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1、精心整理数列通项公式的十种求法数列通项公式的十种求法一、公式法一、公式法二、累加法二、累加法)(1nfaann例例 1 1 已知数列满足，求数列的通项公式。na11211nnaana，na2nan例例 2 2 已知数列满足，求数列的通项公式。（na112 313nnnaaa，na）31.nnan三、累乘法三、累乘法nnanfa)(1例例 3 3 已知数列满足，求数列的通项公式。na112(1)53nnnanaa，na（）(1)123 25!.n nnnan 评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，12(1)5nnnana12(1)5nnnana进而求出，即得数列的通项公式。13211221nn
2、nnaaaaaaaaana例 4 已知数列满足，求的na11231123(1)(2)nnaaaaanan，na通项公式。（）!.2nna 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为1(1)(2)nnana n，进而求出，从而可得当的表11(2)nnanna132122nnnnaaaaaaa2nna 时，达式，最后再求出数列的通项公式。na精心整理四、待定系数法四、待定系数法（其中 p，qqpaann1 nfpaann1nnnqapaa12均为常数）。例例 5 5 已知数列满足，求数列的通项公式。（na1123 56nnnaaa，na）125nnna评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为123
3、5nnnaa，从而可知数列是等比数列，进而求出数列1152(5)nnnnaa5 nna 的通项公式，最后再求出数列的通项公式。5 nna na例例 6 6 已知数列满足，求数列的通项公式。na1135 241nnnaaa，na（）113 35 22nnna 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为135 24nnnaa，从而可知数列是等比数列，115 223(5 22)nnnnaa 5 22nna 进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。5 22nna na例例 7 7 已知数列满足，求数列的通项公式。na21123451nnaanna，na（）42231018nnann评注：本题解题
4、的关键是把递推关系式转化为212345nnaann，从而可知数列2213(1)10(1)182(31018)nnannann是等比数列，进而求出数列的通项公式，231018nann231018nann最后再求出数列的通项公式。na五、五、递推公式为与的关系式(或)nSna()nnSf a解法：这种类型一般利用 )2()1(11nSSnSannn精心整理例例 8 8 已知数列前 n 项和.（1）求与的关系；（2）na2214nnnaS1nana求通项公式.na六六例例 9 9 已知数列满足，求数列的通项公式。na1132 313nnnaaa，na解：两边除以，得，132 31nnnaa 13n1
5、11213333nnnnnaa则，故111213333nnnnnaa因此，11(1 3)2(1)21131331 3322 3nnnnnann 则21133.322nnnan 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为132 31nnnaa，进而求出111213333nnnnnaa，即得数列的通112232111122321()()()()333333333nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaa3nna项公式，最后再求数列的通项公式。na七、对数变换法七、对数变换法（当通项公式中含幂指数时适用）（当通项公式中含幂指数时适用）例例 1010 已知数列满足，求数列的通项公式。na512 3nnn
6、aa17a na解：因为，所以。在式两5112 37nnnaaa，100nnaa，512 3nnnaa边取常用对数得1lg5lglg3lg2nnaan设Error!1lg(1)5(lg)nnax nyaxny将式代入Error!式，得，两边5lglg3lg2(1)5(lg)nnanx nyaxny精心整理消去并整理，得，则5lgna(lg3)lg255x nxyxny，故lg35lg25xxxyylg34lg3lg2164xy代入Error!式，得Error!1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(1)5(lg)41644164nnanan由及Error!式，1lg3lg3lg2lg3lg
7、3lg2lg1lg71041644164a 得，lg3lg3lg2lg04164nan则，1lg3lg3lg2lg(1)41645lg3lg3lg2lg4164nnanan所以数列是以为首项，以 5 为公lg3lg3lg2lg4164nanlg3lg3lg2lg74164比的等比数列，则，因此1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(lg7)541644164nnan1111111116164444111111161644441111111616444455514lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(lg7)54164464(lg7lg3lg3lg2)5lg3lg3lg2lg(7 332
8、)5lg(332)lg(7 332)5lg(332)lg(733nnnnnnnnnnnnan1115116454151511642)lg(732)nnnnn则。11541515164732nnnnna评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为512 3nnnaa，从而可知数列1lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg(1)5(lg)41644164nnanan精心整理是等比数列，进而求出数列的lg3lg3lg2lg4164nanlg3lg3lg2lg4164nan通项公式，最后再求出数列的通项公式。na八、迭代法八、迭代法例例 1111 已知数列满足，求数列的通项公式。na3(1)2
9、115nnnnaaa，na解：因为，所以3(1)21nnnnaa121323(1)23212nnnnnnnnnaaa 又，所以数列的通项公式为。15a na(1)123!25n nnnna 评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得，即，3(1)21nnnnaa1lg3(1)2lgnnnana1lg3(1)2lgnnnana再由累乘法可推知，从而(1)123!213211221lglglglglglglg5lglglglgn nnnnnnnnaaaaaaaaaa。1(1)3!225nn nnna 九、数学归纳法九、数学归纳法例例 1212 已知数列满足
10、求数列的通项na11228(1)8(21)(23)9nnnaaann，na公式。解：由及，得1228(1)(21)(23)nnnaann189a 由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。22(21)1(21)nnan（1）当时，所以等式成立。1n 212(2 1 1)18(2 1 1)9a （2）假设当时等式成立，即，则当时，nk22(21)1(21)kkak1nk精心整理由此可知，当时等式也成立。1nk根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。*nN评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。十、换元法十、换元法例
11、例 1313 已知数列满足，求数列的通项na111(14124)116nnnaaaa，na公式。解：令，则124nnba21(1)24nnab故，代入得2111(1)24nnab11(14124)16nnnaaa即2214(3)nnbb因为，故1240nnba111240nnba则，即，123nnbb11322nnbb可化为，113(3)2nnbb所以是以为首项，以为公比的等3nb 1131243124 132ba 21比数列，因此，则，即，121132()()22nnnb21()32nnb21124()32nna得。2 111()()3 423nnna 评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转124nanb化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列11322nnbb3nb 的通项公式，最后再求出数列的通项公式。3nb na
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