非齐次常系数线性微分方程的特殊解法论文-本科论文.doc

非齐次常系数线性微分方程的特殊解法论文

非齐次常系数线性微分方程的特殊解法

摘要：本文首先给出了升阶法的定义，以及利用升阶法求常微分方程的特解，然后给出几个定理及其证明，运用这些定理可以求解非齐常系数线性微分方程，此为一般的方法.最后将所有常见的几种类型的微分方程归纳为一类，使得解方程的过程得到了有效的简化.
关键词：非齐次；常系数；线性；解法

1.引 言
线性微分方程在常微分方程学中占有一定的地位，其中，研究非齐常系数线性微分方程的解法对进一步研究其他更复杂的常微分方程具有指导意义.微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布•贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究
近几年，国内外学者对非齐常系数线性微分方程的解法也有许多研究：
2005年11月，唐烁在安徽教育学院学报第二十三卷第六期发表的《常系数线性非齐次微分方程组的初等解法》中利用初等方法，直接得到两个未知函数的一阶常系数线性非齐次微分方程组的通解方式.
2007年4月，赵辉在安徽电子信息职业技术学院学报第六期发表的《二阶常系数线性非齐次微分方程的一种特殊解法》中对二阶常系数非齐微分方程运用了一种特殊的解法，使得求解此方程变的方便快捷.
2008年6月，陈新明、胡新姣在大学数学第二十四卷第三期发表的《常系数线性非齐次微分方程的简单解法》中得到的求n阶常系数线性非齐次微分方程一般解更方便的方法，以及几种特殊情形的表达式.
对于非齐次方程，我们的解法是通解加特解得方法，所谓通解，就是先解出非齐次方程组所对应其次方程组的基础解系，然后再随便找一个特解满足非齐次方程组即可，然后把它们相加组合起来，就是非其次方程的解本文将给出非齐次常系数线性微分方程的一些解法，有助于以后更简便的求解这类方程。
2.主要结果
2.1非齐次常系数线性微分方程的一般解法
2.1.1升阶法
为了求解非齐常系数线性微分方程，首先要求方程的特解，这里给出求特解的一种方法-升阶法。
定义：当为多项式时，设

此时，方程 （1）两边同时对求次，得

显然方程（1）的解存在，且满足上述各方程。最后一个方程的一个明显解（不妨设时情况类似）是：

此时。由与通过倒数第二各方程可得，依次往上推，一直推到（1），即可得到方程（1）的一个特解。上面这种方法称为升阶法。
2.1.2 解的结构定理
定理1(解的叠加原理)：设分别是方程和的特解，则有是方程的特解。
证明：将代人方程的左端，
得证。
定理2 设是方程的特解，则分别是方程和的特解。(其中是实系数多项式)
证明：把代人方程
有：
所以；
(方程的两端实部、虚部相同) 得证。
阶常系数非齐次线性微分方程的定义
对阶常系数非齐次线性微分方程
， （1）
其中为常数．记
， （2）
称为方程(1)的特征函数，记，方程(1)可写成
又记次多项式 （3）
引理1
， （4）
其中
证明： 先证明， （5）
用数学归纳法．由求导法则得．假设(5)式对的情形成立，则
，
即(5)式成立．由的定义得(4)式．
记
引理2 若由(3)式给出，且，则
（6）
证明： 引理1中取，得。在上式中将换为次多项式，得
，
由此有

因为
，以及，
所以有，由此得
，
（6）式成立。
定理3 记。对阶常系数非齐线性微分方程
，其中为常数，可以是复常数。若为的重根，则方程（7）的特解为
， （8）
其中由
（9）
确定
证明： 设方程（）的一个解为。由引理1，。因为为的次多项式，所以当时，。将在处利用公式展开，得
。
因为为的重根，所以，注意，方程（7）化为
。 （10）
而为次多项式，以及为常数，所以当为多项式时，也是次多项式。记，由（10）式知（9）式成立。因为，所以。方程（7）的特解为 。
当为的与重根时，不需经（9）式确定待定系数而直接得到方程（7）的通解。
定理4 若为的重根，则方程（7）的通解为
； （11）
若为的重根，则方程（7）的通解为
（12）
证明：若为的重根，由定理1，方程（7）的特解为，此时（9）式为，所以。对积分次再乘以得（11）式。
若为的重根，为了得到通解，用证明定理1的方法证明（12）式。设方程（7）的通解为，与定理1一样证明，知由（10）式确定。又因为，此时（10）式为，其中，解得。由定理2得
，
注意，两边积分次得再乘以得（12）式。
当时，不需经（9）式确定待定系数而直接得到（7）的特解。
推论1 对阶微分方程，若为的重根，则特解为。 （13）
证明： 当时，由定理1得，这里由（9）式确定；当时，，所以（9）式为。由此解出后积分次，再乘以得到（13）式。
当，自由项还含或，且为的根时，也不需经（9）式确定系数而直接得到方程（7）的通解。
定理5 记为虚数单位。对二阶微分方程
或，
若为的根，则通解为
或，这里
。 （14）

证明： 若为的根，则，所以。定理2中的。由定理2的（12）式取得的特解为（14）式，由此得结论。

2.2 非齐次常系数线性微分方程的特殊解法
证 由莱布尼茨求导公式知当时， 。于是当时，将代入方程（1）便得
。
两端消去可得
（3）
但（3）中的系数为

而当的阶导数为

于是。
最后我们便得到（1）再的变换下的形式

命题的建立说明要求解方程
（4）
的一个特解，只需求解方程（注意到）

的特解，从而得到（4）的特解。
至于方程
（或），（5）
可由欧拉公式化为求解方程
（6）
的特解的实部（或虚部），而此时（6）式命题可化为
的形式。
3. 应用举例
3.1 非齐次常系数线性微分方程一般解法的应用
例1 求的一个特解。
解： 将方程两边同时对求导，得：
令，则。代入原方程得：。
所以是原方程的一个特解。
例2 求的一个特解。 ，
解：将方程两边同时对求导两次，得： （4）
，
令，代入方程（4），得：再将代人原方程得：积分，得：因为求原方程的一个特解，故取，所以是原方程的一个特解。
例3 求一个特解
解法(1)：特征方程： 特征根：
因为是特征根，所以特解
代入原方程得

得：
所以原方程的一个特解为：
分析：该解法主要分两步走，先确定特解的表达形式，然后用待定系数法确定。这是我们常用的方法，也是众多教科书上的方法。
解法(2)：作辅助方程：
因为是特征根，所以该辅助方程特解
代入辅助方程得：，得
所以
，
所以原方程的一个特解为（取虚部）
分析：该解法主要是避免第一种解法中特解代人方程时的烦琐，能较快的得出特解。主要用到的原理是上述定理2和欧拉公式，若方程的右端是含有的形式，可以通过辅助方程特解的取实部来得到一个特解。一般对于方程：(1)或(2)作辅助方程，求特解，取实部或虚部，就能得到原非齐次方程的特解。用该方法求解时，可先分别求出方程(1)和(2)的特解，再用解的叠加原理即可得到特解 。
解法(3)：由于在确定方程中的特解时，上述解法是用待定系数法来确定的，这种方法一般比较烦琐。下面不妨用微分算子法来确定Y ，这种方法一般比较简单 。 因为是的虚部，所以先求，再取其虚部。
因为：
则
所以： (取虚部)
分析：该解法用微分算子法简化了求解过程，结合了算子法和欧拉公式及上述定理2，是一个较快解决问题的方法。不过用的过程中要记住的一些性质 ，这样才会得心应手。
解法(4)：原方程可化为：
因为是特征根 所以的特解为，
代入方程有：

得：，即
由于与成共轭，所以与。成共轭函数的必为方程的特解，则
所以原方程的特解为

分析：该解法主要运用了欧拉公式和解的叠加原理及共轭函数的一些特性。该方法主要特点是它
通过改变形式，简化了特解代入方程时的烦琐。
例4 对二阶微分方程或，证明
若为的根，则通解为
或； （15）
若不是的根，则特解为

或 （16）
证明： 定理3的（14）式中取，有
，
由此得（15）式。
对二阶微分方程，若不是的根，由定理1的（8）式，取，特解为分别取实部与虚部得（16）式。
例5 求解下列微分方程
； ；
解: 是的单根，由定理2的（12）式，通解为

特征方程是的重根。由定理2的（11）式，通解为
。
。是的重根。由定理3的特解为，其中
。
所以通解为。

3.2非齐次线性微分方程特殊解法的应用
例1
解： ，为其三重特征根。故。从而令时，原方程化为。解之可得为其特解。故为所求解方程的特解。
例2
解： 此时需求方程的特解的实部，应用我们的方法，令时，求解方程。即。显然为其特解。故为的复值特解。取其实部得方程的特解。