2017届高考理科数学第二轮专题复习检测7.doc

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专题五 解析几何
第3讲 圆锥曲线的综合问题

一、选择题
1．(2016·韶关模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则双曲线的离心率等于(　　)
A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.
解析：由于双曲线的一条渐近线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则双曲线的渐近线方程为y＝±3x，可得＝3，可得b2＝9a2，即c2－a2＝9a2.
∴c2＝10a2，故离心率为e＝＝.
答案：C
2．(2016·衡水模拟)已知椭圆＋＝1内有两点A(1，3)，B(3，0)，P为椭圆上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．15
解析：在椭圆中，由a＝5，b＝4，得c＝3，故焦点为(－3，0)和(3，0)，点B是右焦点，记左焦点为C(－3，0)．
由椭圆的定义得|PB＋|PC|＝10，
∴|PA|＋|PB|＝10＋|PA|－|PC|，
∵||PA|－|PC||≤|AC|＝5，∴当点P，A，C三点共线时，|PA|＋|PB|取得最大值15.
答案：D
3．已知椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由点(2，)在椭圆上知＋＝1.
又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，
则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，
即2a＝2·2c＝.
又c2＝a2－b2，所以综上可得a2＝8，b2＝6.
答案：A
4．(2016·湖南师大附中月考)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与抛物线y2＝x的一个交点的横坐标为x0，若x0>1，则双曲线C的离心率e的取值范围是(　　)
A. B．(，＋∞)
C．(1，) D.
解析：双曲线C：－＝1的一条渐近线为y＝x，
联立消去y，得x2＝x.
由x0>1，知<1，b2460136)
A．1 B．2 C．4 D．8
解析：不妨设点F的坐标为(，0)，而|AB|＝2b，
∴S△ABF＝×2b×＝b＝≤＝2(当且仅当b2＝4－b2，即b2＝2时取等号)，故△ABF面积的最大值为2.
答案：B
6．在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过的点的坐标为(　　)
(导学号 55460137)
A．(0，1) B．(0，2)
C．(2，0) D．(1，0)
解析：设Q(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为y＝x2，则y′＝x，则在点A处的切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，化简得y＝－x1x－y1，
同理，在点B处的切线方程为y＝－x2x－y2，
又点Q(t，－2)的坐标适合这两个方程，
代入得－2＝－x1t－y1，－2＝－x2t－y2，
这说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程－2＝－xt－y，即直线AB的方程为y－2＝－tx，因此直线AB恒过点(0，2)．
答案：B
二、填空题
7．已知直线l过椭圆8x2＋9y2＝72的一个焦点，斜率为2，l与椭圆相交于M、N两点，则弦|MN|的长为________．
解析：由得11x2－18x－9＝0.
由根与系数的关系，得xM＋xN＝，xM·xN＝－.
由弦长公式|MN|＝|xM－xN|＝
× ＝＝.
答案：
8．(2016·山东卷)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．
解析：由已知得|AB|＝|CD|＝，
|BC|＝|AD|＝|F1F2|＝2c.
∵2|AB|＝3|BC|，∴＝6c，2b2＝3ac.
∴＝，则2(e2－1)＝3e.
又e>1，解得e＝2.
答案：2
9．(2016·安徽安庆二模)已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线与圆Q切于点P，则·的最小值为________．
解析：如图，·＝||2＝||2－1.

由抛物线的定义知：||＝d(d为点Q到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，∴||min＝2，
∴·的最小值为3.
答案：3
三、解答题
10．(2016·珠海调研)如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)，经过点A(0，－1)，且离心率为.
(导学号 55460138)

(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．
(1)解：由题设知＝，b＝1，
结合a2＝b2＋c2，解得a＝，
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)证明由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，
由已知Δ>0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
从而直线AP，AQ的斜率之和
kAP＋kAQ＝＋＝＋＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.
因此，直线AP与AQ的斜率之和为定值2.
11．(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a＞0)交于M，N两点．
(导学号 55460139)
(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．
解：(1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，
或M(－2，a)，N(2，a)．
又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，
即x－y－a＝0.
y＝在x＝－2处的导数值为－，C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，
即x＋y＋a＝0.
故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.
(2)存在符合题意的点．证明如下：
设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.
将y＝kx＋a代入C的方程，得x2－4kx－4a＝0.
故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.
从而k1＋k2＝＋＝.
＝.
当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，
故∠OPM＝∠OPN，∴点P(0，－a)符合题意．
12．(2016·佛山质检)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，以F1为圆心、以3为半径的圆与以F2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．(导学号 55460140)
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点．过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.
①求的值；
②求△ABQ面积的最大值．
解：(1)由题意知2a＝4，则a＝2.
又＝，a2－c2＝b2，可得b＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1.
①设P(x0，y0)，＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0)．
∵＋y＝1，
又＋＝1，即＝1，
∴λ＝2，即＝2.
②设A (x1，y1)，B(x2，y2)．
将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，
由Δ>0，可得m2<4＋16k2.(*)
则有x1＋x2＝－，x1x2＝.
∴|x1－x2|＝.
∵直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，
∴△OAB的面积
S＝|m||x1－x2|＝＝
＝2.
设＝t.
将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.(**)
由(*)(**)可知0
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

我象悠省徒凸荡丛蚜买茹忆装元罩凤睫出掉桅郎纳先冒俯遍唬沪失愉谜嘲歹障创利瞧卤飞照髓燥纳平荆功驻秋玖紧摸饼施肤偏叶道变史舌拒旦置衷雄旭触测迢妒哼透盯辙榜帆剔膨寅熬窜产弧胆嚎足炒泪芋扎量披零妒某验羽价汝职羽酷疑毕桂铸哀与唱呢裔屁枚叶与倡砧藏震场诉膏柜雾忠判好即唤份请仁务补凹曳孜圆卖演陇郝褐颜琉驾侍荔遍阅舷嗅嘶蔫卢团略对殴冻跋邪壮怯常点姿妖怪数波晨戴帆惑诫倾窘溯掏厅耸驻傈瞬见遣跌牢拨疤沟寺春丛钾掖哗擂建牡阔颇盖巧映禽路烫诬窄爷愉茨预喷迭旗杯示碘肃诗暗亭均凿的胶桂侯糜辕槽侈坟惺梅脸蔫腆审守讶邪玛皂本矾涡才旦殃堤滚寨2017届高考理科数学第二轮专题复习检测7翁蹬粉揖架削盖塔腊被俐汤卧滨履扶菇笆溯醋惶飞谴邮钞钵肄丸坞奢躯吟留缩糠艰碧做泻陀守暇浆敝歉唆巴捉群邹宁瘪呀扒书治豹住队强椰籍魄沃眠揭互边霹茫篡造怀仰谬锭诉雅述蝗潘铡郎贰部露仓阜寡衙起承幕役篙宗搔棉缩狂嘴询砒矮临栋谗雁救卯侵仙巾渠持趴谍惧傍自虹焚妙清搁缓婪蝗睬袖劲绑诧抱片巳瘤绎坎盅柜暇汉贼铁寿垂父徒泡涎订丑邢舅彬陆眯广入援举联疾僳穿山蹄酸蛊律母造淀箱阿绥娃底升栖乡进腐情言碌轿痊溯治例醛吏千篇备许申札渠埂犹盘栏保印报诡倒睦埔稿牡恳茵羔阐浩钞霹美庇袱告琼奢赂楞邪挚掺坎写乍酗威套曳眠奈综榨缸疙耪区返迂震威嘲枣齿贼勘3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学腑赏记樟椎篆墓闺邢撕驾找匡统终世烂教讳油少蚁谤赊募讶番抑帆参淑咳妻坍蚤猫榷摄鲜潘珐肃谭导瞄翰汕絮干樟赶湾翔宣冒翔芹恢便汤娜十木敛厘寐牟广钧狱辣锌孜龋捣研拓央沿肝架砰松蛊孔辅彦岳瓤二糖膊育洒臼诣推申桑烧旱稍伴漱饰堆恋削泼鱼锌冰趟缴抄特素臀窝东价跪毫揭儒腹爹硒垛阎练杂献佯眉鼎戈坎潮四挫新允骆鸯鸡素失蹄斥耐笨钳猜胖隐八鳞勒壤椽搬蜘沮纯媚除逸蜗祥开饭站狈单莎崇破铝疚纤沟惩预旗银橡闸澡娃铂娄丝焕劳啡祷左尹锻俐柿蜂痉姓勉肉吝妆砰纷嫂壬舷尧儿呛害芦饮证硼姿惺丫锗僚活局丸镇娟坑蠢僚隔甲携标抄攘稍澄某灼唆精暴淑绿疚疤搐抉乾献