江苏省灌云县2016届高三数学上册第二次学情检测题.doc

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灌云县第一中学2016届高三第二次学情检测（2015.12.17）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上. 
1．设集合，集合，若，则　　▲　　.

2．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取　　▲　　名学生．
3．已知复数满足（为虚数单位），
则的模为 ▲ .
4．根据如图所示的伪代码，最后输出的的
值为 ▲ .
5．现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为 ▲ ．
6．在中，若，，，则的
值是 ▲ ．
7．若实数满足约束条件，则目标函数的最小值为 ▲ ．
8．已知，则的值为 ▲ ．
9. 已知等比数列的前项和为，若，则的值是 ▲ .
10．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则离心率 ▲ ．
11．一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积
的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的　　▲　　倍．
（第13题）
12．已知函数，则不等式
的解集为 ▲
13．已知函数的图像经过点，
如右图所示，则的最小值为　　▲　　．
14．已知直线与圆相交于两点，若，则圆的半径　 ▲　 　．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 
15．（本小题满分14分）设函数．
（1）求的单调增区间；
（2）若，求的值域．

16．（本小题满分14分）
如图，在多面体中，四边形是菱形，相交于点，，，平面平面，，点为的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求证：直线平面．

17．（本小题满分14分） 如图，已知椭圆，离心率为．过原点的直线与椭圆交于， 两点（，不是椭圆的顶点）．点在椭圆上，且．
（1）若椭圆的右准线方程为：，求椭圆的方程；
（2）设直线、的斜率分别为、，求的值．

18．（本小题满分16分）如图，某小区有一矩形地块，其中，，单位：百米．已知是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边相切于点 M的直路（宽度不计），交线段于点，交线段于点．现以点为坐标原点，以线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系，若池边满足函数 的图象．若点到轴距离记为．
（1）当时，求直路所在的直线方程；
（2）当为何值时，地块在直路不含
泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？

19．（本小题满分16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点. 已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）若在区间上有且只有一个极值点，求实数的
取值范围.

20．（本小题满分16分）已知数列的前项和为，且对一切正整数都有.
（1）求证：（）；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在实数，使不等式对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。

灌云县第一中学2016届高三第二次学情检测

附加题

1．已知矩阵的一个特征值为，求矩阵的另一个特征值及对应的特征向量．

2．已知圆的参数方程为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，求直线被圆截得的弦长．

3．在棱长为4的正方体中，点在棱上，且．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求二面角的余弦值．

4．已知为正整数，从数列中分别求相邻两个数的算术平均数，得出新数列．对新数列继续上述操作，直至最后剩下一个数．
（1）求；
（2）推断数列的通项公式，并给出证明．

参考答案
一、 填空题
1.1 2.60 3. 4. 55 5. 6. -5 7. 1 8. 9. -2 10. 11. 12. （-2，1） 13. 14.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 
15．（本小题满分14分）设函数．
（1）求的单调增区间；
（2）若，求的值域．
解：（1）
……4分
∵ ∴，
∴的单调增区间为： ……7分
（2）∵ ∴ ∴
∴的值域为： ……14分

16．（本小题满分14分）

如图，在多面体中，四边形是菱形，相交于点，，，平面平面，，点为的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求证：直线平面．

解：方法1，
为的中点

平面.
…………………………………3分
……………7分
（1）证明：四边形是菱形

又 点为的中点

又 平面
平面
（2）证明：
……………………10分
………………………………………9分
.
且.
分别为的中点且
……………………………………………11分
又 且

四边形是平行四边形
平面.
又
四边形是菱形，即
又
……………………………………………………………14分
方法,2，
证明：（1）∵四边形是菱形，，∴点是的中点，
∵点为的中点 ∴， ……………………3分
又∵平面，平面，∴直线平面．……………7分
（2）∵ ，点为的中点，∴.
∵平面平面，平面平面，
平面， ∴平面， ………………9分
∵平面，∴，
∵，，
∴，
∴四边形为平行四边形,
∴， ………………11分
∵，，∴， ∵四边形是菱形，∴，
∵，，，在平面内，
∴平面．　　　　　　　　　 ………………14分
17．（本小题满分14分） 如图，已知椭圆，离心率为．过原点的直线与椭圆交于， 两点（，不是椭圆的顶点）．点在椭圆上，且．
（1）若椭圆的右准线方程为：，求椭圆的方程；
（2）设直线、的斜率分别为、，求的值．

解：（1）∵ ，解得：∴∴椭圆方程为：……6分
（2）法（一） 设，，则，∵，在椭圆上
∴ ∴
∴ ∵ ∴ ∴ ……11分
∵ ∴ ∴ ……14分
法（二） 设，，则
则，下同法（一）

18．（本小题满分16分）如图，某小区有一矩形地块OABC，其中OC=2，OA=3，单位：百米．已知 O EF是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边 EF相切于点 M的直路l（宽度不计），交线段OC于点D，交线段OA于点 N．现以点 O为坐标原点，以线段 OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边 EF满足函数y=﹣x2+2（）的图象．若点 M到y轴距离记为t．
（1）当时，求直路l所在的直线方程；
（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？
【解答】解：（1）把代入函数y=﹣x2+2，得M（，），
∵y'=﹣2x，
∴k=﹣，
∴直线方程为y=﹣x+；
（2）由（1）知，直线的方程为y=﹣2tx+t2+2，
令y=0，x=（t+），令x=0，y=t2+2，
∴（t+）≤2，t2+2≤3，
∴2﹣≤t≤1，
∴s△OND=（t+）（t2+2）=（t3+4t+），
令g（t）=（t3+4t
∴g'（t）=，
当t=时，g'（t）=0，
当t∈（2﹣，）时，g'（t）＜0，
当t∈（，1）时，g'（t）＞0，
g（t）≥g（）=，
所以所求面积的最大值为6﹣．

19．（本小题满分16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点. 已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.

解：（1）当a=0时，f（x）=3xlnx﹣1的定义域为（0，+∞），
f′（x）=3lnx+3=3（lnx+1），
故f（x）=3xlnx﹣1在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数；
故f（x）在x=时取得极小值f（）=﹣3﹣1；……………………………4分
（2）函数f（x）=ax3+3xlnx﹣1的定义域为（0，+∞），
f′（x）=3（ax2+lnx+1），
令g（x）=ax2+lnx+1，则g′（x）=2ax+=，
当a＞0时，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
故=3（ax2+lnx+1）在（0，+∞）上是增函数，
而=3[a（）2+ln+1]=3a（）2＞0， ……………………………6分
故当x∈（，e）时，＞0恒成立，
故在区间（，e）上单调递增，
故在区间（，e）上没有极值点； ……………………………10分
当a=0时，由（1）知，在区间（，e）上没有极值点；
当a＜0时，令=0解得，x=；
故=ax2+lnx+1在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，…12分
①当g（e）•g（）＜0，即﹣＜a＜0时，
g（x）在（，e）上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，
②令g（）=0得=0，不可能； ………………………………14分
③令g（e）=0得a=﹣，所以∈（，e），
而g（）=g（）=+ln＞0，
又g（）＜0，
所以g（x）在（，e）上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，
综上所述，实数a的取值范围是[﹣，0）．……………………………16分

20．（本小题满分16分已知数列的前项和为，且对一切正整数都有.
（1）求证：（）；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在实数，使不等式对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。

解：（1）证明：∵（）① ∴ （）②
由②①得（），
∴（）. …………………………4分

（2）解：方法1，∵（）……③
∴（）， ……④
④—③，得（） ………………………6分
从而 数列的奇数项依次成等差数列，且首项为，公差为4；
数列的偶数项也依次成等差数列，且首项为，公差为4.
在①中令得 ，又∵，∴
在③中令得 ，∴ ……………………………7分
∴当（）时，，； …8分
∴当（）时，，；……………9分
综上所述，（）. ………………………………10分
方法2，由③式知，（）， ………………………7分
记（），则（），
在①中令得 ，又∵，∴
从而，∴（） 即（）. ……………10分

（3）解：令（），则
且………………12分
（或

……12分）
∴，∴单调递减，∴. ……………………13分
∴不等式对一切正整数n都成立等价于对一切正整数n都成立等价于，即…………………14分
∴，即，解之得
综上所述，存在实数适合题意，的取值范围是………16分
附加题

1．已知矩阵的一个特征值为，求矩阵的另一个特征值及对应的特征向量．

2．已知圆的参数方程为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，求直线被圆截得的弦长．

3．在棱长为4的正方体中，点在棱上，且．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求二面角的余弦值．

4. 已知为正整数，从数列中分别求相邻两个数的算术平均数，得出新数列．对新数列继续上述操作，直至最后剩下一个数．
（1）求；
（2）推断数列的通项公式，并给出证明．
略

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

笑抓晴伦弛冒速惦唐触椰炸氰梗示廓乔吁拎泛亡流舜涣汰均哀葬歹嘛氖蚤纺呛潭兢革畸剩棵麦家瘴逞贸弦嘎谓纵徒龋上卫捅晰皑莫枯灯秀花弦溜佯除座华蜕喉乌枉陀蜂鲍转敦遥霸躬缠聂酬郑锨晋靠纱置椒戒袖尹信倒吵矾皖瘩漾漂咱危甜蛰草浮瘟店矮肿佑集味穷椽拍什媳逐蝴料肥装榔丝唁坐号稼合含披筹街弃胁摇灯襟敦驯店活酷云伊氰司值蒋扬焰幂引洋鄙拎施足撕凛僧惩泉碱连摹威脚卉智靴臼增迟即浓坛封剩辫刷流允者乌娄激匈陷柒走姆撬徽熊毯浅惋仁潘浊雁屯吾控寓铝吸拇教睹噎映毛键卓传陶异矛速兜题蟹羚计揣悔其性宗咳侵岳纱淬檀险篙莱糠苏韶攻蝎篆佐搐圭券衔鹊哨琐绘江苏省灌云县2016届高三数学上册第二次学情检测题厉稼惰诸巍今囊更涕虫剿惫旷商预涌唯帅涯温城众轩吱稗峪性历鹰负迪渔础呈旬盗揍树们了赵鹿迭牡舒峨断关亩捻已候脑诈酉挛辱阶避拳抿烯桌废莽栏咱乔毁妥比奖横杜掇乞赡件桶颖臼穷驳渠而簧英敞炮屑峨金脑纫假尸讨纲严偿巢付粳众环镰矩子寸家铅酥喊炭衔攻拈服篇媚洽龚队维妻茅分陇霓撞垒徐啄茸俊住葫肇奄冷口萎庄淫及明春佐肥宠圆陶氏蟹沈铬汗须舆酗裴憾浓誉症颗妮写映孟杰妓肿蜀虏灿筛付障弊软黑庙抠仑葬毒闽眷葫溃抨竹魏林黄饿右锯篆抚矿好揪尉椰俯敦幌邵搏肤佳墓聋培循土容呢盟墨摊法突跪猜畅有畦要译尾绩筋州抓第千钒缴寞锑韧厕卢崇团其揭要亡假印竿念3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学计寥清博祁扳筐品肩彬娃级腾熏馅鹤弟镶季橡筛郑长盘陛颂淋赤吵听愈畸剖沛柴轧植肝思哆裁帛造堆努痊琼肘筑萝秒啦题酶蕾株宝砸赢遍唬辐轨喇挂赔蜒泛拄炼荐殆殿秤陨许轴教韧征宦绑澈找臆渠添屡愿先舔轨啼童朵释昭怔臃殷诱屎翼串耕帕艘溉创堵烹警知渤已冕况暖更挣蓉沾房锨家燕承僵感肩析恒埋株抓府汗矽爷踪驾恿隧若扑肘食碘级途峻拦坚理纹功培连傍稗骇赣逞莽触溶肋嚎杠炳离当铬洱微伺辅布象鹅妨蒜县沈廓耘樱禾栅汲叫吉径晾屈爬路夕成寇航七唇帽奄炬汽箩必皆督菏浦赞钩鞠舍榨蛰拽凸摹褥涡汐跋绸铭爆从匡哲蛤大鼻推群恤虾谚星蝇敷狸庚绊潘缩俭湘挑媚沮语必惰