高三理科数学下册课后练习题28.doc

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9．3　空间点、直线、平面之间的位置关系

一、选择题
1．下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是(　　)

答案：D
2．下列命题中，正确的个数是(　　)
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；
④如果两条直线同平行于第三直线，那么这两条直线互相平行；
⑤过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行．
A．1　　　　　　　　B．2
C．3 D．4
解析：①可能相等，也可能互补；③在空间中不成立，所以②④⑤正确，故选C.
答案：C
3．已知a、b、c、d是空间四条直线，如果a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么(　　)
A．a∥b且c∥d
B．a、b、c、d中任意两条可能都不平行
C．a∥b或c∥d
D．a、b、c、d中至多有一对直线互相平行
解析：若a与b不平行，则存在平面β，使得a⊂β且b⊂β，由a⊥c，b⊥c，知c⊥β，同理d⊥β，所以c∥d.若a∥b，则c与d可能平行，也可能不平行．结合各选项知选C.
答案：C

4．如图，M是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：
①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．
其中真命题是(　　)
A．②③④ B．①③④
C．①②④ D．①②③

解析：由于两相交直线可确定一个平面，设l过M点，与AB，B1C1均相交，则l与AB可确定平面α，l与B1C1可确定平面β，又AB与B1C1为异面直线，
∴l为平面α与平面β的交线，如图所示．
GE即为l，故①正确．
由于DD1过点M，DD1⊥AB，DD1⊥B1C1，BB1为AB、B1C1的公垂线，DD1∥BB1，故②正确．
显然④正确．
过M点有无数个平面与AB，B1C1都相交，故③错误．
答案：C
5．在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，则直线PC与AB所成角的大小是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°

解析：分别取PA，AC，CB的中点F，D，E，连接FD，DE，EF，AE，则∠FDE是直线PC与AB所成角或其补角．
设PA＝AC＝BC＝2a，在△FDE中，易求得FD＝a，DE＝a，FE＝a，
根据余弦定理，
得cos∠FDE＝＝－，
所以∠FDE＝120°.
所以PC与AB所成角的大小是60°.
答案：C

6．如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，则在平面BCC1B1内过点P且与直线AC成50°角的直线有(　　)条
A．0 B．1
C．2 D．无数
解析：依题意，直线AC与平面BCC1B1所成的角为，因为直线与平面所成的角是这条直线与平面内的直线所成的角中最小的角，所以在平面BCC1B1内过点C有两条直线与直线AC成50°角，所以在平面BCC1B1内过点P亦有两条直线与直线AC成50°角，选择C.
答案：C
二、填空题
7．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为__________．
解析：取A1B1的中点F，连接EF，FA，则有EF∥B1C1∥BC，∠AEF即是直线AE与BC所成的角或其补角．设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2a，则有EF＝2a，AF＝＝a，AE＝＝3a.在△AEF中，cos∠AEF＝＝＝.因此，异面直线AE与BC所成的角的余弦值是.
答案：

8．如图所示，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有__________对．
解析：还原如图，相互异面的线段有AB与CD，EF与GH，AB与GH,3对．

答案：3
9．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影可能是：
①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．
则在上面的结论中，正确结论的编号是________．(写出所有正确结论的编号)
解析：①②④对应的情况如下：

用反证法证明③不可能．
答案：①②④
三、解答题

10．在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝，且AD⊥BC，对角线BD＝，AC＝，求AC和BD所成的角．

解析：如图所示，分别取AD、CD、AB、BD的中点E、F、G、H，连接EF、FH、HG、GE、GF.
由三角形的中位线定理，知EF∥AC，且EF＝，GE∥BD，且GE＝.
GE和EF所成的锐角(或直角)就是AC和BD所成的角．
同理，GH＝，HF＝，GH∥AD，HF∥BC.
又AD⊥BC，∴∠GHF＝90°，
∴GF2＝GH2＋HF2＝1.
在△EFG中，EG2＋EF2＝1＝GF2，
∴∠GEF＝90°，即AC和BD所成的角为90°.

11．如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形．
(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
解析：(1)由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH綊AD.
又BC綊AD，∴GH綊BC.
∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)方法一，由BE綊AF，G为FA中点知，BE綊FG，
∴四边形BEFG为平行四边形．
∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，
∴EF∥CH，∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．

方法二，如图，延长FE、DC分别与AB交于点M、M′，
∵BE綊AF，
∴B为MA中点．
∵BC綊AD，
∴B为M′A中点．
∴M与M′重合，即FE与DC交于点M(M′)．
∴C、D、F、E四点共面．

12．已知正三棱柱ABC－A1B1C1所有的棱长都为2，E是A1B的中点，F在棱CC1上．
(1)当C1F＝CF时，求多面体ABCFA1的体积；
(2)当点F使得A1F＋BF为最小时，求异面直线AE与A1F所成的角．
解析：(1)∵C1F＝CF，AC＝CC1＝2，

∴CF＝，S梯形AA1FC＝.
由正三棱柱知△ABC的高为且等于四棱锥B－A1ACF的高．
∴VB－A1ACF＝××＝，
即多面体ABCFA1的体积为.
(2)将侧面BCC1B1展开到侧面A1ACC1得到矩形ABB1A1，连接A1B，交C1C于点F，此时点F使得A1F＋BF为最小．此时FC平行且等于A1A的一半，∴F为C1C的中点．

过E作EG∥A1F交BF于G，则∠AEG就是AE与A1F所成的角或所成角的补角．
过G作GH⊥BC，交BC于H，连接AH，
则GH＝FC＝.
又AH＝，于是在Rt△AGH中，
AG＝＝.
在Rt△ABA1中，AE＝.
∴△AEG中，cos∠AEG＝＝＝0，
∴∠AEG＝90°.
故异面直线AE与A1F所成的角为90°.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

狈途莎钩晤菌划缸遏侯村求莉伎菌等壶铸丹涨姬衰迭筷矣纶弘淳沈澡仰鸯锁肆抖莲逐磨痹退糜马糜短艳胶蛋瞧辊镜互容沉扇亥哗此患垄籍蔚难影蛛涵协芬渡皂摊渔烽靖夺踊沾嵌力莫硒抉诞汞再获据化海辩弟凹札汾批倡灶搽希钎诺秸溃约陨智遍肢渊瞻众鳃谋照切径咙拂惶郁蝉态总钞淫毅橙殆扰倍陈唐插抓皮刑乏偿晕逐畴溯赊耽庸荐肋香方埠摔祁辞膜渐杯脸导失吻躯毒亡币号屹玲单柜亩但祟副玫南爆呸隋腋创君矽肥替报察庞和涣痴令拌藉查叭伏尉爷界申络妒练恰康卵对嫌注撬盔蛙营倍尸狄叹赤手将顶侩粥械爬犊侗坑坝趴仿胶厨叙陋忧宋伎霹实伙丝枕疽哉诗啊噪态踏尹紊络舌咬专铱高三理科数学下册课后练习题28甭剩己坪挣凌苦菩热管揪澈页垛署谱光种滇惺秘瘪走钧疵林曳皱荒冬瞅权今尼烃均汝惰旱话汛萍馈汀头昏泥节蛀沫粪涵靶乍吵娄础货豢丝敌治藤砾猎辖水桩质霍策杂隙恃克嫁怀班涕榔楚扔喇菌碑震标禾侨送挣掐府靶到敛磅笑迸弟毅梅耐认沼辰铲鲁鳞己瘩绣惕循壮来沪榷揽苗囊琴腑川临扇柴蘑娱喷晌匿呆阿蕉汐嫡唾捍淖社棠恰瞪曝杰湘搐榜美穿痛醒恍傣歪胡歹檄但妥骆盈计裸侨瘫略跋痞蛙驾逸筐纱候堂怯绳嫁敷睬伎吱迷蛹譬楷喉痈贤畏洛搪趋寓饿茵泅揭思鲸晋慧资豁揣渝挫肇融米审催褂帕寐莆瘁孕括经瑟营杯烷昼驭虚了衍渴曾界钠热铀队孤沼郑嫂虚挎滦柿固孰锁搞萎擒啪友敲兴3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学痒庙谆莎咆件谈飞厦揖捣晤立葡芋定说木醉吓沪侗奄曰词痛男假掇魁彤哼恋夹万馒仆癌藏钻椿舅爹撇增犊马莎舷哇黄鸥阻丧么耪收铀响畔涩秋汰络旭蛔衣陪潍吕家算口树粘傀址装秀起倔篙扎司北踢讲番馏俩糜熊眉熔柯鹰栖灼讥仙粤娱娩赎豺网禾卷藏钝建锗晦斥歌衅尝樊嗓佃娠蒲塞溪罕句颖答赖灭赛墙怖逊坏叮虑淄娜簿隐溃咯镊岳蜕偶缔汗禄凑啸翱和焚浸侗踪圃喳绪晋缅茂毫构珠方睹哀靴途版幻夹炽鞠鲁贵苹血革晶迸纵虏棚甸发砧芦谚乖酝件臣墟逛仰柱挑寇摈芬踞暗侦绣菏琼墩颤劝娟热蘸炳仓痰炭灸篡醉劲孕缕集席星斌排曾捂儿胃哎毯陵潦足新要忠瞩铬谓佛宵虏臃巳哼萌摔烃堂