1、2021/5/1811.1 复 数1.复数的概念 形如 或 的数称为复数。a和b为实数,分别称为复数z的实部和虚部,记作 i称为虚单位,即满足 当且仅当虚部b=0时,z=a是实数；当且仅当a=b=0时,z就是实数0；当虚部b0时,z叫做虚数；当实部a=0且虚部b0时,z=ib称为纯虚数.全体复数的集合称为复数集,用C表示.实数集R是复数集C的真子集.2021/5/182如果两个复数的实部和虚部分别相等,称这两个复数相等.2.复数的向量表示和复平面复数可用点z(a,b)表示 用直角坐标系表示的复数的平面称为复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点表示实数；除了原点外，虚轴上的点表示纯虚数.
2、当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.任一实数的共轭复数仍是它本身.2021/5/183 在复平面上,复数 还可以用由原点引向点z的向量 来表示,这种表示方式建立了复数集C与平面向量 所成的集合的一一对应（实数0与零向量对应）.向量 的长度称为复数z的模，记为|z|或r.3.复数的运算加法减法复数的运算，有关复数的模和共轭复数的性质2021/5/184乘法除法复数的模和共轭复数的性质 2021/5/1854.复数的三角表示和复数的方根复平面C的不为零的点 极坐标是正实轴与从原点O到z的射线的夹角，称为复数z的幅角，记为 满足条件 的幅角称为Argz的主值，记为=ar
3、gz，于是有=Argz=argz+2k,k=0,1,2,.复数的三角表示 z=r(cos+isin)复数的指数形式 2021/5/186例1.1 求arg(-3-i4).解：Arg(-3-i4)=arg(-3-i4)+2k,k=0,1,2,.点-3-i4位于第三象限 k=0,1,2,.例1.2 计算 解：2021/5/187例1.3 把复数 表示成三角形式和指数形式.解：对应的点在第一象限 2021/5/188复数乘法的几何意义 两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的幅角等于这两个复数的幅角的和.2021/5/189两个复数的商的模等于它们模的商，商的幅角等于被除数的幅角与除数的幅角的差
4、.2021/5/1810复数的乘方r=1时，得棣莫拂(de Moivre)公式 复数的开方 设是 已知的复数，n为正整数，则称满足方程的所有的复数为z的n次方根，并且记为 .2021/5/1811设k=0,1,2,.k=0,1,2,.记k=0,1,2,n-1 k=0,1,2,n-1 复数的n次方根是n个复数，这些方根的模都等于这个复数的模的n次算术根，它们均匀分布在一个圆周上。2021/5/1812例1.4 求1-i的立方根.解：1-i的立方根是 例1.5 计算n次单位根.解：立方单位根是 2021/5/18131.2 复平面点集1.平面点集的几个概念(1)邻域 集合 称为z0的邻域，其中0,
5、称为z0的去心邻域.(2)内点、开集 若点集E的点z0，有一个z0的邻域 ，则称z0为E的一个内点；如果点集E中的点全为内点，则称E为开集.2021/5/1814(3)边界点、边界 如果点z0的任意邻域内，既有属于E中的点，又有不属于E中的点，则称z0为E的边界点；集合E所有边界点称为E的边界，记作E.(4)区域 如果集E内的任何两点可以用包含在E内的一条折线连接起来，则称集E为连通集.连通的开集称为区域.区域D和它的边界D的并集称为闭区域，记为(5)有界区域 如果存在正数M，使得对一切zE，有则称E为有界集.若区域D有界，则称为有界区域.2021/5/1815(6)简单曲线、光滑曲线 设x(
6、t)和y(t)是实变量t的两个实函数，它们在闭区间,上连续，则由方程组或由复值函数定义的集合称为复平面上的一条曲线，上述方程称为曲线的参数方程.点A=z()和B=z()分别称为曲线的起点和终点.如果当 时，有 ，称曲线为简单曲线，也称为约当(Jordan)曲线.的简单曲线称为简单闭曲线.2021/5/1816定理1.1 一条闭简单曲线将平面分成两个不相交的区域，以曲线为公共边界.这两个区域，一个是有界的，称为的内部；一个是无界的，称为的外部.如果曲线在 上有 和 存在、连续，而且不同时为零，则称曲线为光滑曲线.由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线，称为分段光滑的曲线.(7)单连通区域 设D为复平
7、面上的区域，如果在D内的任意简单曲线的内部均属于D，则称D为单连通区域，否则就称为多连通区域.2021/5/18172.直线和半平面 设L表示C中的直线，如果a是L上的任一点，b是它的方向向量，那么 对于L上的z，有 假定|b|=1，a=0.于是 ，当且仅当 即 .2021/5/1818 如果“按照b的方向沿着L前进”，H0是位于L的左边的半平面.Ha是由半平面H0平移a而得到的，因此，Ha是位于L的左边的半平面.是位于L的右边的半平面.2021/5/18191.3 扩充复平面及其球面表示设a是异于的一个复数，规定(1)，则 ；(2)，则 ；(3)，则 ；(4)，则 ；(5)的实部、虚部、幅角都无意义；(6)为了避免和算术定律相矛盾，对不规定其意义.2021/5/1820 设想平面上有一个理想点和它对应.这个理想点称为无穷远点.复平面加上，称为扩充复平面C=C.为使的规定合理，规定扩充复平面上只有一个无穷远点.记R3中的单位球面为N=(0,0,1)为S上的北极点,把C等同于R3中的点集 R对于复平面C内任意一点z，用直线将z与北极点N相连接，此直线与球面S恰好交于一点ZN.若|z|1，Z位于北半球面上；若|z|1，Z点位于南半球面上；若|z|=1，那么Z=z.当|z|时，ZN.2021/5/1821
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