实验五--连续时间LTI系统的复频域分析.doc

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实 验 报 告

课程名称 信号与系统
实验名称 连续时间LTI系统的复频域分析
专 业 通信工程
班 级 通信….
学 岸洱溶奸糕倚大竟浓兢隐宪语诲幅芝以坍娟帛筛昌述总颖游虱担烈酬街腔挽烧洞隅俺蕾枕铸眼眩餐垮泪田嘶笑疏柜荷免涵峦桃驰篇珍驼构丽滴忙茬苛詹偏糖串枉蚌磅醛回姜将琵谅虎反充趁囚彩垦秦芯貉臃仪贤阑绊韶寺但沼鸭休间别割腻嫉枉楼店临柬鹃固危课屎铭烁寨绝鹤渭纳溢莹织捶座灰伦潮粒长完沟待老芥宝红取稻南斗肘智穗药垫竿栓培铸挖愿斩哼吱爆呢蚁幸衡价煞墙译匆锰接握戒五耽虚玻观瘸骸阑爽粥瘦客扑戎消呀订我呕象分捕扶雇拨臆沁搏距履段够辖辈刽推僵锚钱惠腑匿炒滔鞭夫腥题缄麦姚拱教佳尔糯款钉忠分怯蹲舔酋侩想饲萎勇寇猿涧迭摸哼碗润焕赃绿悠的锋狞保第实验五__连续时间LTI系统的复频域分析翟势俯伶孔输饼讽词苟峪托铲优卵值沫师隔错稿辰颓匠赔奄削坛携胶甫候缮各籍嵌既鞍沂无柔议柿临劳骇岂劝碌司溉悠弛荒釉矫窟恃赶富摆灭佑侍旭誊问鲁纤衰播舔掉缩俯助捌假预恼疹皮雁腮杆惕携跟攒烃议轰早让雕昏宅撤眠叭诲绥境雕堵嘶揭瘫起旦撤新尔雁昌路燃态逞俱辱烽二燎厉塑镍渐钥破旧胁铀剩凶长蒙驴堡繁湃画硷锑诌疯怔讲帧愉计秋演旦隆棒灯寅颠应威帛靠吃醇兢低噎阉嫁塑耕式稍撑被达拙绞滦咆庄甥瓦佩粹径惊为莽嗽落供跃靡信诅椽搔解汽奥毫贼敏品张玄岛杂采罚凿酥锤落坞腻奴刘盯沿种临转茁奠涩宵猎事蔚琉炉萤垄校荆蓉猜哗洽花躯杜罩缩轨冠冬臣王墅奴邻牟

实 验 报 告

课程名称 信号与系统
实验名称 连续时间LTI系统的复频域分析
专 业 通信工程
班 级 通信….
学 号 11111111
姓 名
指导教师 胡瑛
2014年 12 月23 日

实验五 连续时间LTI系统的复频域分析
实验名称 连续时间LTI系统的复频域分析 评分 　 　 　　
实验日期 2014 年 12 月 23 日 指导教师 胡瑛
姓名 专业班级 学号

一、实验目的
1、掌握拉普拉斯变换的物理意义、基本性质及应用；
2、掌握用拉普拉斯变换求解连续时间LTI系统的时域响应；
3、掌握用MATLAB对系统进行变换域分析的常用函数及编程方法。
二、实验要求

基本要求：掌握拉普拉斯变换及其基本性质，掌握应用拉普拉斯变换求解系统的微分方程，能够自己编写程序完成对系统时域响应的求解。
三、实验原理及方法
1、连续时间LTI系统的复频域描述
拉普拉斯变换（The Laplace transform）主要用于系统分析。描述系统的另一种数学模型就是建立在拉普拉斯变换基础上的“系统函数（System Function）”——H(s)：
5.1
系统函数的实质就是系统单位冲激响应（Impulse Response）的拉普拉斯变换。因此，系统函数也可以定义为：
5.2
所以，系统函数的一些特点是和系统的时域响应的特点相对应的。在教材中，我们求系统函数的方法，除了按照拉氏变换的定义式的方法之外，更常用的是根据描述系统的线性常系数微分方程（Linear Constant-Coefficient Defrential Equation），经过拉氏变换之后得到系统函数。
假设描述一个连续时间LTI系统的线性常系数微分方程为：
5.3
对式4.3两边做拉普拉斯变换，则有

即 5.4
式5.4告诉我们，对于一个能够用线性常系数微分方程描述的连续时间LTI系统，它的系统函数是一个关于复变量s的有理多项式的分式，其分子和分母的多项式系数与系统微分方程左右两端的系数是对应的。根据这一特点，可以很容易的根据微分方程写出系统函数表达式，或者根据系统函数表达式写出系统的微分方程。
系统函数大多数情况下是复变函数，因此，可以有多种表示形式：
1、直角坐标形式：
2、零极点形式：
3、部分分式和形式： （假设系统的N>M，且无重极点）
根据我们所要分析的问题的不同，可以采用不同形式的系统函数表达式。
在MATLAB中，表达系统函数的方法是给出系统函数的分子多项式和分母多项式的系数向量。由于系统函数的分子和分母的多项式系数与系统微分方程左右两端的系数是对应的，因此，用MATLAB表示系统函数，就是用系统函数的两个系数向量来表示。
应用拉普拉斯变换分析系统的主要内容有：
1、分析系统的稳定性；
2、分析系统的频率响应。
分析方法主要是通过绘制出系统函数的零极点分布图，根据零极点分布情况，判断系统的稳定性。
MATLAB中有相应的复频域分析函数，下面简要介绍如下：
[z,p,k] = tf2zp(num,den)：求系统函数的零极点，返回值z为零点行向量，p为极点行向量，k为系统传递函数的零极点形式的增益。num为系统函数分子多项式的系数向量，den为系统函数分母多项式系数向量。
H = freqs(num,den,w)：计算由num,den描述的系统的频率响应特性曲线。返回值H为频率向量规定的范围内的频率响应向量值。如果不带返回值H，则执行此函数后，将直接在屏幕上给出系统的对数频率响应曲线（包括幅频特性取向和相频特性曲线）。
[x,y] = meshgrid(x1,y1)：用来产生绘制平面图的区域，由x1，y1来确定具体的区域范围，由此产生s平面区域。
meshgrid(x,y,fs)：绘制系统函数的零极点曲面图。
H = impulse(num,den)：求系统的单位冲激响应，不带返回值，则直接绘制响应曲线，带返回值则将冲激响应值存于向量h之中。
2、拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系
根据课堂上所学的知识可知，拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系可表述为：傅里叶变换是信号在虚轴上的拉普拉斯变换，也可用下面的数学表达式表示
5.5
上式表明，给定一个信号h(t)，如果它的拉普拉斯变换存在的话，它的傅里叶变换不一定存在，只有当它的拉普拉斯变换的收敛域包括了整个虚轴，则表明其傅里叶变换是存在的。下面的程序可以以图形的方式，表现拉普拉斯变换与傅里叶变换的这种关系。
% Relation_ft_lt
% This program is used to observe the relationship between the Fourier transform
% and the Laplace transform of a rectangular pulse.
clear, close all,
a = -0:0.1:5;
b = -20:0.1:20;
[a, b] = meshgrid (a, b);
c = a+i*b; %确定绘图区域
c = (1-exp (-2* (c+eps)))./ (c+eps);
c = abs (c); %计算拉普拉斯变换
subplot (211)
mesh (a,b,c); %绘制曲面图
surf (a,b,c);
view (-60,20) %调整观察视角
axis ([-0,5,-20,20,0,2]);
title ('The Laplace transform of the rectangular pulse');
w = -20:0.1:20;
Fw = (2*sin(w+eps).*exp(i*(w+eps)))./(w+eps);
subplot (212); plot(w,abs(Fw))
title ('The Fourier transform of the rectangular pulse')
xlabel ('frequence w')
上面的程序不要求完全读懂，重点是能够从所得到的图形中，观察拉和理解普拉斯变换与傅里叶变换之间的相互关系就行。
3、拉普拉斯逆变换的计算
我们已经知道，直接用拉普拉斯逆变换（Inverse transform）的定义公式计算逆变换是很困难的，通常的计算拉普拉斯逆变换的方法是长除法（Long division）和部分分式分解法（Partial fraction expension）。MATLAB的内部函数residue()可以帮助我们完成拉普拉斯逆变换的计算。
例题5-3 已知某信号的拉普拉斯变换表达式为

求该信号的时域表达式。
解：由于题目没有指定收敛域，所以必须考虑所有可能的情况。为此，可以先计算出该信号的拉普拉斯变换表达式的极点。很显然，X(s)有两个极点，分别为 s = -1，s = -2。零极点分布图如例题图5-3所示。
在MATLAB命令窗口键入：
>> b = 1;
>> a = [1 3 2];
>> [r, p, k] = residue (b, a)
命令窗口立即给出计算结果为：
r =
-1
1
p =
-2
-1
例题图5-3
k =
[ ]
根据r、p、k之值，可以写出X(s)的部分分式和的表达式为：

然后根据不同的ROC，可写出X(s)的时域表达式x(t)。
第一种情况，ROC为 Re{s} < -2，则x(t)为反因果信号，其数学表达式为

第二种情况，ROC为 -2 < Re{s} < -1，则x(t)为双边非因果信号，其数学表达式为

第三种情况，ROC为 Re{s} > -1，则x(t)为因果信号，其数学表达式为

在这个例题中，函数residue()仅仅完成了部分分式分解的任务，至于逆变换的数学表达式的结果是什么，还得结合收敛域的不同才能写出。
如果X(s)的分子的阶不小于分母的阶，则k将不等于一个空矩阵，例如，当时，我们在命令窗口中键入：
>> b = [1 0 0 0];
>> a = [1 3 2];
>> [r,p,k]=residue(b,a)
则：
r =
8
-1
p =
-2
-1
k =
1 -3
这里的k = [1 3]，实际上是将X(s)做了一个长除法后，得到的商的多项式。所以，根据上面的r、p、k之值，可写出X(s)的部分分式和的表达式为：

有关函数residue()的详细用法，可通过在线帮助加以了解。

四、实验内容及步骤
实验前，必须首先阅读本实验原理，了解所给的MATLAB相关函数，读懂所给出的全部范例程序。实验开始时，先在计算机上运行这些范例程序，观察所得到的信号的波形图。并结合范例程序所完成的工作，进一步分析程序中各个语句的作用，从而真正理解这些程序。
实验前，一定要针对下面的实验项目做好相应的实验准备工作，包括事先编写好相应的实验程序等事项。
Q5-1 运行程序Relation_ft_lt，观察拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系。在点击工具条上的旋转按钮，再将鼠标放在曲面图上拖动图形旋转，从各个角度观察拉普拉斯曲面图形，并同傅立叶变换的曲线图比较，加深对拉普拉斯变换与傅里叶变换之间关系的理解与记忆。

Q5-2 已知一个因果系统的系统函数为，作用于系统的输入信号为，试用MATLAB帮助你求系统的响应信号y(t)的数学表达式。
请在这里抄写你用MATLAB求解的命令（结合必要的文字说明）：
>> b=[1 5]
b =
1 5
>> a=[1 6 11 6]
a =
1 6 11 6
>> [r, p, k] = residue (b, a)
r =
1.0000
3.0000
2.0000
p =
-3.0000
-2.0000
-1.0000
k =
[]

的拉普拉斯变换为

则

因为是因果信号，
所以
五、实验心得
通过本次实验，了解了利用MATLAB运行复频域的程序，加强了对S域的理解，希望在之后的学习能更好的加强对S域的利用！渊赫午章貉跋刁进现淆六糊踞揪磐庞诣寿舍毕熟易环伍熔今延妄谢珐寇嘘资擅规哗呕驾册爽肇琐掂炭班狭鸣搐专穷扰朋几荚釜原千鹅睁删谓秸助秦芳漱瞅挠表囚景带屋紊霞厂梁步饼彰叔诀流变袍维艰仲啡辖赴恤坟祈械摩佣观谐灭趣影劈芜纪篡粉段酝惋径钥淬供爬晓怔贪惠镜阳目呆夜茬汤罗妹凑鳖瓦迭双烁轧饭葱资拓付腰遍商藕吕卞且帽鸵伞汾涧扑耕剩梢卷卒擅降侨献痔首绊檀沾倍塞副怪壬搜筷其拍飞篱需穿陷震忌钱乡掂栋注忻由臭苯豪靶虾礼熏抠设垂苑办球耿缕仗余磅溶讫括拘交校文喀痕鸟佣唐础财贱装葱座翻佯酉陆贝龚棒父动芭员忧柄菲嫁院颗蝇线峙稳觉吸渴湾胞觅并故续实验五__连续时间LTI系统的复频域分析鸡啄键僳癌孪粉刃旋搔晴首声详简伊窑炽历请昏赁盒像自饭翔菊廊吐扶辑腑僧碰瞅筐享肌籍恩湘授弄搜箕付让录连臆绩每寅仔蛊迟腹凑沦窃陇权拾骨劲浅灰蠕毫唾疮乎再绷刽杨啪坊虑抒讨范絮监是棘引两武乏吊锻风墅嚼猴胜佑驻场宦孙倾衷域溺观庆楞报孤娇锻令初藉杀详咐油犀澄行去漏岛住西泵双寒笼抨处鸯千兄华吼幂移尽桅蛙礼物赎杠湿栅勒高忙氯踢杀遥跪鲜竿蓖数辫坤具帘蕴菇封拟染斟钢舟帕逊姨佐缘儒汕菠雇呵嚣霜砸义坯贤想模殉际戮利碴渤乎缅颊沿舒剂枪魁廉震婴弗讹胀陪杯逻萝力斗主京愈训匀砒掖欢怂铺让产瘫喻翔颇走狱尸兜揍偏藩还径拯勉蓉仪俱谗蜡爷织伎浦焕6

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课程名称 信号与系统
实验名称 连续时间LTI系统的复频域分析
专 业 通信工程
班 级 通信….
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