高中数学平面向量知识点.pdf

高考圈高考圈-让高考没有难报的志愿让高考没有难报的志愿高中数学必修高中数学必修 4 4 之平面向量之平面向量知识点归纳知识点归纳头 头头 头头头 头头 头头 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头头 头头 头头头 头 一一.向量的基本概念与基本运算向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：向量：既有大小又有方向的量头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为 0 的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行00单位向量：模为 1 个单位长度的向量头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 相等向量：长度相等且方向相同的向量头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头2、向量加法：设，则+=头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头,ABa BCb abABBC AC（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；aaa00，但这时必须“首尾相连”ABBCCDPQQRAR 3、向量的减法：相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头aa向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，作图法：可以表示为从的终点指向的终ababbaba点的向量（、有共同起点）头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头ab4、实数与向量的积：实数 与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：aa（）；（）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方aa0aa0aa向相反；当时，方向是任意的头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头00a5、两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头baba6、平面向量的基本定理：、平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且21,eea只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头21,2211eea21,ee二二.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示1头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头平面向量的坐标表示：平面内的任一向量可表示成，记作=(x,y)。aaxiyja2头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头平面向量的坐标运算：(1)若，则1122,ax ybxy1212,高考圈高考圈-让高考没有难报的志愿让高考没有难报的志愿(2)若，则 2211,yxByxA2121,ABxx yy(3)若=(x,y)，则=(x,y)aa(4)若，则1122,ax ybxy1221/0abx yx y(5)若，则1122,ax ybxy1212a bxxyy若，则ab02121yyxx三平面向量的数量积三平面向量的数量积1头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则=cosababab叫做与的数量积（或内积）头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 规定头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头ab00a2头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头投影的绝对值称为射影头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头b|a baba3头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头数量积的几何意义：等于的长度与在方向上的投影的乘积头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头ababa4头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头向量的模与平方的关系：头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头22|a aaa 5头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头乘法公式成立：；2222abababab2222abaa bb222aa bb6头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头平面向量数量积的运算律：交换律成立：a bb a对实数的结合律成立：aba babR分配律成立：abca cb c cab特别注意：（1）结合律不成立：；ab ca bc（2）消去律不成立不能得到a ba c bc（3）=0不能得到=或=头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头a ba0b07头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则=头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头1122(,),(,)ax ybxyab1212x xy 高考圈高考圈-让高考没有难报的志愿让高考没有难报的志愿8头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头向量的夹角：已知两个非零向量与，作=,=,则AOB=（）叫做向量与abOA aOB b001800a的夹角头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头bcos=头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头cos,a ba bab222221212121yxyxyyxx当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当与反方向时=1800，同时与其它任何非零向abab0量之间不谈夹角这一问题头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头9头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头垂直：如果与的夹角为 900则称与垂直，记作头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头ababab10头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头两个非零向量垂直的充要条件：O奎屯王新敞新疆平面向量数量积的性质abab02121yyxx