实数所有知识点归纳和专项练习.pdf

1-/17第六章 实数回顾知识：1.判断题(1)0.01 是 0.1 的平方根.()(2)52的平方根为5.（）(3)0 和负数没有平方根.（）(4)因为的平方根是,所以=.（）1614116141（5）正数的平方根有两个，它们是互为相反数.（）2.选择题（1）下列各数中没有平方根的数是（）A.(2)3B.33C.a0D.（a2+1）(2)等于（）2aA.aB.aC.aD.以上答案都不对（3）如果 a(a0)的平方根是m，那么（）A.a2=mB.a=m2C.=mD.a=ma(4)若正方形的边长是 a,面积为 S，那么（）A.S 的平方根是 aB.a 是 S 的算术平方根C.a=D.S=Sa-2-/173.填空题（1）若 9x249=0,则 x=_.(2)若有意义，则 x 范围是_.12 x(3)已知x4+=0,那么 x=_,y=_.yx 2(4)如果 a0,那么=_,()2=_.2aa6.3 实数实数一一.无理数无理数 1.无理数的概念无限不循环小数叫做无理数说明：说明：有理数是指有限小数和无限循环小数，而无理数包括：（1）开方开不尽的数，如；（2）有特定意义的数，如，及含的数；（3）有一定结构的无5限小数，如，0.080080008；（4）无限不循环小数一个有理数 a 与一个无理数 b 进行四则运算时，ab，a-b，都是无理数，当a0 时，ab，都是无理数，当 a0 时，ab，都是有理数。abba,ba2.无理数的特征（1）无理数的小数部分位数无限（2）无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式3.小数的分类4.确定中的正数 x 的近似值的方法)0(2aax（1）确定正数 x 的整数部分。-3-/17根据平方的定义，把 x 夹在两个连续的正整数之间，确定其整数部分，例如：求中的正数 x 的整数部分。因为，即，所以，因此52x2235222232 x32 x小数部分为 2。（2）确定 x 的小数部分十分位上的数字。将这两个整数平方和的平均数与 a 比较，预测十分位上数字的取值范围，如两个整数 2 和 3 的平方和的平均数为所以 x 的十分位上的数字一定比 355.623222小，不妨设 x2.2。设误差为 k（k 必为一个纯小数，且 k 可能为负数），则 x2.2k。所以（2.2k）25，所以 4.844.4k k25，由于 k 是小数，所以 k2很小，把它舍去，所以 4.844.4k5，所以 k0.036，所以 x2.2k2.20.0362.236注意：注意：实际估算中，整数部分的数字容易估计，十分位上的数字可以采用试验的方法进行估计，即所以 4.8455.29。所以2222.14.41,2.24.84,2.35.29,所以，所以十分位上的数字为 2。2223.22.2 x3.22.2 x二二.平方根平方根1.算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即，ax 2那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，特别地，的算术平方根是 0。（2）算术平方根的表示方法：非负数 a 的算术平方根记作“”或“”，a2a读作“根号 a”，其中符号读作“二次根号”，a 叫做被开方数，2 叫做根指数，“”通常省略不写。例如：4216，16 的算术平方根是 4，即。416（3）算术平方根的性质：正数 a 的算术平方根为，0 的算术平方根是a-4-/170，即0，（3）负数没有算术平方根。0（4）算术平方根具有双重非负数：被开方数是非负数，即 a0，算术a平方根本身是非负数，即0。aa（5）理解算术平方根要注意的三点：00aaa中存在两个非负概念，即，算术平方根与平方根的相同点是它们的被开方数都必须是非负数，零的平方根与算术平方根都是零。不同点是：任何正实数的平方根都有两个，这两个平方根互为相反数，但是任何正实数的算术平方根只有一个，是正实数平方根中的正值。当二次方根被开方数是含有字母的代数式时，它是否有意义，则需看被开方数是否非负。2.平方根（1）平方根的概念：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即，那么这ax 2个数 x 就叫做 a 的平方根（也叫做二次根式）。（2）平方根的性质：一个正数 a 有两个平方根，一个是 a 的算术平方根“”，另一个是“”，它们互为相反数，合起来记作“”，读作“正，负根aaa号 a例如：5 的平方根是；的平方根是；负数没有平方根。53.开平方求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，其中 a 叫做被开平方。如：如：因为，所以25)5(2525说明：说明：由于开平方与平方互为逆运算，因此我们可以利用平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，也常用平方运算检验所求得的平方根是否正确，注意被开方数是非负数。-5-/174.平方根与算术平方根的区别与联系（1）区别：区别：定义不同；个数不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个；表示方法不同：正数 a 的平方根表示为，正数 a 的算术平方根表示为；取值范围不同：正数的算术平方根一定aa是正数，正数的平方根是一正、一负。（2）联系：联系：具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的正的那个；存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有；0 的平方根与算术平方根都是 0。5.两个重要的性质（1），即当时，当时，aa20aaa20aaa2（2）)0()(2aaa6、理解平方根要把握以下三点：（）由中可知 是一个非负数，因此在实数范围内，只有正数和102axa零才有平方根，负数没有平方根。（2）非零的两个数互为相反数时，它们的平方是同一个正数，因此一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。零的平方根是零。（3）平方与开平方互为逆运算，因此，可以用平方运算来求一个数的平方根，也可以用平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。三三.立方根立方根-6-/171、立方根的概念（1）.一般的，如果一个数 x 的立方等于 a，即，那么这个数就叫做 a 的立ax3方根（也叫三次方根）。（2）.立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0。（3.）立方根的表示方法：每个数都只有一个立方根，用符号“”表示，读作3a“三次根号 a”，其中 a 是被开方数，3 是根指数，要注意这里的根指数不能省略。（4）.两个互为相反数的立方根之间的关系：根据立方根的定义可知，若，3ax 则，因为，即，也就是说，求一个负数的立方根时，只3ax 33aa33aa要先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数即可，即三次根号内的负号可以移到根号外面。2、开立方求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。例如把 64 开立方，就是要求 64 的立方根，那么什么数的立方等于 64 呢，因为，所以 64 的立方根是 4，即。644346433、立方根与平方根的区别与联系（1）区别：（1）用根号表示平方根时，根指数是 2 可以省略，而用根号表示立方根时，根指数 3 不能省略。（2）平方根只有非负数才有，而立方根任何数都有，且每个数都只有一个立方根，如没有平方根，但有立方根。（3）正数的平方82根有两个，而正数的立方根只有一个，如 2 的平方根是，而立方根只有。232（2）.联系：（1）都与相应的乘方运算互为逆运算。（2）都可以归结为非负数-7-/17的非负方根来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可转化为正数的立方根来研究，即。（3）0 的立方根和平方根都是 0。33aa4.立方根中小数点的移动规律被开方数的小数点每移动三位，立方根的小数点就向相同方向移动一位。如：，则。11133133a1.1331.135.两个重要的性质（1），如33aa3272733（2），如aa)a(333388)8(3333四四.确定无理数近似值的方法（估算法）确定无理数近似值的方法（估算法）1.当被开方数在 1 至 1000 以内，可用乘方与开方为互逆运算来确定无理数的整数部分，然后根据所要求的误差大小确定小数部分。2.当被开方数是正的纯小数或比 1000 大时，利用方根与被开方数的小数点之间的规律，移动小数点的位置，将其转化到被开方数 1 至 1000 以内进行估算，即平方根中的被开方数的小数点向右（或向左）每移动 2n 位，其结果的小数点向右（或向左）移动 n 位，立方根中的被开方数的小数点向右（或向左）移动 3n 位，其结果的小数点向右（或向左）移动 n 位。五五.无理数大小比较的常见方法无理数大小比较的常见方法1.估算法：例如：比较与的大小，因为，所以，所以2310 21410313100-8-/17。2123102.求差法若，则，若，则。0baba 0baba 3.平方法把含有根号的两个无理数同时开方，根据平方后的大小进行比较，例如：62和的大小，因为，所以3324)62(227)33(233624.移动因式法当，时，若，则，因此可以把根号外的因式移到根号内。0a 0b ba ba 六、实数六、实数1：实数（1）实数的概念：有理数和无理数统称为实数。（2）实数的分类：按实数的性质符号分类：实数可分为正实数、零、负实数。按定义分类：实数可分为有理数和无理数。(3)无理数与有理数的区别与联系：区别：（a）无理数是无限不循环小数，而有理数是有限小数或无限循环小数。-9-/17（b）一切有理数都可以表示成分数。无理数不可以表示成分数。联系：（a）无理数和有理数都是实数。（b）无理数与有理数在运算中可以互相转化。2：实数的有关概念和性质（1）有关概念 实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数的相反数、绝对值、倒数的意义是相同的，即有理数中的概念在实数范围内仍适用。相反数：a 与a 表示任意一对相反数，如 与互为相反数。55倒数：如果 a 表示一个非零数，那么 a 与互为倒数（a0），如与互a1717为倒数。（2）有关性质 与 b 互为相反数a+b=0 与 b 互为倒数ab=10a 互为相反数的两个数的绝对值相等，即aa正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，零没有倒数3：实数和数轴上的点的一一对应关系-10/17数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示；反过来，每一个实数都可以在数轴上找到表示它的点。4：实数大小的比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍适用。在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小。可根据有理数大小的比较法则和不等式的性质等方法比较实数的大小。对于二次根式的大小的比较，可根据前面老师的讲座中所介绍的方法如：作差法、作商法、平方法、倒数法等进行比较。5：实数的运算法则和运算律有理数的运算法则和运算律同样适用于实数，包括运算顺序。实数有加、减、乘、除、乘方、开方等运算，混合运算的顺序是先乘方、开方，再乘除最后加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号要先算括号里的。6：无理数的乘法、除法法则及计算（1），)0b,0a(abba)0b,0a(baab（2），)0b,0a(baba)0b,0a(baba（3）最简无理数必须同时满足下列条件：被开方数的因数是整数；被开方数中不含能开得尽方的因数；-11-/17分母中不含根号。注意：无理数的计算结果必须是最简无理数，如，3212 33317：实数中的非负数的四种形式及性质（1）形式：；中，。0a 0a2)0a(0aa0a（2）性质：非负数有最小值零；有限个非负数之和仍然是非负数；若几个非负数之和等于 0，则每个非负数都等于 0。8：实数中的无理数的常见类型（1）所有开不尽的方根，如。2（2）圆周率 及含有 的数。如 3。1（3）看似循环，但实质上不循环的无限小数。如：0.12345678910111213，0.1010010001。注意：带根号的数不一定是无理数，如是有理数；不带根号的数也可能是无4理数，如 等。9：分母有理化将分母中的二次根式化去，叫做分母有理化。两个含有二次根式的代数式相乘。如果它们的积不含有二次根式。我们就说这两个代数式互为有理化因式。如与a，与互为有理化因式，分母有理化时，采用分子、分母同乘以分母a63 63 的有理化因式的方法，例如，又如，36333232363)63)(63(63631一般的，与互为有理化因式与互为有理化因式，ybxaybxaba ba -12-/17与互为有理化因式。ba ba 注意：（1）与不是互为有理化因式。ba ba（2）有理化因式不唯一，如与互为有理化因式，与ba ba ba 也互为有理化因式。ab 七七.解题方法指导：解题方法指导：（一）关于平方根与算术平方根常用的解题方法有：1.配方法：在含有字母的代数式或比较复杂的数字式进行开平方时，适当添项、拆项后，使原来多项式中一部分配成完全平方式，使问题得以简化。2.特殊值法：对某些数字问题，如果先对其特殊情况进行分析，往往可以发现解决的方法，在关于平方根的题目中尤其是对含有未知数的代数式，根据题设条件取一些特殊值，从而求解常取的特殊值有 0、1 等值。3.运用二次方根被开方数与算术平方根的非负性（）若且，则可得出1000aaa（2）若有限个非负数的和为零，则这些非负数均为零。（二）关于立方根常用的解题方法 1.利用立方根本身的性质求解。2.配方化简：将要开立方的代数式配成立方形式，便可化简求解。3.特殊值法：对含有未知数的代数式开立方的题目，有时可用到取特殊值的方法，如将未知数取 0 或 1 等等来进行分析、比较从而求解。4.利用开立方运算与立方运算互为逆运算的关系进行解题。-13-/17（三）关于实数常用的解题方法 1.利用非负数的概念及性质来解题：（1）几类常见的非负数有：一个实数的偶次幂、实数的绝对值、算术根、数轴上原点和原点右边的点所表示的数。（2）非负数的性质：（a）有限个非负数的和与积仍是非负数。（b）若有限个非负数的和为零，则每一个加数都必须是零。（c）最小的非负数是零。（d）没有最大的非负数。（e）非负数大于一切负数。2.对一个数是有理数的证明：常证这个数能表示成几个有理数的和、差、积、商形式。3.要证一个数是无理数常用反证法，即假设这个数是有理数，再推出矛盾。4.利用逆向思维的方式：从要求或要证的结果入手，溯源求解，其中可采用各种转换方法，如等量代换、配方法、参数法等。八、知识拓展八、知识拓展 1.n 次方根的概念：如果（是大于 的整数），那么 叫做 的 次方根。xanxann1当 为奇数时，叫做 的奇次方根；nxa当 为偶数时，叫做 的偶次方根。nxa平方根与立方根是最基本的偶次方根与奇次方根。-14-/17 2.n 次方根的性质：（1）正数的偶次方根有两个，它们互为相反数。（2）负数没有偶次方根。（3）正数的奇次方根是一个正数。（4）负数的奇次方根是一个负数。（5）零的 n 次方根是零。实数专题训练实数专题训练一、填空题：、2 的倒数是。、4 的平方根是。、27 的立方根是。、32 的绝对值是。、2004 年我国外汇储备 3275.34 亿美元，用科学记数法表示为亿美元。、比较大小：1 2 1 3。、近似数 0.020 精确到位，它有个有效数字。、若 n 为自然数那么(1)2n(1)2n1。、若实数 a、b 满足|a2|(b1 2)20，则 ab。10、在数轴上表示 a 的点到原点的距离为 3，则 a3。11、已知一个矩形的长为 3cm，宽为 2cm，试估算它的对角线长为。（结果保留两个有效数字）12、罗马数字共有 7 个：I（表示 1），V（表示 5），X（表示 10），L（表示 50），C（表示 100），D（表示 500），M（表示 1000），这些数字不论位置怎样变化，所表示的数目都是不变的，其计数方法是用“累积符号”和“前减后加”的原则来计数的：如 IX1019，VI516，CD500100400，则 XL，XI。二、选择题：（每题 4 分共 24 分）、下列各数中是负数的是（）A、(3)B、(3)2C、(2)3D、|2|、在，17，(3)2，3.14，2，sin30，0 各数中，无理数有（）A、2 个B、3 个C、4 个D、5 个、绝对值大于 1 小于 4 的整数的和是（）A、0B、5C、5D、10、下列命题中正确的个数有（）实数不是有理数就是无理数 aaa121 的平方根是 11在实数范围内，非负数一定是正数两个无理数之和一定是无理数A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个、天安门广场的面积约为 44 万平方米，请你估计一下，它的百万之一大约相当于（-15-/17）A、教室地面的面积B、黑板面的面积C、课桌面的面积D、铅笔盒面的面积、已知|x|3，|7，且 x 0，则 x 的值等于（）yyyA、10B、4C、10D、4三、计算：（每题 6 分，共 24 分）、21 2(5)1 5 、(13 4 7 8 712)(13 4)、(11 2)3322、32 3（精确到 0.01）四、解答题：（每题 8 分，共 40 分）、把下列各数填入相应的大括号里。，2，1 2，2，2.3 ，30%，4，3 8（1）整 数 集：（2）有理数集：（3）无理数集：、在数轴上表示下列各数：2 的相反数，绝对值是1 2 的数，11 4 的倒数。0 1 2、已知：x 是3的相反数，y 是2 的绝对值，求 2x2y2 的值。-16-/17、某人骑摩托车从家里出发，若规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天行驶记录如下：（单位：km）7，4，8，3，10，3，6，问最后一次行驶结束离家里有多远？若每千米耗油 0.28 升，则一天共耗油多少升？、已知实数 a、b 在数轴上的位置如图所示：ba0试化简：(a b)2ab五、（8 分）若(2x3)2和y 2互为相反数，求 xy 的值。六、（8 分）一次水灾中，大约有 20 万人的生活受到影响，灾情持续一个月，请推断：大约需要组织多少帐篷？多少千克粮食？-17-/17七、（10 分）若正数 a 的倒数等于其本身，负数 b 的绝对值等于 3，且 ca，c236，求代数式 2(a2b2)5c 的值。