高中数学排列组合题型总结.pdf

排列组合题型总结 排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。一直接法1 特殊元素法例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字 1 不排在个位和千位（2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。分析：（1）个位和千位有 5 个数字可供选择，其余 2 位有四个可供选择，由乘法原理：25A24A=24025A24A2特殊位置法（2）当 1 在千位时余下三位有=60，1 不在千位时，千位有种选法，个位有种，余下35A14A14A的有，共有=192 所以总共有 192+60=25224A14A14A24A二间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法=2522435462AAA例 2 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与 9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？分析：此例正面求解需考虑 0 与 1 卡片用与不用，且用此卡片又分使用 0 与使用 1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数个，其中 0 在百位的333352AC有个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数-2242C22A333352AC2242C=432（个）22A三插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。例 3 在一个含有 8 个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？分析：原有的 8 个节目中含有 9 个空档，插入一个节目后，空档变为 10 个，故有=10011019AA 中插入方法。四捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。例 44 名男生和 3 名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有种排法，而男生之间又有种排法，44A44A又乘法原理满足条件的排法有：=57644A44A练习 1四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（）3324AC2某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观 2 天，其余只参观一天，则植物园 30 天内不同的安排方法有（）1928129AC（注意连续参观 2 天，即需把 30 天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有其余的就是 19129C所学校选 28 天进行排列）五阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例 5 某校准备组建一个由12 人组成篮球队，这12 个人由 8 个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种。分析：此例的实质是 12 个名额分配给 8 个班，每班至少一个名额，可在 12 个名额种的 11 个空当中插入 7 块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有种711C练习 1.(a+b+c+d)15有多少项？当项中只有一个字母时，有种（即 a.b.c.d 而指数只有 15 故。14C01414CC 当项中有 2 个字母时，有而指数和为 15，即将 15 分配给 2 个字母时，如何分，闸板法一分为24C2，即114C24C114C当项中有 3 个字母时指数 15 分给 3 个字母分三组即可34C21434CC当项种 4 个字母都在时 四者都相加即可31444CC 练习 2有 20 个不加区别的小球放入编号为 1，2，3 的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（）216C3不定方程 X1+X2+X3+X50=100 中不同的整数解有（）4999C六平均分堆问题 例 6 6 本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？分析：分出三堆书（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由顺序不同可以有=6 种，而这 6 种分法只算一种33A分堆方式，故 6 本不同的书平均分成三堆方式有=15 种33222426ACCC练习：16 本书分三份，2 份 1 本，1 份 4 本，则有不同分法？3,5 2,4 2某年级 6 个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。七合并单元格解决染色问题例 7 （全国卷（文、理）如图 1，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。分析：颜色相同的区域可能是 2、3、4、5 下面分情况讨论:()当 2、4 颜色相同且 3、5 颜色不同时，将 2、4 合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于 4个元素 的全排列数A44（）当 2、4 颜色不同且 3、5 颜色相同时，与情形()类似同理可得 种着色法A44（）当 2、4 与 3、5 分别同色时，将 2、4；3、5 分别合并，这样仅有三个单元格 从 4 种颜色中选 3 种来着色这三个单元格，计有种方法AC3334 由加法原理知：不同着色方法共有 2=48+24=72（种）ACA333444练习 1（天津卷（文）将 3 种作物种植 在如图的 5 块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共 种（以数字作答）（72）2（江苏、辽宁、天津卷（理）某城市中心广场建造一个花圃，花圃 6 分为个部分（如图 3），现要栽种 4 种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）（120）图 3 图 43如图 4，用不同的 5 种颜色分别为 ABCDE 五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数（540）4如图 5：四个区域坐定 4 个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种（84）图 5 图 6123452,4546132EDCBA4321DBCEA 5将一四棱锥(图 6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种（420）八递推法例八 一楼梯共 10 级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这 10 级楼梯，共有多少种不同的走法？分析：设上 n 级楼梯的走法为 an种，易知 a1=1,a2=2,当 n2 时，上 n 级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有 an-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有 an-2种走法，由加法原理知：an=an-1+an-2,据此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上10 级楼梯共有 89 种不同的方法。九.几何问题 1四面体的一个顶点位 A,从其它顶点与各棱中点取 3 个点，使它们和点 A 在同一平面上，不同的取法有 种（3+3=33）35C2.四面体的棱中点和顶点共 10 个点（1）从中任取 3 个点确定一个平面，共能确定多少个平面？(-4+4-3+3-6C+6+26=29)310C36C34C34(2)以这 10 个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？三棱锥 C104-4C64-6C44-3C44=141 四棱锥 644=96 36=18 共有 114十 先选后排法例 9 有甲乙丙三项任务，甲需2 人承担，乙丙各需1 人承担，从10 人中选派4 人承担这三项任务，不同的选派方法有（）A.1260 种B.2025 种C.2520 种D.5054 种分析：先从 10 人中选出 2 人十一用转换法解排列组合问题例 10某人连续射击 8 次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题=20 种25A例 11 个人参加秋游带 10 瓶饮料，每人至少带 1 瓶，一共有多少钟不同的带法解 把问题转化为 5 个相同的白球不相邻地插入已经排好的 10 个相同的黑球之间的 9 个空隙种的排列问题=126 种59C例 12 从 1，2，3，1000 个自然数中任取 10 个不连续的自然数，有多少种不同的去法解 把稳体转化为 10 个相同的黑球与 990 个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。10991C例 13 某城市街道呈棋盘形，南北向大街 5 条，东西向大街 4 条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种解 无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为 3 个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题=35（种）37C 例 14 一个楼梯共 18 个台阶 12 步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法解 根据题意要想 12 步登完只能 6 个一步登一个台阶，6 个一步登两个台阶，因此，把问题转化为 6个相同的黑球与 6 个相同的白球的排列问题=924（种）612C例 15 求（a+b+c）10的展开式的项数解 展开使的项为 abc,且+=10，因此，把问题转化为 2 个相同的黑球与 10 个相同的白球的排列问题=66（种）212C例 16 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有 5 名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由 1 号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方 2 号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程那么所有可能出现的比赛过程有多少种？解 设亚洲队队员为 a1,a2，,a5,欧洲队队员为 b1，b2，b5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序比赛过程转化为这 10 个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为 5 个相同的白球和 5 个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为=252（种）610C十二转化命题法例 17 圆周上共有 15 个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？分析：因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的 15 个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有=1365（个）415C十三概率法例 18 一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为，故本21例所求的排法种数就是所有排法的，即A=360 种2121十四除序法 例 19 用 1，2，3，4，5，6，7 这七个数字组成没有重复数字的七位数中，（1）若偶数 2，4，6 次序一定，有多少个？（2）若偶数 2，4，6 次序一定，奇数 1，3，5，7 的次序也一定的有多少个？解（1）（2）3377AA443377AAA十五错位排列例 20 同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有 种（9）公式 1）n=4 时 a4=3(a3+a2)=9 种 即三个人有两种错排，两个人有)(1(21nnnaana 一种错排2）=n!(1-+-+na!11!21!31 n1!1n练习 有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问 5 位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？（44）