导数与恒成立、能成立问题及课后练习(含答案).pdf

1导数与恒成立、能成立问题专题一、基础理论回顾1、恒成立问题的转化：恒成立；af x maxaf x minaf xaf x恒成立2、能成立问题的转化：能成立；af x minaf x maxaf xaf x能成立3、恰成立问题的转化：在 M 上恰成立的解集为 M af x af x Raf xMaf xC M 在上恒成立在上恒成立 另一转化方法：若在 D 上恰成立，等价于在 D 上的最小值，若 AxfDx)(,)(xfAxf)(min 在 D 上恰成立，则等价于在 D 上的最大值.,DxBxf)()(xfBxf)(max4、设函数、，对任意的，存在，使得，则 xf xgbax,1dcx,2 21xgxf xgxfminmin5、设函数、，对任意的，存在，使得，则 xf xgbax,1dcx,2 21xgxf xgxfmaxmax6、设函数、，存在，存在，使得，则 xf xgbax,1dcx,2 21xgxf xgxfminmax7、设函数、，存在，存在，使得，则 xf xgbax,1dcx,2 21xgxf xgxfmaxmin8、若不等式在区间 D 上恒成立，等价于在区间 D 上函数和图象在函数图 f xg x yf x yg x象上方；9、若不等式在区间 D 上恒成立，等价于在区间 D 上函数和图象在函数图 f xg x yf x yg x象下方；2二、经典题型解析题型一、简单型题型一、简单型例例 1 1、已知函数，其中，12)(2axxxfxaxg)(0a0 x 1）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（构造新函数）2,1 x)()(xgxfa 2）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（转化）4,2,2,1 21xx)()(21xgxfa简解：（1）由成立，只需满足的最小值大于即12012232xxxaxaaxx12)(23xxxxa可对求导，故在是增函数，12)(23xxxx0)12(12)(2224xxxx)(x2,1 x，所以的取值范围是 32)1()(minxa320 a例例 2 2、设函数，对任意，都有在恒成立，求实数的范围bxxaxh )(2,21a10)(xh 1,41xb分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数以本题为例，实质还是通过函数求最值解决方法 1：化归最值，；10)(10)(maxxhxh方法 2：变量分离，或；)(10 xxabxbxa)10(2方法 3：变更主元（新函数），0101)(bxaxa2,21a简解：方法 1:对求导，（单调函数）bxxaxh)(22)(1)(xaxaxxaxh由此可知，在上的最大值为与中的较大者)(xh 1,41)41(h)1(h，对于任意，得的取值范围是ababbabahh944391011041410)1(10)41(2,21ab47b例例 3 3、已知两函数，对任意，存在，使得，2)(xxfmxgx21)(2,01x 2,12x 21)(xgxf 3则实数 m 的取值范围为 答案：41m题型二、更换主元和换元法题型二、更换主元和换元法例例 1 1、已知函数是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数，()ln()(xf xea a为常数）R()sing xf xx1,1()求的值；()若上恒成立，求 的取值范围；a2()11,1g xttx 在t()分析：在不等式中出现了两个字母：及,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显t然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于等于 0 恒成立的问题。()略,1 解：由()知：，在上单调递减，在()f xx()sing xxx()g x11，()cos0g xxcosx 上恒成立，只需，（其中1 1，1 ，max()(1)sin1g xg 2sin11tt2(1)sin1 10tt）恒成立，由上述结论：可令,则，1 2(1)sin1 10(1ftt ）2t101sin1 10tt ，而恒成立，。21sin10ttt 2sin10tt 1t 例例 2 2、已知二次函数对恒有，求的取值范围。1)(2xaxxf 2,0 x0)(xfa解：对恒有即变形为 2,0 x0)(xf012 xax)1(2xax 当时对任意的都满足只须考虑的情况0 xa0)(xf0 x 即 要满足题意只要保证比右边的最大值大就行。2)1(xxa211xxaa现求在上的最大值。令 （）211xx2,0 x211txt41)21()(22ttttg21t 所以43)21()(max gtg43a又是二次函数所以且1)(2xaxxf0a43a0a例例 3 3、对于满足 0a4 的所有实数 a 求使不等式都成立的 x 的取值范围 342axaxx答案：或1x3x题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于x()()f xg amin()()g af x取值范围内的任一个数都有恒成立，则.x()()f xg amax()()g af x 4例例 1 1、当时，不等式恒成立，则的取值范围是 .1,2x240 xmxm解析:当时，由得.(1,2)x240 xmx24xmx 5m 例例 2 2、已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数在区间()ln()xf xeaaR()cosg xxx上是减函数.2,33（）求的值与的范围；a（）若对（）中的任意实数都有在上恒成立，求实数 的取值范围.()1g xt2,33t（）若，试讨论关于的方程的根的个数.0m x2ln2()xxexmf x解：（）、（）略（）由题意知，函数在区间上是减函数.()cosg xxx2,33在上恒成立max1()(),332g xg()1g xt2,3311,32t 132t(1)1,.32t 题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）例例 1 1、若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是_xR|xaxa解析：|yx|yxyaxyaxxyO对,不等式恒成立、则由一次函数性质及图像知，即。xR|xax11a 11a 例例 2 2、不等式在内恒成立，求实数 a 的取值范围。)4(xxax3,0 x 5解：画出两个凼数和在上的图象axy)4(xxy3,0 x如图xy03axy 知当时，33a3x3y当时总有所以33a3,0 x)4(xxax33a|yx|yxyaxyaxxyO例例 4 4、已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .36,2(),63,2xxyf xx x ()2f xxmm解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，由于不等式2yxm()yf x恒成立，所以函数的图象应总在函数的图象下方，因此，当时，()2f xxm2yxm()yf x2x 所以故的取值范围是40,ym 4,m m4,.题型五、其它（最值）处理方法题型五、其它（最值）处理方法若在区间 D 上存在实数使不等式成立,则等价于在区间 D 上；x f xA maxf xA若在区间 D 上存在实数使不等式成立,则等价于在区间 D 上的.x f xB minf xB利用不等式性质Oxy()yf x2yxm2 61 1、存在实数，使得不等式有解，则实数的取值范围为_。x2313xxaaa解：设，由有解，31f xxx 23f xaa 2min3aaf x又，解得。31314xxxx234aa41aa 或2 2、若关于的不等式恒成立，试求 a 的范围xaxx32解：由题意知只须 a 比的最小值相同或比其最小值小即可，得32xxmin)32(xxa由 所以 5)3(232xxxx5a利用分类讨论1 1、已知函数在区间-1，2 上都不小于 2，求 a 的值。422)(axxxf解：由函数的对称轴为 x=a422)(axxxf所以必须考察 a 与-1，2 的大小，显然要进行三种分类讨论1）当 a2 时 f(x)在-1，2上是减函数此时=f(2)=4-4a+4min)(xf2即 a 结合 a2，所以 a2232）当 a 时 f(x)在-1，2上是增函数，此时 f(-1)=1+2a+412=f(-1)=1+2a+4结合 a 即 a min)(xf21233）当-1a2 时 =f(a)=min)(xf24222 ax即 a或 a 所以2222 a综上 1，2，3 满足条件的 a 的范围为：a或 a232利用导数迂回处理1 1、已知 若当时在0，1恒成立，求实数 t 的取)1lg(21)(xxf)2lg()(txxg 1,0 x)()(xgxf值范围解：在0，1 上恒成立，即在0，1上恒成立)()(xgxf021txx即在0，1上的最大值小于或等于 0021txx令所以txxxF21)(，又所121412121)(xxxxF 1,0 x以即在0，1上单调递减0)(xF)(xF 7所以，即 得 )0(max)(FxF01)0()(tFxF1t2 2、已知函数存在单调递减区间，求的取值范围 21ln202f xxaxx aa解：因为函数存在单调递减区间，所以 f x 212120axxfxaxxx 有解.即能成立,设.0,2120,axxx 212u xxx由得,.于是,2212111u xxxx min1ux 1a由题设,所以 a 的取值范围是0a,00,13 3、已知函数3()(ln),().3af xxxm g xxx（）当时，求的单调区间；2m ()f x（）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.32m()()g xf xa解：（）略（）当时，不等式即恒成立.由于，32m()()g xf x33(ln)32axxxx0 x，亦即，所以.令，则，231ln32axx 21ln32axx213(ln)2xax()h x 213(ln)2xx36ln()xh xx由得.且当时，；当时，即在上单调递增，在()0h x1x 01x()0h x1x()0h x()h x(0,1)上单调递减，所以在处取得极大值，也就是函数在定义域上的最大值.因此要(1,)()h x1x 3(1)2h()h x使恒成立，需要，所以的取值范围为.213(ln)2xax32a a3,2注：恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题型，往往与函数的单调性、极值、最值等有关。8小结：恒成立与有解的区别：小结：恒成立与有解的区别：不等式对时恒成立，。即的上界小于或等于；f xMxImax()fxMxI f xM不等式对时有解，。或的下界小于或等于；f xMxImin()fxMxI f xM不等式对时恒成立，。即的下界大于或等于；f xMxImin()fxMxI f xM不等式对时有解，.。或的上界大于或等于；f xMxImax()fxMxI f xM 9三、恒成立、能成立问题专题练习恒成立、能成立问题专题练习1、已知两函数，。2728f xxxc 322440g xxxx（1）对任意，都有)成立，求实数 的取值范围；3,3x f xg xc（2）存在，使成立，求实数 的取值范围；3,3x f xg xc（3）对任意，都有，求实数 的取值范围；12,3,3xx 12f xg xc（4）存在，都有，求实数 的取值范围；12,3,3xx 12f xg xc2、设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为1a ,2 xaa2,ya aloglog3aaxya（）（A）（B）（C）（D）2|1aa|2a a 3|2aa2,33、若任意满足的实数，不等式恒成立，则实数的最大值是 _.05030 xyxyy,x y222()()a xyxya4、不等式有解，则的取值范围是 2sin4sin10 xxa a5、不等式在内恒成立，求实数 a 的取值范围。4axxx0,3x6、设函数.3221()23(01,)3f xxaxa xbabR （）求函数的单调区间和极值；f x （）若对任意的不等式成立，求 a 的取值范围。,2,1aax fxa7、已知 A、B、C 是直线上的三点，向量，满足：.OA OB OC 0OC1xlnOB1f2yOA（1）求函数 yf(x)的表达式；10（2）若 x0，证明：f(x)；2xx2（3）若不等式时，及都恒成立，求实数 m 的取值范围 3bm2mxfx212221,1x1,1b8、设，且（e 为自然对数的底数）xln2xqpxxf 2epqeef(I)求 p 与 q 的关系；(II)若在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围；xf(III)设，若在上至少存在一点，使得成立,求实数 p 的取值范围.xe2xge,10 x 00 xgxf 11课后作业答案：课后作业答案：1、解析：（1）设，问题转化为时，恒成立，故。322312h xg xf xxxxc3,3x 0h x min0hx 令，得或。由导数知识，可知在单调递增，在单调 266126120h xxxxx1x 2 h x3,11,2递减，在单调递增，且，2,3 345hc 17h xhc极大值 220h xhc极小值 39hc，由，得。min345hxhc450c 45c（2）据题意：存在，使成立，即为：在有解，故，3,3x f xg x 0h xg xf x3,3x max0hx 由（1）知，于是得。max70hxc7c （3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意，都有成12,3,3xx 12f xg x立，不等式的左右两端函数的自变量不同，的取值在上具有任意性，要使不等式恒成立的充要条1x2x3,3件是：。，maxmin()(),3,3fxgx x 27228,3,3f xxcx max3147f xfc，在区间上只有一个解。26840gxxx2 3102xx 0gx3,32x，即.min248g xg 14748c 195c（4）存在，都有，等价于，由(3)得12,3,3xx 12f xg x min1max2fxgx，min1228fxfc max23102gxg28102130cc 点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。2、B。解析：由方程可得，对于任意的，可得，依题意loglog3aaxy3ayx,2 xaa2322aaax得。22222aaaaa3、答案：。解析：由不等式可得，由线性规划可得。2513222()()a xyxy21axyyx 312yx4、解：原不等式有解有解，而，所以22sin4sin1sin231sin1axxxx 2minsin232x。2a 125、解：画出两个凼数和在yax4yxx0,3x上的图象如图知当时，3x 3y 33a 当，时总有所以33a 0,3x4axxx33a 6、解：（）（1 分）2234)(aaxxxf令得的单调递增区间为（a,3a）,0)(xf)(xf令得的单调递减区间为（，a）和（3a，+）（4 分）,0)(xf)(xf当 x=a 时，极小值=)(xf;433ba 当 x=3a 时，极小值=b.（6 分）)(xf （）由|a，得ax2+4ax3a2a.（7 分）)(xf 0a2a.上是减函数.（9 分）2,134)(22aaaaxxxf在.44)2()(.12)1()(minmaxaafxfaafxf于是，对任意，不等式恒成立，等价于2,1aax.154.12,44aaaaa解得又,10 a.154 a7、解：(1)y2f/(1)ln(x1)0，y2f/(1)ln(x1)OA OB OC OA OB OC 由于 A、B、C 三点共线即y2f/(1)ln(x1)12 分yf(x)ln(x1)12f/(1)f/(x)，得 f/(1)，故 f(x)ln(x1)4 分1x112（2）令 g(x)f(x)，由 g/(x)2xx21x12(x2)2x(x2)2x2(x1)(x2)2xy03axy 13 x0，g/(x)0，g(x)在(0，)上是增函数6 分故 g(x)g(0)0 即 f(x)8 分2xx2（3）原不等式等价于x2f(x2)m22bm312令 h(x)x2f(x2)x2ln(1x2)，由 h/(x)x10 分12122x1x2x3x1x2 当 x1，1时，h(x)max0，m22bm30令 Q(b)m22bm3，则 得 m3 或 m312 分Q(1)m22m3 0Q(1)m22m3 0)8、解：(I)而，所以 12ln20qpf epeeqepqeeee10eepq(II)由(I)知，4 分 2lnpf xpxxx 22222ppxxpfxpxxx令，要使在其定义域(0,+)内为单调函数，只需 h(x)在(0,+)内满足：h(x)22h xpxxp f x0 或 h(x)0 恒成立.5 分 当时，所以在(0,+)内为单调递减，故；0p 20,200pxxh x f x0p 当时，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为，0p 22h xpxxp10 xp，只需，即 p1 时，h(x)0，min11hxhppp10pp 0fxf(x)在(0,+)内为单调递增，故 p1 适合题意.综上可得，p1 或 p0 9 分(III)g(x)=在 1,e 上是减函数2exx=e 时，g(x)min=2，x=1 时，g(x)max=2e 即g(x)2,2e 10 分 p0 时，由(II)知 f(x)在 1,e 递减 f(x)max=f(1)=0 2，不合题意。0 p 1 时，由 x 1,e x 01x 14f(x)=p(x)2lnxx 2lnx 右边为 f(x)当 p=1 时的表达式，故在 1,e 递增1x1x f(x)x 2ln xe 2ln e=e 2 2，不合题意。12 分1x1e1e p1 时，由(II)知 f(x)在 1,e 连续递增，f(1)=0 g(x)min=2，x 1,e f(x)max=f(e)=p(e)2ln e 2 p 13 分1e4ee 21综上，p 的取值范围是(,+)14 分4ee 21