解直角三角形的知识点总结.pdf

1解直角三角形解直角三角形一、锐角三角函数一、锐角三角函数（一）（一）、锐角三角函数定义锐角三角函数定义在直角三角形在直角三角形 ABC 中，中，C=900，设，设BC=a，CA=b，AB=c，锐角，锐角 A 的四个三角函数是：的四个三角函数是：(1)正弦定义：在直角三角形中正弦定义：在直角三角形中 ABC，锐角，锐角 A 的对边与斜边的对边与斜边的比叫做角的比叫做角 A 的正弦，记作的正弦，记作 sinA，即，即sin A=,ca（2）余弦的定义：在直角三角行）余弦的定义：在直角三角行 ABC，锐角，锐角 A 的邻边与斜的邻边与斜边的比叫做角边的比叫做角 A 的余弦，记作的余弦，记作 cosA，即，即cos A=,cb（3）正切的定义：在直角三角形）正切的定义：在直角三角形 ABC 中，锐角中，锐角 A 的对边与的对边与邻边的比叫做角邻边的比叫做角 A 的正切，记作的正切，记作 tanA，即，即 tan A=，ba(4)锐角锐角 A 的邻边与对边的比叫做的邻边与对边的比叫做A 的余切的余切,记作记作 cotA 即即aAAAb的对边的邻边cot锐角锐角 A 的正弦、余弦，正切、余切都叫做角的正弦、余弦，正切、余切都叫做角 A 的锐角三角函的锐角三角函数。数。这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：（1）锐角）锐角A 必须在直角三角形中，且必须在直角三角形中，且C=900；（2）在直角三角形）在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。字母表示。否则，不存在上述关系否则，不存在上述关系2注意注意:锐角三角函数的定义应明确锐角三角函数的定义应明确(1)，四个比值四个比值cacbbaab的大小同的大小同 ABC 的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角角 A 取固定值时，它的四个三角函数也是固定的；取固定值时，它的四个三角函数也是固定的；（2）sinA 不是不是 sinA 的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样；一个整体，其他三个三角函数记号也是一样；（3）利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数）利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等；关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等；（二）（二）、同角三角函数的关系、同角三角函数的关系（1）平方关系：）平方关系：122sinCOS(2)倒数关系：倒数关系：tan cota=1(3)商数关系：商数关系：sincoscot,cossintan注意注意：（：（1）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注意它们的变形公式。注意它们的变形公式。(2)的简写，读作的简写，读作“的平方的平方”，不能将，不能将sinsin22是sin前者是前者是 a 的正弦值的平方，后者无意义；的正弦值的平方，后者无意义；22sin写成sin（3）这里应充分理解）这里应充分理解“同角同角”二字，上述关系式成立的前提是所涉及二字，上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同，如的角必须相同，如，而，而1cottan,1223030cossin22就不一定成立。就不一定成立。1cossin22（4）同角三角函数关系用于化简三角函数式。）同角三角函数关系用于化简三角函数式。（三）余角的函数关系式（三）余角的函数关系式任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于3它的余角的正弦值，任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任它的余角的正弦值，任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。即意锐角的余切值等于它的余角的正切值。即sinA=cos(90-A)cosA=sin(90-A)tanA=cot（90-A）cotA=tan(90-A)注意注意：此关系涉及的两角必须互余，左右两边的函数名称不同，：此关系涉及的两角必须互余，左右两边的函数名称不同，其主要作用就是改变函数名称。其主要作用就是改变函数名称。（四）特殊角的三角函数值（四）特殊角的三角函数值003004506009090sin02122231cos12322210tan03313不存在不存在在在在在cot不存在不存在31330（五）三角函数值的变化规律及范围（五）三角函数值的变化规律及范围1.当角度在当角度在 090之间变化时：之间变化时：正弦值岁角度的增大（或减小）而增大（或减小）正弦值岁角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余切值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）余切值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）；2、当、当 0a90时，时，0sina1，0cona1，43.遇到求锐角余切值时，可利用关系式遇到求锐角余切值时，可利用关系式 cotA=tan(90-A)或或 tan cota=1二、解直角三角形二、解直角三角形（一）三角函数的概念（一）三角函数的概念 RTABC 中，中，sin A=,cos A=,tan A=，cacbbaaAAAb的对边的邻边cot（二）解直角三角形（二）解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，一共有在直角三角形中，除直角外，一共有 5 个元素，即个元素，即 3 条边和条边和 2 个个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形程，叫做解直角三角形（三）解直角三角形的依据（三）解直角三角形的依据在在 RtABC 中，中，C=90，A，B，C 所对的边分别是所对的边分别是 a,b,c1.三边之间的关系：三边之间的关系：222cba2.锐角之间的关系：锐角之间的关系：A+B=903.边角关系：边角关系：sin A=,cos A=,tan A=，cacbbaaAbcot4.面积关系：面积关系：chabSABC2121（四）直角三角形的可解条件（四）直角三角形的可解条件1.已知两边可解直角三角形已知两边可解直角三角形2.已知一边及一锐角可解直角三角形已知一边及一锐角可解直角三角形说明：已知两个角不能接直角三角形，因为有两个角对应相等的两说明：已知两个角不能接直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，不一定全等，因此起边的大小不确定。个三角形相似，不一定全等，因此起边的大小不确定。5（五）解直角三角形的基本类型（五）解直角三角形的基本类型已知已知求解求解备注备注已知已知一条一条直角边直角边和一和一个锐角个锐角（如（如a,A A）B=90-A,C=,sinAab=acosA(或或 a=)b22c（1）RtABC中，中，C=90，A，B，C 所对的边分别所对的边分别是是 a,b,c已知斜边和一个锐角（如已知斜边和一个锐角（如c,A）B=90-Aa=csinA,b=CconA(或或 a=)b22c（2）方法要灵）方法要灵活，选择关系式活，选择关系式时，尽量考虑能时，尽量考虑能用原始数据，减用原始数据，减少误差少误差已知两个直角边啊已知两个直角边啊 a,bC=ba22由由 tanA=求求 AbaB=90-B=90-AAC a BAC BaAbC a B6已知斜边和一条直角边（如已知斜边和一条直角边（如a 和和 c）b=ac22由由 sinA=ca求求 A,B=90-A三、坡角与坡度三、坡角与坡度坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度（或坡比）为坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。，即坡度等于坡角的正切。AC a BC