2015届高三数学第一轮知识点课后强化训练题23.doc

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基础达标检测
一、选择题
1．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为(　　)
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[答案]　D
[解析]　把直线x＝－1向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义．
2．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是(　　)
A．相离 B．相交
C．相切 D．不确定
[答案]　C
[解析]　设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线为l，A1，B1分别为A，B在直线上的射影，则
|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|.
于是M到l的距离d＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|＝半径，故相切．
3．抛物线y2＝4x上点P(a,2)到焦点F的距离为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
[答案]　B
[解析]　因为P(a,2)在抛物线y2＝4x上，求得P(1,2)，又抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，则|PF|＝＝2.
本题也可转化为P到准线的距离求解．
4．(文)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为(　　)
A．18 B．24
C．36 D．48
[答案]　C
[解析]　本题考查抛物线的相关概念、焦点弦、通径等．
设抛物线为y2＝2px，则焦点F，准线x＝－，由|AB|＝2p＝12，知p＝6，所以F到准线距离为6，所以三角形面积为S＝×12×6＝36.
(理)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为(　　)
A．y2＝±4x　　　　　　 B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
[答案]　B
[解析]　本小题考查抛物线的有关概念以及直线与抛物线关系．
由已知得抛物线焦点为F，
∴AF所在直线方程为y＝2.∴A，
∴S△OAF＝×·＝＝4，
∴a2＝64，∴a＝±8，∴抛物线的方程为y2＝±8x.
5．(2013·江西高考)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|＝(　　)
A．2: B．1:2
C．1: D．1:3
[答案]　C
[解析]　本题考查了抛物线定义等．如图：

过M作准线的垂线MH，设∠FAO＝∠MNH＝α，
则tanα＝＝，sinα＝＝＝＝.
6．设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，并且满足OA⊥OB，则y1y2等于(　　)
A．－4p2 B．－3p2
C．－2p2 D．－p2
[答案]　A
[解析]　∵OA⊥OB，∴·＝0.①
∴x1x2＋y1y2＝0.
∵A、B都在抛物线上，∴∴
代入①得·＋y1y2＝0，解得y1y2＝－4p2.
二、填空题
7．(文)(2013·北京高考)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．
[答案]　2　x＝－1
[解析]　本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程. 由＝1知p＝2，则准线方程为x＝－＝－1.
(理)设抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴上，且抛物线上的点P(k，－2)到点F的距离为4，则k的值为________．
[答案]　4或－4
[解析]　由题意可设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则＋2＝4，p＝4，k2＝－2×4(－2)，∴k＝4或－4.
8．下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水位下降1m后，水面宽________m.

[答案]　2
[解析]　本题考查了抛物线的标准方程与数学建模能力．
设抛物线方程为x2＝－2py，代入P(2，－2)得2p＝2，
∴x2＝－2y，当y＝－3时，x2＝6，∴x＝±，
则此时水面宽为2m.
9．(2013·河南洛阳、安阳统考)点P在抛物线x2＝4y的图像上，F为其焦点，点A(－1,3)，若使|PF|＋|PA|最小，则相应P的坐标为________．
[答案]　(－1，)
[解析]　由抛物线定义可知PF的长等于点P到抛物线准线的距离，所以过点A作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点(－1，)即为所求点P的坐标，此时|PF|＋|PA|最小．
三、解答题
10．设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点．
(1)设l的斜率为1，求|AB|的大小；
(2)求证：·是一个定值．
[解析]　(1)∵F(1,0)，∴直线l的方程为y＝x－1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－6x＋1＝0，
∴x1＋x2＝6，x1x2＝1.
∴|AB|＝
＝·
＝·＝8.
(2)证明：设直线l的方程为x＝ky＋1，
由得y2－4ky－4＝0.
∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，
＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．
∵·＝x1x2＋y1y2

＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2
＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.
∴·OB是一个定值.
能力强化训练
一、选择题
1．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝(　　)
A．4 B．8
C．8 D．16
[答案]　B
[解析]　如图，kAF＝－，∴∠AFO＝60°，

∵|BF|＝4，∴|AB|＝4，即P点的纵坐标为4，
∴(4)2＝8x，∴x＝6，∴|PA|＝8＝|PF|，故选B.
2．(文)已知点M是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的关系是(　　)
A．相交　　　　　　　 B．相切
C．相离 D．以上三种情形都有可能
[答案]　B

[解析]　如图，由MF的中点A作准线l的垂线AE，交直线l于点E，交y轴于点B；由点M作准线l的垂线MD，垂足为D，交y轴于点C，
则MD＝MF，ON＝OF，
∴AB＝＝＝＝，∴这个圆与y轴相切．
(理)(2014·台州模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M、N两点，有下列四个命题：
①△PMN必为直角三角形；②△PMN不一定为直角三角形；③直线PM必与抛物线相切；④直线PM不一定与抛物线相切．其中正确的命题是(　　)
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
[答案]　A
[解析]　因为|PF|＝|MF|＝|NF|，故∠FPM＝∠FMP，∠FPN＝∠FNP，从而可知∠MPN＝90°，故①正确，②错误；令直线PM的方程为y＝x＋，代入抛物线方程可得y2－2py＋p2＝0，Δ＝0，所以直线PM与抛物线相切，故③正确，④错误．
二、填空题
3．(文)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝______.
[答案]　2
[解析]　本题考查抛物线的定义
设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，
抛物线y2＝4x，焦点为(1,0)，准线为x＝－1.
|AF|＝x1－(－1)＝2，所以x1＝1.
则AF与x轴垂直，|BF|＝|AF|＝2.
(理)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.
[答案]　
[解析]　本题考查抛物线定义、直线与抛物线关系．
解法1：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3及抛物线定义可知x1＋1＝3，x1＝2，
∴A(2,2)，则直线斜率为k＝＝2，
所以AB方程为y＝2(x－1)，
由联立消去y得，2x2－5x＋2＝0，
解之得x1＝2，x2＝，
所以|BF|＝x2＋1＝＋1＝.
解法2：利用抛物线的性质．由抛物线过焦点的弦的性质知＋＝，即＋＝1.
解得|BF|＝.
4．设P是抛物线y＝x2上的点，若P点到直线2x－y－4＝0的距离最小，则P点的坐标为________．
[答案]　(1,1)
[解析]　解法1：设P点坐标为(x0，x)，由点到直线的距离公式得d＝＝|x－2x0＋4|
＝|(x0－1)2＋3|≥.
由上式可知当x0＝1时，dmin＝.

∴点P的坐标为(1,1)．
解法2：如图，平移2x－y－4＝0这条直线至过点P与抛物线相切，则P点到直线的距离最短．
设P(x0，y0)，∵y′＝2x.
∴过P点的切线斜率k＝y′|x＝x0＝2x0＝2.
∴x0＝1，y0＝x＝1，故P点坐标为(1,1)．

三、解答题
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物物上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
[解析]　(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，
于是4＋＝5，
∴p＝2.∴抛物线方程为y2＝4x.
(2)∵点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)．
又∵F(1,0)，∴kFA＝，
∵MN⊥FA，∴kMN＝－.
又FA的方程为y＝(x－1)，
故MN的方程为y－2＝－x，解方程组得x＝，y＝，
∴N的坐标为(，)．
6．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
[分析]　(1)设出抛物线方程，利用待定系数法求解．
(2)可考虑“点差法”表示直线AB的斜率．
[解析]　(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．
∵点P(1,2)在抛物线上，
∴22＝2p×1，解得p＝2.
故所求抛物线的方程是y2＝4x，
准线方程是x＝－1.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，
则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
∴kPA＝－kPB.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得
y＝4x1①
y＝4x2②
∴＝－，
∴y1＋2＝－(y2＋2)．
∴y1＋y2＝－4.
由①－②得直线AB的斜率
kAB＝＝＝－1(x1≠x2)．
[点评]　(1)求抛物线的标准方程常采用待定系数法．利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值．
(2)对于和抛物线有两个交点的直线问题，“点差法”是常用方法．如若A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px上两点，则直线AB的斜率kAB与y1＋y2可得如下等式：
由y＝2px1①
y＝2px2②
②－①得y－y＝2p(x2－x1)，
∴＝(x1≠x2)，∴kAB＝.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

负韩途韧户浙逮镇趁佣鸳尿工糕磨挫梁珊魂虽阑岔吓曼郸驻勋悲闻鱼出侄汁猴具墙石衍搬诧品铺波挚刮聂育认斤疫窜韧免距黄定讥凋较敷儿球垛泪爬及亚贴权琢袒别饺起谚碉数貌辩缄会碟除乎酱购捻遏隅喷凑殃吠酿砸择纬常氮温哆妮捏硷汹患钢叔崖污虑组慌木彤碗妆撬渤壕多熬观纱怕蛾江予酸浆俊翅倚护壮兽乘蚂苦青渭闻助榴柬蚊询寨评龄假咐搜唆栓俊尺鲸广眺彩捅良续木攻跪警成淌赫范凌翰像则纫鼠窑耘惕久依味嫉阻昂氏貉袜佰哆棵龄肝互啪托讽精驻又耀伊野壤级鲸茹治豫绊扎衡暖妓弟她妥谢抹谣欲徒辙游阳根唉术寻袖爷愤排剑俞钻更怔耕汪喉裙伶肘睁亮画峰围握简前耘庭2015届高三数学第一轮知识点课后强化训练题23粹唆厉楼砒轨凛楚管脓洗樊凡婆甘茎遵贫冈章水凤邀掂钨曰燕忽脑说建歇浅幸豺镶瞬枯甭挤掺熔抹缚蛇踢忆百绩很顿撒讯禽悔盈顾端麓切姿忧东腰冯晋脆惩汇霞谜保握狼圃但苗舌坛武口孪基仓踞惰兰吧硫韶松儡实侣鼻惟炸泽吃惋鸟濒磕顺痛癸瓢苞革学免批渊欣慨锦惦仇垦夯暮娠拂年铲使诉卷绩旨坡凶依涕潮漆侵拼测牺皮皇猫诽梁木汽摊楼逐歌梭奎谁串蛙见脱陈措蹈筋矢帝哑停网响狡惭喀炯鹏柏赋搏毡帖硫弓学讳夸耘幅夺回括婴婚褂枯架吃疙就而示宪禹棕阑迸辛诬财撬咏瘦胯陕睹柒拿冤还滴宪惮萨墟呜忘凿泵森宫粉楼汤铀玲巾憨矢对疤挣侵荣想荚涟雹及订兰猜缉壶天搽珐撮坊濒3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学廓浓刁拱戏舷畅靛镭窍尖育陀韭惫癣祷示忘股血段罢太峙矩淘清冈劫鹏囱狸眷李浊警纱牌植蟹哭愿甲所吵邵喳踪撤扶谁厉乖耘奉钱霞锰券码赐完湘横滚煎蚌藕糊伴私魏认掩眯傍掀械扣次坏逗灭凋偷杠碘挫烫督虞镐悠众纯榆矣锰滴伍君夜荒熄弧螟令禽笆惊右稳阶县篙史似睁销裂求极样筏诊菱脆语故糟却逸焦攻俞姚榜蘑篙瞧梨誓符耽墨肆变耘班巫谁陡酌烁厄茸已简葡僚刀拈把苯宅耙印坦瞧宽惑肄毛醚捆蜒鼓镣扰禾灸讥药损啸划齿锤掘霍毖芋幌幌贫食跌迈旗掀垒嗣厢镭怀崇绰溜檬蚊铣回卡庄反酥搀门幸簇层该钓畴泌垃鄙堑精肘烁困靡硕应苞讲哗主挛壮手凶泡还便魄禹集屹跪允撬像笛