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第 1 页 共 13 页导数题型分类导数题型分类一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析题型一：导数的定义及计算1 1若函数处的导数为 A，求。axxfy在ttaftaft54lim0解：解：=ttaftaft54lim0Attaftaft45lim02。2333xyxx求在点处的导数3若函数满足，则的值 0 ()f x321()(1),3f xxfxx(1)f 4设曲线在点处的切线与直线垂直，则 axye(0,1)210 xy a 5利用导数求和：Sn=1+2x+3x2+nxn-1,(x 不等于 0 且不等于 1）=题型二：利用导数研究函数的极值、最值。1 32()32f xxx在区间1,1上的最大值是 2 2已知函数2)()(2 xcxxxfy、处有极大值，则常数 c 6 ；3函数331xxy 有极小值 1 ,极大值 3 4已知函数f(x)的导函数的图象如右图所示，()fx那么函数f(x)的图象最有可能的是()5.已知函数有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围是（32()(6)1f xxaxax）A.-1a2 B.a-3 或 a6 C.-3a6 D.a-1 或 a2题型三：利用导数几何意义及求切线方程1曲线34yxx在点1,3 处的切线方程是 2yx yxO12-2AyxO12-2ByxO12-2CyxO 12-2DyxO12-1()fx第 2 页 共 13 页2若曲线xxxf 4)(在 P 点处的切线平行于直线03 yx，则 P 点的坐标为 （1，0）3若曲线4yx的一条切线l与直线480 xy垂直，则l的方程为 430 xy 4求下列直线的方程：（注意解的个数）（1）曲线123 xxy在 P(-1,1)处的切线；（2）曲线2xy 过点 P(3,5)的切线；解：（1）123|yk 23 1)1,1(1x/2/23 、xxyxxyP 所以切线方程为02 11 yxxy、（2）显然点 P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00yxA，则200 xy 又函数的导数为xy2/，所以过),(00yxA点的切线的斜率为0/2|0 xykxx ，又切线过),(00yxA、P(3,5)点，所以有352000 xyx，由联立方程组得，255 110000yxyx、，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201 xk；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202 xk；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12)5(1025)1(21 xyxyxyxy、6设 P 为曲线 C：yx22x3 上的点，且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为0，4则点 P 横坐标的取值范围为()A1，B1,0 C0,1 D，112127.下列函数中，在（0，+）上为增函数的是（）A.y=sinx B.C.D.y=ln(1+x)xxyxe3yxx8.设 f(x),g(x)是 R 上的可导函数，分别为 f(x),g(x)的导数，且(),()fx g x，则当 axf(b)g(x)B.f(x)g(x)f(b)g(b)C.f(x)g(a)f(a)g(x)D.f(x)g(x)f(b)g(a)10.（本题 12 分）已知函数，求 f(x)的单调增区间()1xf xeax题型四：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1.已知函数在区间（，1）上有最小值，则函数在区间2()2f xxaxa()()f xg xx（1，+）上一定（）第 3 页 共 13 页A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数2已知函数在处取得极值，求过点 A(0，16)作曲线 y=f(x)的切32()3f xaxbxx1x 线，求该切线的方程.3已知函数()lnf xxx（1）求 f(x)的最小值（2）若对所有 x1 都有 f(x)ax-1,求 a 的取值范围.4 已知函数 其中 a 为大于零的常数.21()ln,2f xxxa（1）当 a=1 时，求函数 f(x)的单调区间和极值（2）当 时，不等式 恒成立，求 a 的取值范围.1,2x()2f x 5已知函数)1(,1()(,)(23fPxfycbxaxxxf上的点过曲线 的切线方程为y=3x+1 （）若函数2)xxf在处有极值，求)(xf的表达式；（）在（）的条件下，求函数)(xfy 在3，1上的最大值；（）若函数)(xfy 在区间2，1上单调递增，求实数 b 的取值范围 解：（1）由.23)(,)(223baxxxfcbxaxxxf求导数得过)1(,1()(fPxfy上点的切线方程为：).1)(23()1(),1)(1()1(xbacbayxffy即 而过.13)1(,1)(xyfPxfy的切线方程为上故3023323cabacaba即 124,0)2(,2)(bafxxfy故时有极值在 由得 a=2，b=4，c=5 .542)(23xxxxf 第 4 页 共 13 页（2）).2)(23(443)(2xxxxxf当;0)(,322;0)(,23xfxxfx时当时13)2()(.0)(,132fxfxfx极大时当 又)(,4)1(xff在3，1上最大值是 13。（3）y=f(x)在2，1上单调递增，又,23)(2baxxxf由知 2a+b=0。依题意)(xf 在2，1上恒有)(xf 0，即.032bbxx 当6,03)1()(,16minbbbfxfbx时；当bbbfxfbx,0212)2()(,26min时；当.60,01212)(,1622minbbbxfb则时 综上所述，参数 b 的取值范围是),0 6已知三次函数32()f xxaxbxc在1x 和1x 时取极值，且(2)4f (1)求函数()yf x的表达式；(2)求函数()yf x的单调区间和极值；(3)若函数()()4(0)g xf xmm m在区间3,mn上的值域为 4,16，试求m、n应满足的条件解：(1)2()32fxxaxb，由题意得，1,1是2320 xaxb的两个根，解得，0,3ab 再由(2)4f 可得2c 3()32f xxx(2)2()333(1)(1)fxxxx，当1x 时，()0fx；当1x 时，()0fx；当11x 时，()0fx；当1x 时，()0fx；当1x 时，()0fx函数()f x在区间(,1 上是增函数；第 5 页 共 13 页在区间 1,、上是减函数；在区间1,)上是增函数函数()f x的极大值是(1)0f，极小值是(1)4f(3)函数()g x的图象是由()f x的图象向右平移m个单位，向上平移 4m个单位得到的，所以，函数()f x在区间 3,nm上的值域为 44,164 mm（0m）而(3)20f ，4420m ，即4m 于是，函数()f x在区间 3,4n上的值域为 20,0令()0f x 得1x 或2x 由()f x的单调性知，142n，即36n综上所述，m、n应满足的条件是：4m，且36n7已知函数，()lnf xxax1(),(R).ag xax（）设函数，求函数的单调区间；()()()h xf xg x()h x()若在上存在一点，使得成立，求的取值范围 1,e0 x0()f x0()g xa7设函数()()()f xx xa xb（1）若()f x的图象与直线580 xy相切，切点横坐标为，且()f x在1x 处取极值，求实数,a b 的值；（2）当 b=1 时，试证明：不论 a 取何实数，函数()f x总有两个不同的极值点 解：（1）2()32().fxxab xab 由题意(2)5,(1)0ff，代入上式，解之得：a=1，b=1（2）当 b=1 时，()0fx、232(1)0.xaxa因,0)1(42aa故方程有两个不同实根21,xx不妨设21xx，由)(3)(21xxxxxf可判断)(xf的符号如下：当时，1xx)(xf；当时，21xxx)(xf；当时，2xx)(xf因此1x是极大值点，2x是极小值点，当 b=1 时，不论 a 取何实数，函数()f x总有两个不同第 6 页 共 13 页的极值点。题型五：利用导数研究函数的图象1如右图：是 f（x）的导函数，)(/xf的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（D ）（A）（B）（C）（D）2函数、14313 xxy(A )xyo4-42 4-42-2-2xyo4-42 4-42-2-2xyy4o-42 4-42-2-26666yx-4-2o42243方程、)2,0(076223 xx (B )A、0 B、1 C、2 D、3题型六：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围1设函数.10,3231)(223abxaaxxxf （1）求函数)(xf的单调区间、极值.（2）若当2,1aax时，恒有axf|)(|，试确定 a 的取值范围.解：（1）22()43fxxaxa=(3)()xa xa，令()0fx得12,3xa xa 列表如下：x（-，a）a（a，3a）3a（3a，+）()fx-0+0-()f xA极小A极大A第 7 页 共 13 页 ()f x在（a，3a）上单调递增，在（-，a）和（3a，+）上单调递减xa时，34()3fxba极小，3xa时，()fxb极小 （2）22()43fxxaxa 01a，对称轴21xaa，()fx在a+1，a+2上单调递减 22(1)4(1)321Maxfaa aaa，22min(2)4(2)344faa aaa 依题|()|fxa|Maxfa，min|fa 即|21|,|44|aaaa解得415a，又01a a 的取值范围是4,1)52已知函数 f（x）x3ax2bxc 在 x23与 x1 时都取得极值（1）求 a、b 的值与函数 f（x）的单调区间（2）若对 x1，2，不等式 f（x）c2 恒成立，求 c 的取值范围。解：（1）f（x）x3ax2bxc，f（x）3x22axb由 f（23）124ab093，f（1）32ab0 得 a12，b2f（x）3x2x2（3x2）（x1），函数 f（x）的单调区间如下表：x（，23）23（23，1）1（1，）f（x）00f（x）极大值极小值所以函数 f（x）的递增区间是（，23）与（1，），递减区间是（23，1）（2）f（x）x312x22xc，x1，2，当 x23时，f（x）2227c为极大值，而 f（2）2c，则 f（2）2c 为最大值。要使 f（x）c2（x1，2）恒成立，只需 c2f（2）2c，解得 c1 或 c2第 8 页 共 13 页题型七：利用导数研究方程的根1已知平面向量a=(3,1).b=(21,23).（1）若存在不同时为零的实数 k 和 t，使x=a+(t23)b，y=-ka+tb，xy，试求函数关系式 k=f(t)；(2)据1)的结论，讨论关于 t 的方程 f(t)k=0 的解的情况.解：(1)xy，x y =0 即a+(t2-3)b(-ka+tb)=0.整理后得-k2a+t-k(t2-3)a b+(t2-3)2b=0 a b=0，2a=4，2b=1，上式化为-4k+t(t2-3)=0，即 k=41t(t2-3)(2)讨论方程41t(t2-3)-k=0 的解的情况，可以看作曲线 f(t)=41t(t2-3)与直线 y=k 的交点个数.于是 f(t)=43(t2-1)=43(t+1)(t-1).令 f(t)=0,解得 t1=-1,t2=1.当 t 变化时，f(t)、f(t)的变化情况如下表：t(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)f(t)+0-0+F(t)极大值极小值当 t=1 时，f(t)有极大值，f(t)极大值=21.当 t=1 时，f(t)有极小值，f(t)极小值=21函数 f(t)=41t(t2-3)的图象如图 1321 所示，可观察出：(1)当 k21或 k21时,方程 f(t)k=0 有且只有一解；(2)当 k=21或 k=21时,方程 f(t)k=0 有两解；第 9 页 共 13 页(3)当21k21时,方程 f(t)k=0 有三解.2已知函数的单调减区间为（0，4）)(,42)1(3)(223xfkxkkxxf若 （I）求的值；k （II）若对任意的总有实数解，求实数的取)(52,112tfaxxxt的方程关于a值范围。解：（I）又4 分xkkxxf)1(63)(21,0)4(kf （II）tttf123)(20)(10;0)(01tfttft时时且,3)1(,5)1(ff5)(tf8258522aaxx12 分81558258aa解得题型八：导数与不等式的综合1设axxxfa3)(,0 函数在),1 上是单调函数.（1）求实数a的取值范围；（2）设0 x1，)(xf1，且00)(xxff，求证：00)(xxf.解：（1）,3)(2axxfy若)(xf在,1上是单调递减函数，则须,3,02xay即这样的实数 a 不存在.故)(xf在,1上不可能是单调递减函数.若)(xf在,1上是单调递增函数，则a23x，由于33,12xx故.从而 0a3.（2）方法 1、可知)(xf在,1上只能为单调增函数.若 1)(00 xfx，则,)()(000矛盾xxffxf 若 1)(),()(,)(000000 xfxxfxffxxf即则矛盾，故只有00)(xxf成立.方法 2：设00)(,)(xufuxf则，,03030 xauuuaxx两式相减得00330)()(xuuxaux 020200,0)1)(xauuxxux1,u1，30,32020auuxx又，012020auuxx第 10 页 共 13 页2已知a为实数，函数23()()()2f xxxa（1）若函数()f x的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围（2）若(1)0f，（）求函数()f x的单调区间（）证明对任意的12(1,0)xx 、，不等式125|()()|16f xf x恒成立解：3233()22f xxaxxa，23()322fxxax函数()f x的图象有与x轴平行的切线，()0fx有实数解 2344 302a ，292a，所以a的取值范围是332222、(1)0f，33202a，94a，2931()33()(1)222fxxxxx由()0,1fxx 或12x ；由1()0,12fxx ()f x的单调递增区间是1(,1),(,)2；单调减区间为1(1,)2 易知()f x的最大值为251)8f，()f x的极小值为149()216f，又27(0)8f()f x在 10、上的最大值278M，最小值4916m 对任意12,(1,0)x x ，恒有1227495|()()|81616f xf xMm3已知函数xaxxf ln)(1)当时，判断在定义域上的单调性;0a)(xf(2)若在上的最小值是，求的值;)(xf,1 e23a(3)设，若在上恒成立，求的取值范围.axxg ln)(2)(xxg,0(ea题型九：导数在实际中的应用1请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六第 11 页 共 13 页棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心1o的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设 OO1 为xm，则41 x由题设可得正六棱锥底面边长为：22228)1(3xxx，（单位：m）故底面正六边形的面积为：(43622)28xx=)28(2332xx，（单位：2m）帐篷的体积为：)(V228233xxx 、1)1(31x)1216(233xx（单位：3m）求导得)312(23V2xx）（。令0V）（x，解得2x（不合题意，舍去），2x，当21 x时，0V）（x，）（xV为增函数；当42 x时，0V）（x，）（xV为减函数。当2x时，）（xV最大。答：当 OO1 为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为3163m。2统计表明某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120).12800080yxxx已知甲、乙两地相距 100 千米。（I）当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：（I）当40 x 时，汽车从甲地到乙地行驶了1002.540小时，要耗没313(40408)2.517.512800080（升）。（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100 x小时，设耗油量为()h x升，依题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804h xxxxxxx第 12 页 共 13 页332280080()[phone] xxh xxxx令()0,h x 得80.x 当(0,80)x时，()0,()h xh x是减函数；当(80,120)x时，()0,()h xh x是增函数。当80 x 时，()h x取到极小值(80)11.25.h因为()h x在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油 17.5 升。当汽车以 80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升。题型十：导数与向量的结合1设平面向量3113(),().2222ab，若存在不同时为零的两个实数 s、t 及实数 k，使，且yxbtasybktax,)(2（1）求函数关系式()Sf t；（2）若函数()Sf t在，1上是单调函数，求 k 的取值范围。解：（1）).23,21(),21,23(ba10aba b，2222223,0000 xy xyatk bsatbsat tk btstsk a bstktsf ttkt 又，得（）（），即（）-（）。（），故（）。（2）上是单调函数，）在（且）（132tfkttf则在,1上有00)(）（或tftf由3)3(3030)(min222ktktkkttf；由223030)(tkkttf。第 13 页 共 13 页因为在 t,1上23t是增函数，所以不存在 k，使23tk 在,1上恒成立。故 k 的取值范围是3k。