1、梁的基础知识2023/5/241为什么研究梁？联系与区别为什么研究梁？联系与区别 n离散系统（有限自由度）三要素（质量、弹簧、阻尼）常微分方程n连续系统（无限自由度）弹性体原件（杆、梁、轴、板等）偏微分方程2023/5/242n常微分方程（个数与自由度数相同、自变量是t）n偏微分方程（自变量有时间t、位置x）2023/5/243研究梁的什么？研究梁的什么？振动方面：固有频率（特征行列式为0，三角函数）振型（每个固有频率对应一个振型）响应（叠加，振型叠加法，正交性）2023/5/244固有频率特征方程（行列式、线性代数）方程的处理（高数微分方程）列方程（理论力学、材料力学）2023/5/245欧
2、拉梁与铁木辛柯梁欧拉梁与铁木辛柯梁求解这两种梁时的思路是一致的，只是铁木辛克梁考虑了转动惯量与剪切变形的影响，所以在列运动方程时复杂一点，本质区别2处：1、欧拉梁中弯矩与挠度关系中涉及到的转角，是由弯矩引起，而铁木辛克梁中考虑了剪切变形，存在由剪力引起的转角。2、列转动方程时，后者由于考虑了转动惯量的影响，会多出一项。2023/5/246欧拉梁设梁的长度为设梁的长度为l l，材料密度和弹性模量为，材料密度和弹性模量为 和和E E，截面积和截面二，截面积和截面二次矩为次矩为S S(x x)和和I I(x x)，为单位长度质量，为单位长度质量，EIEI(x x)为梁为梁的抗弯刚度。的抗弯刚度。20
3、23/5/247铅垂方向受力平衡+转动方程2023/5/2482023/5/249此方程含对空间变量x的四阶偏导数和对时间变量t的二阶偏导数，求解时必须列出4个边界条件和2个初始条件。常见的边界条件：位移、转角（几何边界条件）弯矩、剪力（力的边界条件）（1）固定端（2）铰支端（3）自由端2023/5/2410n解方程解方程梁的自由振动（分离变量法）梁的自由振动（分离变量法）2023/5/24112023/5/2412高数知识（写成简单的形式）2023/5/24132023/5/2414简支梁为例，求固有频率与振型简支梁为例，求固有频率与振型梁弯曲振动振型函数的一般表达式为：简支端的边界条件（位
4、移、弯矩为0）简支梁的边界条件为2023/5/2415振型函数表达式变为：频率方程固有频率为 振幅，模态实验2023/5/2416 简支梁的各阶振型2023/5/24172023/5/2418响应的求解（振型叠加法）振型函数正交性：如同坐标系 x y z （1）不同固有频率对应的振型函数关于质量的正交性：正则化 2023/5/2419（2）不同固有频率的振型函数关于刚度的正交性：正则化2023/5/2420 根据振型函数的正交性，可将多自由度系统模态叠加法的思想应用于连续系统。即将弹性体的振动表示为各阶模态的线性组合，用于计算系统在激励作用下的振动规律。以承受分布载荷作用的细直梁的弯曲振动方程
5、为例 初始状态：将方程的解写作振型函数的线性组合：2023/5/2421 将之代入动力学方程可得：将上式各项与i i(x)(x)相乘后沿梁的全长积分：交换积分与求和次序：2023/5/2422利用正交性条件可得：其中Qi(t)是与广义坐标qi(t)对应的广义力，解可利用杜哈梅积分写出：广义坐标和广义速度的初始值由初始条件确定：2023/5/2423解出响应2023/5/2424欧拉梁 铁木辛柯梁忽略剪切变形时，微段为虚线所示，忽略剪切变形时，微段为虚线所示，截面法线与梁轴线的切线重合。截面法线与梁轴线的切线重合。考虑剪切变形时，截面法线与考虑剪切变形时，截面法线与梁轴线之间有一夹角梁轴线之间有一夹角2023/5/2425 由材料力学知 微段在y方向移动的运动方程仍为：由于考虑微段转动惯量的影响，微段的转动方程为：对于等截面梁，由上两式消去，可以得2023/5/2426 式中第三项和第四项表达了转动惯量和剪切变形的影响，该方程仍可用分离变量法求解。对于简单的梁，可以利用端点条件求出固有频率和主振型，对于复杂的梁，可以用传递矩阵或其他近似解法。2023/5/2427谢谢 谢谢2023/5/2428
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