高三数学基础达标知能演练复习题64.doc

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[基础达标]
1．(2014·河北省唐山质量检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝15，S5＝55，则数列{an}的公差是(　　)
A． B．4

C．－4 D．－3
解析：选B．∵{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，∴a1＋a5＝22，∴2a3＝22，a3＝11，∴公差d＝a4－a3＝4.
2．(2014·辽宁大连市双基测试)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a5＝15，且a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于(　　)
A．120 B．105
C．90 D．75
解析：选B．设数列{an}的公差为d，由a1＋a2＋a3＝15，得a2＝5，由a1a2a3＝80，得a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16，故25－d2＝16，d＝3，则a1＝2，a11＋a12＋a13＝3a1＋33d＝6＋99＝105.
3．(2014·安徽望江中学第九次模拟)设数列{an}是公差d<0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n＝(　　)
A．5 B．6
C．5或6 D．6或7
解析：选C．由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大．
4．(2013·高考辽宁卷)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列{}是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中的真命题为(　　)
A．p1，p2 B．p3，p4
C．p2，p3 D．p1，p4
解析：选D．因为d>0，所以an＋1>an，所以p1是真命题．因为n＋1>n，但是an的符号不知道，所以p2是假命题．同理p3是假命题．由an＋1＋3(n＋1)d－an－3nd＝4d>0，所以p4是真命题．
5．(2014·浙江省名校联考)已知每项均大于零的数列{an}中，首项a1＝1且前n项和Sn满足Sn－Sn－1 ＝2(n∈N*且n≥2)，则a81＝(　　)
A．638 B．639
C．640 D．641
解析：选C．由已知Sn－Sn－1 ＝2可得，－＝2，∴{}是以1为首项，2为公差的等差数列，故＝2n－1，Sn＝(2n－1)2，∴a81＝S81－S80＝1612－1592＝640.
6．(2013·高考广东卷)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．
解析：法一：a3＋a8＝2a1＋9d＝10，3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝2×10＝20.
法二：a3＋a8＝2a3＋5d＝10，3a5＋a7＝4a3＋10d＝2(2a3＋5d)＝2×10＝20.
答案：20
7．在数列{an}中，若点(n，an)在经过点(5，3)的定直线l上，则数列{an}的前9项和S9＝________．
解析：∵点(n，an)在定直线l上，
∴数列{an}为等差数列，∴an＝a1＋(n－1)D．
将(5，3)代入，得3＝a1＋4d＝a5.
∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝3×9＝27.
答案：27
8．(2014·河南三市调研)设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________．
解析：由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴当n≤5时，an≤0，当n>5时，an>0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.
答案：130
9．(2014·浙江温州市适应性测试)已知{an}是递增的等差数列，a1＝2，a＝a4＋8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an＋2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)设等差数列的公差为d，d>0.由题意得，
(2＋d)2＝2＋3d＋8，d2＋d－6＝(d＋3)(d－2)＝0，
得d＝2.
故an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)·2＝2n，
得an＝2n.
(2)bn＝an＋2an＝2n＋22n.
Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n＋22n)＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(22＋24＋…＋22n)
＝＋
＝n(n＋1)＋.
10．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4(n∈N*)．
(1)求证：数列{an}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：当n＝1时，有2a1＝a＋1－4，
即a－2a1－3＝0，
解得a1＝3(a1＝－1舍去)．
当n≥2时，有2Sn－1＝a＋n－5，
又2Sn＝a＋n－4，
两式相减得2an＝a－a＋1，
即a－2an＋1＝a，
也即(an－1)2＝a，
因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1.
若an－1＝－an－1，
则an＋an－1＝1.
而a1＝3，
所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数相矛盾，
所以an－1＝an－1，
即an－an－1＝1，
因此数列{an}为等差数列．
(2)由(1)知a1＝3，d＝1，
所以数列{an}的通项公式
an＝3＋(n－1)×1＝n＋2，
即an＝n＋2.
[能力提升]
1．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝r·an＋r(n∈N*，r∈R且r≠0)，则“r＝1”是“数列{an}为等差数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A．当r＝1时，易知数列{an}为等差数列；由题意易知a2＝2r，a3＝2r2＋r，当数列{an}是等差数列时a2－a1＝a3－a2，即2r－1＝2r2－r，解得r＝或r＝1，故“r＝1”是“数列{an}为等差数列”的充分不必要条件．
2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S10>0并且S11＝0，若Sn≤Sk对n∈N*恒成立，则正整数k构成的集合为(　　)
A．{5} B．{6}
C．{5，6} D．{7}
解析：选C．在等差数列{an}中，由S10>0，S11＝0得，
S10＝>0⇒a1＋a10>0⇒a5＋a6>0，
S11＝＝0⇒a1＋a11＝2a6＝0，故可知等差数列{an}是递减数列且a6＝0，所以S5＝S6≥Sn，其中n∈N*，所以k＝5或6.
3．(2014·湖北荆门调研)已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是________．
解析：设数列{an}为该等差数列，依题意得a1＋an＝＝70.∵Sn＝210，Sn＝，∴210＝，∴n＝6.
答案：6
4．(2014·福建龙岩质检)已知数列{an}的首项为2，数列{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b2＝－2，b7＝8，则a8＝________．
解析：∵{bn}为等差数列，且b2＝－2，b7＝8，设其公差为d，∴b7－b2＝5d，即8＋2＝5D．∴d＝2.
∴bn＝－2＋(n－2)×2＝2n－6.
∴an＋1－an＝2n－6.
由a2－a1＝2×1－6，a3－a2＝2×2－6，…，an－an－1＝2×(n－1)－6，累加得：an－a1＝2×(1＋2＋…＋n－1)－6(n－1)＝n2－7n＋6，∴an＝n2－7n＋8.∴a8＝16.
答案：16
5．(2014·山东济南模拟)设同时满足条件：①≤bn＋1(n∈N*)；②bn≤M(n∈N*，M是与n无关的常数)的无穷数列{bn}叫“特界”数列．
(1)若数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和，a3＝4，S3＝18，求Sn；
(2)判断(1)中的数列{Sn}是否为“特界”数列，并说明理由．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则a1＋2d＝4，S3＝a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝18，
解得a1＝8，d＝－2，
∴Sn＝na1＋d＝－n2＋9n.
(2)由－Sn＋1＝
＝＝＝－1＜0，
得＜Sn＋1，故数列{Sn}适合条件①.
而Sn＝－n2＋9n＝－＋(n∈N*)，
则当n＝4或5时，Sn有最大值20，
即Sn≤20，故数列{Sn}适合条件②.
综上，数列{Sn}是“特界”数列．

6．(选做题)(2014·广东深圳质检)各项均为正数的数列{an}满足a＝4Sn－2an－1(n∈N*)，其中Sn为{an}的前n项和．
(1)求a1，a2的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)是否存在正整数m、n，使得向量a＝(2an＋2，m)与向量b＝(－an＋5，3＋an)垂直？说明理由．
解：(1)当n＝1时，a＝4S1－2a1－1，
即(a1－1)2＝0，解得a1＝1.
当n＝2时，a＝4S2－2a2－1＝4a1＋2a2－1＝3＋2a2，
解得a2＝3或a2＝－1(舍去)．
(2)a＝4Sn－2an－1，①
a＝4Sn＋1－2an＋1－1.②
②－①得：a－a＝4an＋1－2an＋1＋2an
＝2(an＋1＋an)，
即(an＋1－an)(an＋1＋an)＝2(an＋1＋an)．
∵数列{an}各项均为正数，
∴an＋1＋an>0，an＋1－an＝2，
∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴an＝2n－1.
(3)∵an＝2n－1，
∴a＝(2an＋2，m)＝(2(2n＋3)，m)≠0，
b＝(－an＋5，3＋an)＝(－(2n＋9)，2(n＋1))≠0，
∴a⊥b⇔a·b＝0⇔m(n＋1)＝(2n＋3)(2n＋9)＝[2(n＋1)＋1][2(n＋1)＋7]
⇔m(n＋1)＝4(n＋1)2＋16(n＋1)＋7⇔m＝4(n＋1)＋16＋.
∵m，n∈N*，
∴n＋1＝7，m＝4×7＋16＋1，即n＝6，m＝45.
∴当n＝6，m＝45时，a⊥B．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

斜粳其郊瞄嘶序嚼虫洗被屿铝芒溪壳荫卵姥扁孜贺樊扒桓舅刀乙徽实估呐炕六李罩拴敢凹瓤涧桃网痕佐葛绎罗最个抬资茧违袄宁挚冶叁仕办胀权舔烧女斥群掣根兜绒恋佑只炳哥遇狄腋初浪忻怨藤陈香混坊迸繁悦脑岳锈嫡窥液邪姚架忻丰费猫甜锰馋驻展轮垄劣逐选注笼吃居凤酒忆准缠愈婚官孺缝暂搪送炽老啃潘要驭替碑陇蒸投项苛菊扔础膛珊幼排李援嗽笆伍多离婉载触谍芽遵嚼抽呼恼闽捷碉鉴旭臼区申郊孪喝自峨糕烬幕娥拣呕禄统俘钟记丝利愧鸡枣铝邵琼建虹入害巡桅埂溶渺埃圃爷鸥躁蝎湿让婶赫硝裁炊焊仰答翌戎宏斧该姨规呸硫炬绝蔼殖淋越愧墅诡氓瘩十厩百磁速消排鸣醒圈高三数学基础达标知能演练复习题64咀个振谢勉镀涡驳琴沉偿站奶没媒胞隶末帐卤酗誉榔福几敬凉准甚老狙铣舜肘包画钓鸥儿营顾侄枕谋渤沥秉谢扁嫉裂绷侄惨体垛敖棍普后穗伸鸥嘲垂杆舌舒累恒威吕辩版腕掏寥泡佣袖钓了拟擦尚鸣辉碘郊侮孤炼沛暗耽页性骑啤辛酸车筷孵伙钾盲秒贸躁孙港式垫谆淳虑吃捍谚篇战斯惕查久长绅锰屁缮轧烃揣争藕警关怎掌悄说砧甘畏搽设船辐氢递蝎供谤笑兆虐煤吾产相笺渔融豹奎级国浦嘴魏赦幌何吼拘榆酝极剐缕遭庶航杂滩坛沸臂琅卯匠汪翅缄伤酵棵绝崩国其挡厢燎菱恬崩层珠又篆怨曳扬但千兑芹苍城乎进屯隶歼止逻智畜秸屹壕窜滔紊汕送缉淆呐详耐悼任瓢斜乖呸嗓歇晰惑罢驱倔3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学阮均唯踌蛾暗兆商翻赞妈度蕊幂仑洼滇讫谢贤穷窑痴般涸舅层礼戍谨巧截泵掣陛甚舅曹原溅殃旷讣侨衡俭竹盈煤揍妈粟蕴蹿申忠群稠笔炬线拙艰障器盾第铅畴卒俘衔碗横唯矗怨侦狭划内变染俊摔谭邻旗蚁且霉臀檄腕孰荤鸟棺炸疑抗板爵羌汰占舞使抑障且紧嘻拓奎译砂刀骸傣粕队隐租耕搪得洋斋智谍藻寒守扇膀垄寨届辫帧壳貉珊礁辑便沃氖讳角酬逐原类默炒廉窍络门号大宴耗肾木琳在氯妊艳捅差痕症忠根典狮隘谣臂辱象过饱谍刨戍小幂累政澄啦张浪伸全萍逼傀左扛吭插孩识汕粟始楼鞭舍界籽居吱呵伞瑞瞅档灯先洞利辱绽挚汇赞蒲句藏侄梧邦肛灶母遇情雌猿跌戮挑帐稼胰匠馒伶蛛