数列证明题型总结(教师版)附答案.pdf

1/26一、解答题一、解答题 ：1 1在数列中，a11，an12an2n.an()设 bn，证明：数列是等差数列；an2n1bn()求数列的前 n 项的和 Sn.an【答案答案】()因为 bn1bn1an12nan2n1an12an2n2n2n所以数列bn为等差数列()因为 bnb1(n1)1n所以 ann2n1所以 Sn120221n2n12Sn121222n2n两式相减得 Sn(n1)2n12 2在数列an中，a1，an1 an.121212n1()设 bn2nan，证明：数列bn是等差数列；()求数列an的前 n 项和 Sn.【答案答案】()由 an1 an，1212n1得 2n1an12nan1bn1bn1，2/26则bn是首项 b11，公差为 1 的等差数列故 bnn，an.n2n()Sn1 23(n1)n1212212312n112nSn123(n1)n1212212312412n12n1两式相减，得：Sn 121212212312nn2n1112（112n）112n2n112nn2n1Sn212n1n2n3 3数列an的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，且满足 4Sn(an1)2(nN*)()证明：数列an是等差数列，并求出其通项公式 an；()设 bnan2an(nN*)，求数列bn的前 n 项和 Tn.【答案答案】()n1 时，4a1(a11)2a 2a110即 a112 1n2 时，4an4Sn4Sn1(an1)2(an11)2a a2an2an12 n2n1a a2an2an102 n2n1(anan1)(anan1)20an0anan12 3/26故数列an是首项为 a11，公差为 d2 的等差数列，且 an2n1(nN*)()由()知 bnan2an(2n1)22n1Tnb1b2bn(121)(323)(2n1)22n113(2n1)(212322n1)n2n2 2（122n）1422n132322n13n2234 4数列an的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，且满足 2an1(nN*)Sn()证明：数列an是等差数列，并求出其通项公式 an；()设 bnan2n(nN*)，求数列bn的前 n 项和 Tn.【答案答案】()由 2an1(nN*)可以得到 4Sn(an1)2(nN*)Snn1 时，4a1(a11)2a 2a110，即 a112 1n2 时，4an4Sn4Sn1(an1)2(an11)2a a2an2an12 n2n1a a2an2an102 n2n1(anan1)(anan1)20an0anan12故数列an是首项为 a11，公差为 d2 的等差数列，且an2n1(nN*)4/26()由()知 bnan2n(2n1)2nTn(121)(322)(2n3)2n1(2n1)2n则 2Tn(122)(323)(2n3)2n(2n1)2n1两式相减得：Tn(121)(222)(22n)(2n1)2n122(2n1)2n12（12n）12(32n)2n16Tn(2n3)2n16(或 Tn(4n6)2n6)5 5已知数列an，其前 n 项和为 Sn n2 n(nN*)3272()求 a1，a2；()求数列an的通项公式，并证明数列an是等差数列；()如果数列bn满足 anlog2bn，请证明数列bn是等比数列，并求其前 n 项和 Tn.【答案答案】()a1S15，a1a2S2 22 213，3272解得 a28.()当 n2 时，anSnSn1 5/26 n2(n1)2 n(n1)3272(2n1)3n2.3272又 a15 满足 an3n2，an3n2(nN*)anan13n23(n1)23(n2，nN*)，数列an是以 5 为首项，3 为公差的等差数列()由已知得 bn2an(nN*)，2an1an238(nN*)，bn1bn2nn12an又 b12a132，数列bn是以 32 为首项，8 为公比的等比数列Tn(8n1)32（18n）183276 6已知函数 f(x)，数列an满足：a1，an1f(an)2xx243()求证：数列为等差数列，并求数列an的通项公式；1an()记 Sna1a2a2a3anan1，求证：Sn.83【答案答案】证明：()an1f(an)，即，2anan21an11an121an11an12 6/26则成等差数列，1an所以(n1)(n1)，则 an.1an1a11234122n1442n1()anan18，42n142n3(12n112n3)Sna1a2a2a3anan188.(1315151712n112n3)(1312n3)837 7已知数列an的前三项依次为 2，8，24，且an2an1是等比数列()证明是等差数列；an2n()试求数列an的前 n 项和 Sn的公式【答案答案】()a22a14，a32a28，an2an1是以 2 为公比的等比数列an2an142n22n.等式两边同除以 2n，得1，an2nan12n1是等差数列an2n()根据()可知(n1)1n，ann2n.an2na12Sn12222323n2n，2Sn122223(n1)2nn2n1.得：Sn222232nn2n1 7/26n2n12n12n2n1，2（12n）12Sn(n1)2n12.8 8已知数列an的各项为正数，前 n 项和为 Sn，且满足：Sn(nN*)12(an1an)()证明：数列S 是等差数列；2 n()设 Tn S S S S，求 Tn.12 2 1122 2 2123 2 312n 2 n【答案答案】()证明：当 n1 时，a1S1，又 Sn(nN*)，12(an1an)S1，解得 S11.12(S11S1)当 n2 时，anSnSn1，Sn，12SnSn11SnSn1)即 SnSn1，化简得 S S1，1SnSn12 n2n1S 是以 S 1 为首项，1 为公差的等差数列2 n2 1()由()知 S n，2 nTn S S S，12 2 1122 2 212n 2 n即 Tn1 2(n1)n.1212212n112n 得 Tn1(n1)n.121212212n12n1得 Tn n121212212n12n1 8/26n1n1，12112n11212n112n12n1n22n1Tn2.n22n9 9数列an满足 a11，an11(nN*)，记 Sna a a.2 12 22 n()证明：是等差数列；()对任意的 nN*，如果 S2n1Sn恒成立，求正整数 m 的最小值m30【答案答案】()证明：4(n1)44n3，即是等差数列()令 g(n)S2n1Sn.14n114n518n1g(n1)g(n)0，g(n)在 nN*上单调递减，g(n)maxg(1).恒成立m，14451445m30283又mN，正整数 m 的最小值为 10.1010已知数列an是首项 a1，公比为的等比数列，设 bn15log3ant，常数 tN*.133133 9/26()求证：bn为等差数列；()设数列cn满足 cnanbn，是否存在正整数 k，使 ck1，ck，ck2成等比数列？若存在，求 k，t 的值；若不存在，请说明理由【答案答案】()证明：an3，bn1bn15log35，n3(an1an)bn是首项为 b1t5，公差为 5 的等差数列()cn(5nt)3，令 5ntx，则 cnx，n3n3cn1(x5)3，cn2(x10)3，n13n23若 c cn1cn2，则(x3)2(x5)3(x10)3，2 kn3n13n23化简得 2x215x500，解得 x10 或(舍)，52进而求得 n1，t5，综上，存在 n1，t5 适合题意1111在数列 an中，a11，an12an2n1.()设 bnan1an2，(nN*)，证明：数列bn是等比数列；()求数列an的通项 an.【答案答案】()由已知 an12an2n1得 an22an12n3，得 an2an12an12an2 10/26设 an2an1c2(an1anc)展开与上式对比，得 c2因此，有 an2an122(an1an2)由 bnan1an2，得 bn12bn，由 a11，a22a135，得 b1a2a126，故数列bn是首项为 6，公比为 2 的等比数列()由()知，bn62n132n则 an1anbn232n2，所以 ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)1(3212)(3222)(32n12)13(222232n1)2(n1)an32n2n3，当 n1 时，a1321213651，故 a1也满足上式故数列an的通项为 an32n2n3(nN*)1212在数列an中，a1，an an1(nN*且 n2)16121213n()证明：an是等比数列；13n()求数列an的通项公式；()设 Sn为数列的前 n 项和，求证 Sn.an12【答案答案】11/26()由已知，得 是等比数列an113n1an13n（12an1213n1）13n1an13n12an13n()设 Anan，则 A1a11 ，且 q13n16131212则 An()n，12an，可得 an13n12n12n13n()Sn()()()12113112213212n13n12（112n）11213（113n）113 1212n1213n1223n2n26n121313已知数列an满足 a12，an12ann1(nN*)()证明：数列ann是等比数列，并求出数列an的通项公式；()数列bn满足：bn(nN*)，求数列bn的前 n 项和 Sn.n2an2n【答案答案】()证法一：由 an12ann1 可得 an1(n1)2(ann)，又 a12，则 a111，数列ann是以 a111 为首项，且公比为 2 的等比数列，则 ann12n1，an2n1n.证法二：2，an1（n1）ann2ann1（n1）ann2an2nann 12/26又 a12，则 a111，数列ann是以 a111 为首项，且公比为 2 的等比数列，则 ann12n1，an2n1n.()bn，bnn2an2nn2an2nn2nSnb1b2bn 2()2n()n121212 Sn()22()3(n1)()nn()n11212121212由，得 Sn()2()3()nn()n1n()n11(n2)()121212121212121（12）n1121212n1，Sn2(n2)()n.121414在数列an中，a11，2nan1(n1)an，nN*.()设 bn，证明：数列bn是等比数列；ann()求数列an的前 n 项和 Sn.【答案答案】()因为，bn1bnan1n1nan12所以bn是首项为 1，公比为 的等比数列12()由()可知，即 an，ann12n1n2n1 13/26Sn1，22322423n2n1上式两边乘以，得12Sn，1212222323n12n1n2n两式相减，得 Sn1，121212212312n1n2nSn2，122n2n所以 Sn42n2n11515设数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn(1)an，其中 1，0.()证明：数列an是等比数列；()设数列an的公比 qf()，数列bn满足 b1，bnf(bn1)(nN*，n2)，求数列bn12的通项公式【答案答案】()由 Sn(1)anSn1(1)an1(n2)，相减得：ananan1，(n2)，anan11数列an是等比数列()f()，bn1，1bn1bn11bn1bn1是首项为2，公差为 1 的等差数列；1bn1b12(n1)n1，bn.1bn1n1 14/261616在等差数列an中，a1030，a2050.()求数列an的通项 an；()令 bn2an10，证明：数列bn为等比数列；()求数列nbn的前 n 项和 Tn.【答案答案】()由 ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程组，解得 a112，d2.a19d30a119d50)an12(n1)22n10.()由()得 bn2an1022n101022n4n，4bn1bn4n14nbn是首项是 4，公比 q4 的等比数列()由 nbnn4n得：Tn14242n4n4Tn142(n1)4nn4n1相减可得：3Tn4424nn4n1n4n14（14n）3Tn（3n1）4n1491717已知an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，已知 a311，S9153，()求数列an的通项公式；15/26()设 anlog2bn，证明bn是等比数列，并求其前 n 项和 Tn.【答案答案】()解得：d3，a15,an3n2 a12d119a19 82d153)()bn2an，2an1an238，bn1bn2an12anbn是公比为 8 的等比数列又b12a132,Tn(8n1)32（18n）183271818在数列an中，a13，an2an1n2(n2，且 nN*)()求 a2，a3的值；()证明：数列ann是等比数列，并求an的通项公式；()求数列an的前 n 项和 Sn.【答案答案】()a13，an2an1n2(n2，且 nN*)，a22a1226，a32a23213.()证明：annan1（n1）（2an1n2）nan1n12，2an12n2an1n1数列ann是首项为 a114，公比为 2 的等比数列 16/26ann42n12n1，即 an2n1n，an的通项公式为 an2n1n(nN*)()an的通项公式为 an2n1n(nN*)，Sn(2223242n1)(123n)22 （12n）12n （n1）22n2.n2n821919已知数列an满足 a12，an13an2(nN*)()求证：数列an1是等比数列)求数列an的通项公式【答案答案】()证明：由 an13an2 得 an113(an1)，从而3，an11an1即数列an1是首项为 3，公比为 3 的等比数列()由()知，an133n13nan3n1.2020已知数列an满足 a12，an14an2n1，Sn为an的前 n 项和()设 bnan2n，证明数列bn是等比数列，并求数列an的通项公式；17/26()设 Tn，n1，2，3，证明：i.2nSnni1T32【答案答案】()因为 bn1an12n1(4an2n1)2n14(an2n)4bn，且 b1a124，所以bn是以 4 为首项，以 q4 为公比的等比数列所以 bnb1qn14n，所以 an4n2n.()Sna1a2an(4424n)(2222n)(4n1)2(2n1)(2n1)232n124313(2n11)(2n12)(2n11)(2n1)，1323所以 Tn ，2nSn322n（2n11）（2n1）32(12n112n11)因此i的1log2bn1log2bn22 0114 026n 的最小值【答案答案】()证明：b1S1320，Sn1SnSn3n，即 Sn12Sn3n，20，bn1bnSn13n1Sn3n2Sn3n13nSn3n所以bn是等比数列()由()知 bn2n，20/26则 cn1log2bn1log2bn21（n1）（n2），1n11n2Tn，121n2Tn，n2 011，即 nmin2 012.121n22 0114 0262525已知数列an满足：a11，an1(nN*)anan2()求证：数列是等比数列；1an1()若1，且数列bn是单调递增数列，求实数 的取值范围bn1n1an【答案答案】()证明：1，12，1an12an1an1(1an1)120，所以数列是等比数列1a11an1()12n，an，1an12n112n，bn12n(n)，bn1n1anbn2n1(n1)(n2)，b1 适合，所以 bn2n1(n1)(nN*)，由 bn1bn得 2n1(n1)2n(n)，n2，(n2)min3，的取值范围为|2 010 的 n 的最小值2（an1）an【答案答案】()an13an2an1(n2)，(an1an)2(anan1)(n2)a12，a24，a2a120，anan10，故数列an1an是首项为 2，公比为 2 的等比数列，an1an(a2a1)2n12n，an(anan1)(an1an2)(an2an3)(a2a1)a12n12n22n321222（12n1）122n(n2)又 a12 满足上式，an2n(nN*)()由()知 bn222（an1）an(11an)(112n)2，12n1Sn2n(112112212n1)22/262n2n22n2.112n112(112n)12n1由 Sn2 010 得：2n22 010，即 n1 006，12n112n因为 n 为正整数，所以 n 的最小值为 1 006.2727已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足 Sn+2n=2an（I）证明：数列an+2是等比数列，并求数列an的通项公式 an；（）若数列bn满足 bn=log2（an+2），求数列的前 n 项和 Tnn1b【答案答案】（I）证明：由 Sn+2n=2an，得 Sn=2an2n，当 nN*时，Sn=2an2n，当 n=1 时，S1=2a12，则 a1=2，当 n2 时，Sn1=2an12（n1），得 an=2an2an12，即 an=2an1+2，an+2=2（an1+2），23/26，nn 1a+2=2a+2an+2是以 a1+2 为首项，以 2 为公比的等比数列，n 1na+2=4 2An+1na=22（）解：，n+1na=22bn=n（n+1），n1111=bn n+1nn+1n12n111T=+bbb=1+12121311nn+1=11n+1=nn+1【解析解析】考点：数列的求和；等比数列的通项公式专题：综合题分析：（I）由 Sn+2n=2an，得 Sn=2an2n，由此利用构造法能够证明数列an+2是等比数列，并求出数列an的通项公式 an 24/26（）由，得，由此利用错位相减法能够求出数列的n+1na=22n1111=bn n+1nn+1n1b前 n 项和 Tn2828数列an中，a11，当 n2 时，其前 n 项的和 Sn满足 S an(Sn1)2 n()证明：数列是等差数列；1Sn()设 bnlog2，数列bn的前 n 项和为 Tn，求满足 Tn6 的最小正整数 n.SnSn2【答案答案】()S an(Sn1)，2 nS(SnSn1)(Sn1)(n2)，2 nSnSn1Sn1Sn，即1，1Sn1Sn1是 1 为首项，1 为公差的等差数列1Sn()由()知 Sn，bnlog2，1nn2nTnlog2(31425364 n2n)log26，（n1）（n2）2(n2)(n1)128，nN*，n10，所以满足 Tn6 的最小正整数为 102929已知数列an的首项 a1=，其中 nN+35nn 1n3aa2a1 25/26（）求证：数列为等比数列；n11a（）记 Sn=，若 Sn100，求最大的正整数 n12n111aaa【答案答案】（）证明：，n 1n21a33an 1n1111a3a3，N+），1110an110(na数列为等比数列n11a（）解：由（）可求得n 1nnn121111,21a33a3=n2n12n111111Sn2aaa333n+1n11133n2=n+1-131-3A，若 Sn100，则 n+1，n11003nmax=99【解析解析】考点：数列递推式；数列的求和专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（）利用数列递推式，变形可得从而可证数列n 1n1111a3a3为等比数列；n11a 26/26（）确定数列的通项，利用等比数列的求和公式求和，即可求最大的正整数 n3030在数列an中，a12，an14an3n1，nN*.()证明数列ann是等比数列；()设数列an的前 n 项和 Sn，求 Sn14Sn的最大值【答案答案】()证明：由题设 an14an3n1，得 an1(n1)4(ann)，nN*.又 a111，所以数列ann是首项为 1，且公比为 4 的等比数列()由()可知 ann4n1，于是数列an的通项公式为 an4n1n.所以数列an的前 n 项和 Sn.4n13n（n1）2Sn14Sn44n113（n1）（n2）2(4n13n（n1）2)(3n2n4)，故 n1，最大 0.12