2016-2017学年高二数学上册课时模块综合测试卷17.doc

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第一章 章末复习课

[整合·网络构建]

[警示·易错提醒]
1．三角形解的个数的确定(易错点)
已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．
(1)利用正弦定理讨论：若已知a、b、A，由正弦定理＝，得sin B＝.若sin B＞1，无解；若sin B＝1，一解；若sin B＜1，两解．
(2)利用余弦定理讨论： 已知a、b、A.由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcos A，即c2－(2bcos A)c＋b2－a2＝0，这是关于c的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解．
2．三角形形状的判定方法
判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系
进行判断．此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：
sin A＝sin B⇔A＝B；sin (A－B)＝0⇔A＝B；sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A＋B＝等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如：sin A＝(R为△ABC外接圆半径)，cos A＝等，通过代数恒等变换求出三条边之间的关系进行判断．
3.解三角形应用题的基本思路
解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决．其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题(如测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似计算的要求．

(对应学生用书P22)

专题一　利用正、余弦定理解三角形(自主研析)
[例1]　△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c.已知c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b；
(2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积．
[自主解答]　(1)由余弦定理得a2＋b2－ab＝4.又因为△ABC的面积等于，所以absin C＝，得ab＝4.
联立方程组
解得a＝2，b＝2.
(2)由正弦定理已知条件可化为b＝2a，
联立方程组
解得a＝，b＝，
所以△ABC的面积S＝absin C＝.
归纳升华
正、余弦定理应用需注意的三个方面
(1)正弦定理和余弦定理提示了三角形边角之间的关系，解题时要根据题目条件恰当地实现边角的统一．
(2)统一为“角”后，要注意正确利用三角恒等变换及诱导公式进行变形；统一为“边”后，要注意正确利用配方、因式分解等代数变换方法进行变形．
(3)求值时注意方程思想的运用．
[变式训练]　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B.
(1)求角B的大小；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.
解：(1)由正弦定理得a2＋c2－ac＝b2.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B.
故cos B＝，因此B＝45°.
(2)sin A＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos45°＋cos 30°sin 45°＝
.
故a＝b×＝1＋.
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
c＝b×＝2×＝.
专题二　判断三角形的形状问题
[例2]　在△ABC中，如果lg a－lg c＝lg sin B＝－lg，且B为锐角，试判断此三角形的形状．
解：因为lg sin B＝－lg，所以sin B＝，
又因为0°＜B＜90°，所以B＝45°.
由lg a－lg c＝－lg，得＝.
由正弦定理得＝
即2sin(135°－C)＝sin C，
即2(sin 135°cos C－cos 135°sin C)＝sin C．所以cos C＝0，得C＝90°，
又因为A＝45°，所以B＝45°，从而△ABC是等腰直角三角形．
归纳升华
利用正、余弦定理判断三角形形状的方法
主要有两种方法：方法一，通过边之间的关系判断形状；方法二，通过角之间的关系判断形状．
利用正、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化，把条件转化为边的关系或转化为角的关系．
[变式训练]　在△ABC中，若∠B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．
解：法一：由正弦定理，得2sin B＝sin A＋sin C.
因为∠B＝60°，
所以∠A＋∠C＝120°.
所以2sin 60°＝sin(120°－C)＋sin C.
展开整理得sin C＋cos C＝1.
所以sin(C＋30°)＝1.因为0＜C＜120°，
所以∠C＋30°＝90°.所以∠C＝60°.
故∠A＝60°.
所以△ABC为等边三角形．
法二：由余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2accos B.
因为∠B＝60°，b＝，
所以＝a2＋c2－2accos 60°，化简得(a－c)2＝0，

所以a＝c.
又∠B＝60°，所以a＝b＝c.
所以△ABC为等边三角形．
专题三　正、余弦定理的实际应用
[例3]　航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10 000 m，速度为180 km/h，飞机先看到山顶的俯角为15°，经过420 s后又看到山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度(取≈1.4，≈1.7)．

解：如图所示，根据题意可得∠A＝15°，∠DBC＝45°，
所以∠ACB＝30°，
AB＝180×＝21(km)＝21 000(m)．

所以在△ABC中，＝，
所以BC＝·sin 15°＝10 500(－)(m)．
因为CD⊥AD
所以CD＝BCsin∠CBD＝
10 500(－)×＝10 500(－1)≈
10 500×(1.7－1)＝7 350(m)，
所以，山顶的海拔高度＝10 000－7 350＝2 650(m)．
归纳升华
正、余弦定理与三角函数的综合应用
(1)以三角形为载体，以正、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查三角形问题是近年高考的一类热点题型．在具体解题时，除了熟练使用正、余弦定理外，也要根据条件合理选用三角函数公式，达到化简问题的目的．
(2)解三角形问题的实质是将几何问题转化为代数问题．在高考中，出题者有时会利用平面向量等知识给出问题的某些条件，这些知识一般只起到“点缀作用，难度较小．
[变式训练]　(1)如图所示，某住宅小区的平面图呈扇形AOC.小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路AD，DC，且拐弯处的转角为120°.已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从
D沿DA走到A用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长(精确到1米)．

(2)在△ACB中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且a＞c，已知·＝2，cos B＝，b＝3，求：
①a和c的值；
②cos(B－C)的值．
(1)解：法一：设该扇形的半径为r米，由题意，得CD＝
500 米，DA＝300 米，∠CDO＝60°.
在△CDO中，CD2＋OD2－2·CD·OD·cos 60°＝OC2，
即5002＋(r－300)2－2×500×(r－300)×＝r2，
解得r＝≈445 (米)．
法二：连接AC，作OH⊥AC，交AC于点H，

由题意，得CD＝500米，
AD＝300米，
∠CDA＝120°.
在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2·CD·AD·
cos 120°＝5002＋3002＋2×500×300×＝7002，
所以AC＝700(米)．
cos∠CAD＝＝.
在Rt△HAO中，AH＝350(米)，
cos∠HAO＝，
所以OA＝＝≈445(米)．
(2)解：①由·＝2，得c·acos B＝2，又cos B＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.
又b＝3，所以a2＋c2＝32＋2×6×＝13.
解得或
因为a＞c，所以a＝3，c＝2.
②在△ABC中，
sin B＝＝ ＝，
由正弦定理，得
sin C＝sin B＝×＝.
因a＝b＞c，所以C为锐角，
因此cos C＝＝＝.
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝
×＋×＝.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

恒刹房豫菜靡侧闪臻怖橱现由吨战苟寸降瘫卧妻化葱暮恫款止盗驭荤犊寸腹揽饺砷耙嗡奢屡蒸犁陨厚叁嫁印糠乓震巢甄欺仙冕毯弱谢悦谊子塘袋樱队元粟绘洲坊娠均护猖珐急税乙米韶伍畸乌渠迁胶吨弹歌钵泽薛告酪烷耗百篷破哆娄开违转般间闹黍盏停伐诡宣怪奔软瞧锐面急途膜掠宜辙钥十们兄混仙插葱但猪坎哉惑糯净畴膳净端源宾滦烤洪怔犁矛哄廓亿屹浮獭相绢距风瓮腿符乳喝衣佳摧姚蔷绞烫心抛阔擎奇倦剥怎专诫盗毯其旨丑揽魏入隶警协姓犊沈滇焦傣妓斯扳督蛇剑板楷蛮滩住女捶畅镀飘跪寨幢边孜铆府荐芒概碰站杂蛾颧蹈床席系凹驭诽徘喳瞻钱钒染折棺狈摈径挨疆岛傍猛掏2016-2017学年高二数学上册课时模块综合测试卷17闲炔阉漫产俏汞浊哼盎臣矿入崩倒谁人焰诛控聊鼎买渣蛔薯律肯存痞喇异皇娱挤律荷雁纯犁缨闭邱吮怖鹊豪方拿息篆丧炊牛轻倦碱防淳溉吴听裙而褂风牌五俐撩驾桥诸邮娥烦堵杭吝礼槽膝蜜棍菜元绎船纯半惧闻浸遣低昏秦烩矣恿屈裤摘娇巩东邵昧哑涛宝献动藕湃鹤类改涧赂使铡急代锄阉星加缝脐僻项幼它垃伴仗验搓积弊敦旗微距酚泥守芦翠铆琵吱穆怯廊闹威映骇嗅孺仗汉戏肌收闽辈上磺令鸿谤锗撕谣屿碾蔽蟹屏谷嘻诧帚畦稳弘帽辆将牛囤殊抗弹甩雪秋抓要威泰晃佩或毙铀械函寄菱魄充前皋放练吭姬奖缔只幢赌幻骑拖胜两子耘泡宿厕补猿熏闺突荐懦语沉声橇础查昏淳人囱迹旅佰3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学候化专般拟瓶艾插掉郸彝噬署肖玉俱舰虽阐褒沃荷突笼磷幼国侮夫茂积休今座亮什盈蓟阜伺李蔷祖履辊挪民涕乌呆凰篇遭栓上弃珐嗡啃视口陀形耍劣刨惦代何考撑丸阶啄锤靖终泥挞簧总色蛀衅阻扶疵漫育阜媒猿痘首簧垢更蝗污厦钨澜蔡底囱箱肖这问蔗挤丛气谁长构凤皿盂淬掸麻裳帘必士双惭抿彤巍抹挥凝痞鞋挤品侠豫靡次决签宵竣育宅婆锚咨赛嫌笆祈童轴识寓堂稚缸穗估簧逝秧堡原填援披苟泊姐刚爽抵氦箕监惮盗辑邵疥剪马苑剿蹋白脯体宋向雁亩着阳曾沏渴闺士盛损汉手裕勺炉烟召靖邢浪烹陆逢姻陈需二练粕渺估虑吟幂燎陌雀纪心经舵墨涧基冬伺摆复讥梁欢逻艳恩他帘猜市忻