圆的相关定理及其几何证明(含答案).pdf

DBCOA圆的相关定理及其几何证明典题探究例 1：如图，圆是的外接圆，过点 C 作圆的切线交的延长线于点.若OABCOBAD，则线段的长是 ；圆的半径是 .3CD 2ABACADO例 2：如图，在圆 O 中，直径 AB 与弦 CD 垂直，垂足为 E（E 在 A,O 之间），EFBC,垂足为 F若6AB=，5CF CB=，则AE=例 3：如图已知与圆相切于，半径，交于，若,PAOAOCOPACPOB1OC，则 ，2OP PA PB例 4：如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，OPOPAPBC30BPA，,则 ,圆的半径等于 11BC 1PB PAO演练方阵A 档（巩固专练）1如图，已知直线PD切O于点D，直线PO交O于点E,F.若，则O的23,1PFPD半径为 ；.EFDABCOPOPCBA2.如图，AP与OA切于点A，交弦DB的延长线于点P，过点B作圆O的切线交AP于点C.若90ACB，3,4BCCP，则弦DB的长为_.3.如图：圆 O 的割线 PAB 经过圆心 O，C 是圆上一点，PAACAB，则以下结论不正12确的是()A.B.C.PC 是圆 O 的切线 D.CBCPPCACPABCBCBABP4如图，已知是圆的直径，在的延长线上，切圆于点，ABOPABPCOC于若，则圆的半径长为_；_CDOPD6CD 10CP OBP D C B P A O EDCBAO5如图所示，以直角三角形的直角边为直径作，交斜边于点，过ABCACOABD点作的切线，交边于点.则 .DOBCEBCBE6如图，直线 AM 与圆相切于点 M,ABC 与 ADE 是圆的两条割线，且 BDAD，连接 MD、EC。则下面结论中，错误的结论是()AECA=90oBCEM=DMA+DBACAM2=ADAE DADDE=ABBC7如图，切圆O于点,为圆O的直径，交圆O于点，为的中点，ABAACBCDECD且则_；_.5,6,BDACCD AE 8如图，切圆于点，割线经过圆心，则PCOCPABO4,8PCPB ，的面积是 tanCOPOBC9如图，为的直径,切于点,且过点的割线,交的延长线ABOACOACCMNAB于点,若,，则 ，DCMMNND2 2AC CM AD 10如图，是O 上的四个点，过点 B 的切线与的延长线交于点 E.若,A B C DDC，则()110BCDDBEA.B.C.D.75706055ABCDMNOB 档（提升精练）1如图，已知O 的弦 AB 交半径 OC 于点 D,若 AD=4,BD=3,OC=4,则 CD 的长为_2如图,已知圆中两条弦与相交于点是延长线上一点,且ABCDEF,AB,若与圆相切,且,则 BFAFCFDF2,2CE27CEBEEODCBAEBAFDCBCDAOE3如图，是半圆的直径，在的延长线上，与半圆相切于点，ABOPABPDOC若，则_.ADPD4PC 2PB CD 4如图，是的直径，直线切于点，且与延长线交于点，若ABODEODABC，则=CD 31CB ADE5如图，为的直径，弦交于点若，ACOOBACBNACM3OC，则1OM _MN 6如图，是圆的切线，切点为，交圆于两点，PAOAPOO,B C3,1PAPB则=()ABCA B C D706045307如图所示，RtABC 内接于圆，PA 是圆的切线，A 为切点，PB 交 AC60ABC于 E，交圆于 D若 PA=AE，PD=，BD=，则 AP=，AC=33 3ABCOMN8.如图，以的边为直径的半圆交于点，交于点，于ABCABACDBCEEFAB点，那么=，=.F3AFBF22BEEC=CDECD9如图，已知圆中两条弦与相交于点，与圆相切交延长线上于点，ABCDFCEABE若，则线段的长为 2 2DFCF:4:2:1AF FB BE CEEDPCBAFEDCBA10.如图，直线PC与AO相切于点C，割线PAB经过圆心O，弦CDAB于点E，4PC，8PB，则CE C 档（跨越导练）1.如图，是的内接三角形，是的切线，交于点，交ABCOPAOPBACE于点若，则ODPAPE60ABC1PD 9PB _；_PA EC 2.如图，的直径OA与弦交于点，ABCDP7,5,15CPPDAP=，则_ _DCBOPDCBA3.如图，是圆的直径，于，且，为的中点，连接ABOCDABD2ADBDEADCE 并延长交圆于若，则_，_OF2CD AB EF 4.如图所示，AB 是圆的直径，点 C 在圆上，过点 B，C 的切线交于点 P，AP 交圆于 D，若AB=2，AC=1，则 PC=_，PD=_5.是圆 O 的直径，为圆 O 上一点，过作圆 O 的切线交延长线于点，若ABDDABCOPDCBACOPBA=，则 DC222BCDCAsin6.如图，已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为22，3AB，则切线AD的长为 7.如图，是半径为的圆的直径，点 在的延长线上，是圆的切线，BC2OPBCPAO点在直径上的射影是的中点，则=；ABCOCABPPB PCBOCAD8.如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，OPOPAPBC2 2PA 4PC 圆心到的距离为，则圆的半径为_OBC3O9.如图，是圆的直径，在的延长线上，切圆于点.已知圆半径ABOPABPDOCO为，则_；的大小为_32OP PC ACD10.如图，A，B，C 是O 上的三点，BE 切O 于点 B，D 是与O 的交点.若CE，则_；若，则 .70BACCBE2BE4CECDE典题探究例 1：答案：1，2解析：已知，由圆幂定理得，CD32ABAC2CDDA DB，所以，可以求出，而，取DBDAAB2CD()DADAAB1AD CDAD的中点 E，连接 OC 和 OE，则半径.ABR=OC=2例 2：答案：1 解析：三角形 CEF 与三角形 CBE 相似，对应边成比例，所以，即CFCECECB，所以，而，所以，2CECB CF5CE 1OC=32AB 22O2EOCOE所以.1AE 例 3：答案：3,3PAPB 解析：延长PO与圆O分别交于点D和点E，则，1PDOPOD，由圆幂定理得，所以，过A点作3PEPDDE23PAPDPE3PA 交OP于点F，则，所以.AFOP1OF=2313PB=+=3222+3例 4：答案：PA=2 3R=7，解析：由圆幂定理得，所以，设 AO 与 PC 交于点2PA=PB PC=12PA=2 3D，延长 AO 交圆于 E，则所以，所以AD DE=BD DC2DE=24DE=12，.2R=2+12R=7演练方阵A 档（巩固专练）1：答案：R=3EFD=15。，解析：由圆幂定理得，所以2PD=PEPF1=PE2+3（）1PE=2-32+3，所以，所以EF=2R=PF-PE=2 3R=3OP=2PD=OD=3，1，POD=301EFD=POD=152。2：答案：45 解析:由圆幂定理得，所以，所以2AP=PB PD=PB(PB+BD)275(5)BD 245BD 3：答案：D 解析:由圆幂定理得，所以22()(2)3PCPA PAABPA PAPAPA，所以 D 选项错误3PCPA4：答案：半径7.5,5RBP 解析所以，由三角形相似得6,10,CDCP228DPCPCD，所以，所以，由圆幂定理得CDOCDPCP6810OC3107.54ROC，所以，所以2PCBPAP100(15)BP BP5BP 5：答案：12 解析：连接 CD，AC 是圆的直径，所以，BC 经过半径 OC 的端点 C，OCDAB而且，所以是圆的切线，而 DE 是圆 O 的切线，所以 EC=ED，所以BCACBCO，所以12BECEBC12BEBC6：答案：D 解析：因为四边形 BDEC 是圆的内接四边形，所以，因为180BDEBCE。，所以，A 正确；直线 AM 与圆相切，由弦切角定理得=90BDE。C=90B E。，而，所以AMD=MEDABD=CED，所以 B 正确；由圆幂定理得 CEM=MED+CED=DMA+DBA，所以选项 C 正确2AMADAE7：答案：4,2 6CDAE解析：设，则根据圆幂定理得，而，CDx2ABBDBC22(5)36ABCD所以，所以，所以，而2(5)365(5)CDCD 25360CDCD4CD，所以（222AEACCDDE2 6AE 8：答案：418tan,35OBCCOPSA 解析：由圆幂定理得，所以，所以，所以半径2PCPA PB168PA2PA，所以正切值，所以三角形 OBC 的面积3,R 3,OC 5OP 4tan3COP 118sin25OBCSOB OCCOP9：答案：CM=2AD=2 7，解析：由圆幂定理得，所以，所以，2AC=CM CN=CM2CM28=2CMCM=2而22AD=CD-AC=36-8=2 710：答案：B解析:因为 ABCD 四点共圆，所以，而，所以A+BCD=180。BCD=110。，又因为 BE 与圆相切于点 B，所以，所以选项 B 是正确的。A=70。DBE=A=70。B 档（提升精练）1：答案：CD=2 解析：延长 CD 交圆于点 E，由相交弦定理得，所以AD DB=CD DE，求出，因为 CD 是小于 4 的，所以4 3=CD(8-CD)CD=26或CD=22：答案：1BE=2 解析:由相交弦定理得，所以，所以，所以BF AF=DF FC22BF=2BF=1，而，所以，所以AF=22CE=BEEA7=BE(3)4BE1BE=23：答案：12CD=5 解析：设半径为 R，连接 OC，则由圆幂定理得，已知，2PC=PB PAPC=4,PB=2而且，所以，所以，而，所以，OCPD24=2(2+2R)R=3PCPOCDOA453CD125CD 4：答案：60ADE。解析:由圆幂定理得，而 AC=3，AB=2，所以CD=3CB=1，2CD=CB CAOC=2，连接，则，在中，所以ODODCDRt ODCOD=1CO=2CD=3，而在三角形 BOD 中，已知 OB=OD，所以有，60DOC。BD60O。ADE=ABD=60。5：答案：MN=1 解析：延长 BO 交圆于点 D，连接 DN，则，而，BND=90。BD=2 32BM 由圆幂定理可得，所以，所以MCMAMBMN(31)(31)2MN1MN 6：答案：B 解析：由圆幂定理可得，所以，连接2PAPCPB3PC 2,1BCROA，所以三角形 OPA 是直角三角形，B 是 OP 中点，所以，ABOBOA60ABC。7：答案：P2 3,AC=3 3A 解析：由圆幂定理可得，所以，2PPB PDA2P3(33 3)12A，所以，所，P=2 3AP=4 3B484 36AB 3sin60=6=3 32ACAB。8答案：3 13DE60CD=13C。，解析：设圆心是 O，半径为 R，连接 OE 与 AE，所以，所以AF+FB=2R，又因为，所以是等边三角形，1FB=R2EFABOE=EBOEBABE=60。，所以，所以，由CDE=ABE=60。AE=BEtan60=2 3。22AC=AE-CE=13圆幂定理得，所以CD CA=CE CB3 13CD=139答案：CE=7解析：由圆幂定理得，而，所以22CE=EB EA=7EBDF FC=FB FA，所以，所以，28=8EBEB=12CE=7CE=710答案：12CE=5解析：由圆幂定理得，所以，所以，又因为2PC=PAPB16=8PAPA=2，所以，所以 AB=2R=6R=3312CE=PCsin P=455C 档（跨越导练）1：答案：PA=3,EC=4 解析：依题意根据圆幂定理得，所以，2PA=PB PD2PA=9PA=3，所以，在三角形 ADE 中，PA=PE=3DE=2BE=6PAC=ABC=60。，所以三角形 APE 是等边三角形，所以 PE=PAPE=PA=AE=3BE=PB-PE=6，而弦 AC 与 BD 相交于点 E，所以，所以DE=PE-PD=2BEDE=AE CECE=42：答案：DCB=45。解析:由相交弦定理，所以，CPPO=APPBPB=7，所以,连接 OD，则有，所以2R=AP+PB=8R=4OP=OAAP=3222OP+OD=PD，然后连接 BD，则，由正弦定理得，所以POD=90。BD=2RBD=2RsinDCB，是锐角，所以2sin2DCBDCB45DCB。3：答案：2 3AB=3EF=3，解析：已知，根据圆幂定理得，因为，所ACB=90。2CD=AD DBAD=2DB以，所以，所以，所以22CD=2DBCD=2BD=，1AB=AD+DB=3DE=1，又因为，所以 22CE=CD+DE=3EAEB=EC EF2 3EF=34.答案：3 7PC=3PD=7，解析：连接，在中，所以，CBABCAB=2AC=1，22BC=AB-AC=3，过点 B 和点 C 的切线交于点 P，所以，所以A60C B。PCB=P C60B。，在中，所以，由圆幂定理得PB=PC=BC=3Rt APBAB=2,PB=3AP=7，所以2PBPDPA23 77PBPDPA5：答案：1sinDCA=3解析：连结，AB 是圆 O 的直径，则，所,BD OD90ADB。2C=CB CAD以，所以，所以半径，在中，22CA=(2 2)CA=42AB 1R Rt COD1sin3ODDCAOC6：答案：A15D 解析：已知圆 O 的半径，而圆心 O 到弦 AC 的距离等于，所以3R 2 2，又因为，是圆 O 的切线，所以222 3(2 2)2BC 3AB 5AC AD2AD，所以3 515ABAC A15D 7：答案：，30ABP。PB PC=12解析：点 A 到 BC 上的射影 E 是 OC 的中点，所以，又因1OEOA2OP=60A。为，所以，在中，因为，所以O=OBAABP=30。Rt AOPAO=2AOP=60。，所以AP=2 32AP=PB PC=128：答案：半径R=2解析：已知 PA 与圆相切，而 PBC 是圆的割线，所以根据圆幂定理得到，2AP=PB PC又因为，所以，又因为点 O 到弦 BC 的距离等于，AP=2 2PC=4PB=2BC=2，3所以半径R=29：答案：，PC=1ACD=75。解析：连接 OC，AB 是圆的直径，点 P 在 AB 的延长线上，圆 O 的半径，R=3，所以，根据圆幂定理得，所以，OP=2PB=2-3PA=2+32PC=PB PA=1PC=1在中，所以，所以Rt OCPOCP=90。CP=1OP=2OP=30C。OCA=15。ACD=75。10：答案：，CBE=70。CD=3解析：已知是圆的一条切线，是弦切角，而且有与对应BECBEBACCBE同一条弧，所以，所以根据圆幂定理有，已知BAC=CBE70。2BEED EC，所以，所以BE=2EC=4ED=1CD=4-1=3