成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？

【答案】（1）1.6米；（2）．
【命题立意】本题旨在考查圆的方程，切线方程，利用导数求函数的最值考查数学模型的实际应用，分析与解析问题的能力．难度中等.
【解析】（1）以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，
因为AB＝2米，所以半圆的半径为1米，
则半圆的方程为． ………………………3分
因为水深CD＝0.4米，所以OD＝0.6米，
在Rt△ODM中，（米）． ……………………5分
所以MN＝2DM＝1.6米，故沟中水面宽为1.6米． ……………………6分
（2）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点为是圆弧BC上的一点，过P作半圆的切线得如图所示的直角梯形OCFE，得切线EF的方程为． ……………………8分
令y＝0，得，令y＝-1，得．
设直角梯形OCFE的面积为S，则 （）． ……………………10分
，令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增． ………………………12分
所以时，面积S取得最小值，最小值为．
此时，即当渠底宽为米时，所挖的土最少．…………14分
18． （本小题满分16分）
如图，已知椭圆O：＋y2＝1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M．
（1）当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；
（2）①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值；
②求的取值范围．

【答案】（1）；（2）①略②．
【命题立意】本题旨在考查直线与椭圆的位置关系，直线方程，平面向量的位置关系与线性运算，考查分析与解决问题的能力和运算能力等．难度中等.
【解析】解：（1）由题意，焦点，当直线PM过椭圆的右焦点F时，则直线PM的方程为，即，
联立，解得或（舍），即．……………2分
连BF，则直线BF：，即，
而，． ……………………4分
故． ……………………5分
（2）解法一：①设，且，则直线PM的斜率为，
则直线PM的方程为，
联立化简得，解得， ………8分
所以，，
所以为定值． …………………10分
② 由①知，，，
所以， ……………13分
令，故，
因为在上单调递增，
所以，即的取值范围为……16分
解法二：①设点，则直线PM的方程为，
令，得. ……………7分
所以，，
所以（定值）. ………………10分
②由①知，，，
所以
=． ………………13分
令，则，
因为在上单调递减，
所以，即的取值范围为．…16分
【方法技巧】 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.
19． （本小题满分16分）
已知数列满足：，，,.
（1）若，且数列为等比数列，求的值；
（2）若，且为数列的最小项，求的取值范围.
【答案】（1）或；（2）．
【命题立意】本题旨在考查数列的递推关系式，累加法，等比数列的定义，数列求和，数列的增减性．考查函数与方程思想，以及转化和化归能力，难度中等.
【解析】（1），，∴，，
由数列为等比数列，得，解得或.……………3分
当时，，∴ 符合题意； ……………………4分
当时，，
∴=，
∴符合题意. ………………………6分
（2）法一：若，，
∴
==. …………8分
∵数列的最小项为，∴对，有恒成立，
即对恒成立. …………………10分
当时，有，∴；
当时，有，∴；
当时，有，∴；
当时，有，∴； …………………12分
当时，，所以有恒成立，
令，则，
即数列为递增数列，∴. …………………15分
综上所述，. ……………………16分
法二：因为，，
又为数列的最小项，所以即
所以. ……………………………………………………8分
此时，，
所以. ………………………………………………………10分
当时，令，，
所以，所以，
即. ………………………………………………………14分
综上所述，当时，为数列的最小项，
即所求q的取值范围为. ………………………………………………………16分
20．（本小题满分16分）
已知函数（a∈R），为自然对数的底数．
（1） 当a＝1时，求函数的单调区间；
（2） ①若存在实数，满足，求实数的取值范围；
②若有且只有唯一整数，满足，求实数的取值范围．
【答案】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增.；（2）①；②．
【命题立意】本题旨在考查导数及其应用，导数的运算与导数的几何意义，函数的单调性，考查分类讨论思维，分离参数构造函数求取值范围．难度中等.
【解析】（1）当a＝1时，，，……1分
由于，
当时，，∴，
当时，，∴，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. ………………4分
（2）①由得．
当时，不等式显然不成立；
当时，；当时，. ………………6分
记=，，
∴ 在区间和上为增函数，和上为减函数．
∴ 当时，，当时，． …………………8分
综上所述，所有a的取值范围为． …………………9分
②由①知时，，由，得，
又在区间上单调递增，在上单调递减，且，
∴，即，∴. …………………12分
当时，，由，得，
又在区间上单调递减，在上单调递增，且，
∴，解得. ……………………15分
综上所述，所有a的取值范围为． …………………16分

数学II（附加题）
21．【选做题】
A．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，四边形ABDC内接于圆．BD＝CD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点。
（1）求证：∠EAC＝2∠DCE
（2）若BD⊥AB，BC＝BE，AE＝2，求AB的长。

【答案】（1）略（2）．
【命题立意】本题旨在考查切割线定理及其应用．考查运算求解能力，难度较小．
【解析】（1）证明：因为BD=CD，所以∠BCD=∠CBD．
因为CE是圆的切线，所以∠ECD=∠CBD． ………………………………2分
所以∠ECD=∠BCD，所以∠BCE=2∠ECD．
因为∠EAC=∠BCE，所以∠EAC=2∠ECD． ………………………………5分
（2）解：因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC=AB． ………………………………6分
因为BC=BE，所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，所以AC=EC． ………………………7分
由切割线定理得EC2=AEBE，即AB2=AE( AE－AB)，
即AB2+2 AB-4=0，解得AB=. ……………………………10分

B．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知二阶矩阵M有特征值＝3及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点（－1,2）变换成（9,15），求矩阵M．
【答案】．
【命题立意】本题旨在考查矩阵及其应用，矩阵的乘法运算等．考查运算求解能力，难度较小．
【解析】设,则,故 ………………3分
,故 ……………………………6分
联立以上两方程组解得,故=. ……………10分
C．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在直角坐标系xoy中，已知曲线C1的参数方程是为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程是＝2，求曲线C1与C2的交点在直角坐标系中的直角坐标。
【答案】．
【命题立意】本题旨在考查极坐标方程与普通方程的转化，参数方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系．考查运算求解能力，难度较小．
【解析】由消去t得曲线C1的普通方程y＝x(x≥0)； …………………3分
由ρ＝2，得ρ2＝4，得曲线C2的直角坐标方程是x2＋y2＝4. ……………………6分
联立解得
故曲线C1与C2的交点坐标为. …………………………10分
D．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）
　设函数。
（1）证明：；

（2）若，求实数的取值范围。
【答案】（1）略；（2）
【命题立意】本题旨在考查绝对值不等式的解法，以及分类讨论思维的应用，难度较小．
【解析】（1）证明：由a>0，有f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2，
所以f(x)≥2. ………………………4分
（2）解：f(3)＝＋|3－a|.
当a>3时，f(3)＝a＋，由f(3)<5得3 ……………………10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写
出文字说明、证明过程或演算步骤．
22、（本小题满分10分）
　　一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向．已知该网民购买A种商品的概率均为，购买B种商品的概率均为，购买E种商品的概率为．假设该网民是否购买这三种商品相互独立．
（1）求该网民至少购买2种商品的概率；
（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．
【答案】（1） ；（2）．
【命题立意】本题旨在考查相互独立事件的概率，概率分布列及其应用，以及数学期望的求解．考查运算和转化能力，难度较大.
【解析】（1）记“该网民购买i种商品”为事件，则：,
, ……………………3分
所以该网民至少购买2种商品的概率为 .
答：该网民至少购买2种商品的概率为. ………………………5分
（2）随机变量的可能取值为,
,
又, , 所以.
所以随机变量的概率分布为：

0
1
2
3

………………………8分
故数学期望. ………………………10分

23、（本小题满分10分）
如图，由若干个小正方形组成的k层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k层有k个小正方形，除去最底下的一层，每个小正方形都放置在这一下层的两个小正方形之上，现对第k层的每个小正形用数字进行标注，从左到右依次记为其中中其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为。
（1）当k＝4时，若要求为2的倍数，则有多少种不同的标注方法？
（2）当k＝11时，若要求为3的倍数，则有多少种不同的标注方法？

【答案】（1）8；（2）640．
【命题立意】本题旨在考查排列组合的应用，考查分类讨论思维等．难度中等.
【解析】（1）当k=4时，第4层标注数字依次为，第3层标注数字依次为
，第2层标注数字依次为，
所以=. …………………………2分
因为为2的倍数，所以是2的倍数，则四个都取0或两个取0两个取1或四个都取1，所以共有1++1=8种标注方法. ……………………4分
（2）当k=11时，第11层标注数字依次为，第10层标注数字依次为
，第9层标注数字依次为，以此类推，可得=. …………………6分
因为均为3的倍数，所以只要是3的倍数，即只要是3的倍数. …………8分
所以四个都取0或三个取1一个取0，而其余七个可以取0或1，这样共有（1+）=640种标注方法. ……………………10分