复合函数及抽象函数的单调性.ppt

复合函数的单调性复合函数的定义：设复合函数的定义：设y=f(u)y=f(u)定义定义域域A A，u=g(x)u=g(x)值域为值域为B B，若，若A BA B，则则y y关于关于x x函数的函数的y=fg(x)y=fg(x)叫做函叫做函数数f f与与g g的复合函数，的复合函数，u u叫中间量叫中间量.复合函数的单调性复合函数的单调性由两个函数共同决定；引理1：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使ax1x2b,因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1u2，且u1,u2 (c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)f(u2),即y=fg(x1)y=fg(x2),故函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。.复合函数的单调性引理2：已知函数y=fg(x)，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使ax1x2g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1u2，且u1,u2 (c,d).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)f(u2),即y=fg(x1)y=fg(x2),故函数y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数。.复合函数的单调性复合函数的单调性若u=g(x)y=f(u)则y=fg(x)规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增增函数函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数减函数。“同增异减同增异减”增函数增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数.解：由解：由1-9x20得：得：-1/3x1/3当当-1/3x0,x增大时，增大时，1-9x2增大，增大，f(x)减小减小当当0 x1/3，x增大时，增大时，1-9x2减小，减小，f(x)增大增大函数的单调区间是函数的单调区间是-1/3，0，0，1/3。.例例例例2.2.已知已知已知已知f f(x x)=)=x x2 2+2+2x x+8+8，g g(x x)=)=f f(2(2x x 2 2)，求，求，求，求g g(x x)的单调增区间的单调增区间的单调增区间的单调增区间 【解题思路】【解题思路】【解题思路】【解题思路】x x某区间某区间某区间某区间A A t t某区间某区间某区间某区间B B 在在在在A A上的增减性上的增减性上的增减性上的增减性 在在在在B B上的增减性上的增减性上的增减性上的增减性 g g(x x)在在在在A A上的上的上的上的 单调性单调性单调性单调性 关键是关键是关键是关键是A A的端点如何确定？的端点如何确定？的端点如何确定？的端点如何确定？【讲讲讲讲解解解解】很很很很明明明明显显显显这这这这是是是是一一一一个个个个复复复复合合合合函函函函数数数数的的的的单单单单调调调调性性性性问问问问题题题题，所所所所以以以以应应应应“分层剥离分层剥离分层剥离分层剥离”为两个函数为两个函数为两个函数为两个函数 t t=x x2 2+2 +2 y y=f f(t t)=)=t t 2 2+2+2t t+8 +8 .【解】设【解】设【解】设【解】设t t=x x2 2+2 +2 y y=t t 2 2+2+2t t+8 +8 函函函函数数数数的的的的增增增增、减减减减转转转转折折折折点点点点是是是是 t t =1 1，把把把把 t t =1 1 代代代代入入入入，得得得得 x x1 1=1 1，x x2 2=1=1，又，又，又，又的增、减转折点是的增、减转折点是的增、减转折点是的增、减转折点是 x x3 3=0=0，于是三个关节点把数轴分成四个区间：于是三个关节点把数轴分成四个区间：于是三个关节点把数轴分成四个区间：于是三个关节点把数轴分成四个区间：，(1)x(1)x(-,-1-,-1 时时时时,函数函数函数函数递增递增递增递增,且且且且t t1,1,而而而而t t (-,1(-,1 时时时时,函函函函数数数数也也也也递递递递增增增增，故故故故(-,-1(-,-1 是是是是所所所所求求求求的的的的一一一一个个个个单单单单调调调调增增增增区区区区间；间；间；间；.(2)x(2)x (-1,0(-1,0时，函数时，函数时，函数时，函数递增，且递增，且递增，且递增，且t t(1(1(1(1,2,2，而而而而 t t(1(1(1(1,2,2 时，函数时，函数时，函数时，函数递减，递减，递减，递减，故故故故(-1,0(-1,0 是是是是g g(x x)的单调减区间；的单调减区间；的单调减区间；的单调减区间；(3)x(3)x(0(0(0(0,1,1时时时时,函数函数函数函数递减，且递减，且递减，且递减，且t t (1,2(1,2，而而而而 t t(1(1(1(1,2,2,函数函数函数函数也递减，也递减，也递减，也递减，故故故故(0(0(0(0,1,1是是是是g g(x x)的单调增区间；的单调增区间；的单调增区间；的单调增区间；.（4）x(1，+)时，时，函数函数递减，且递减，且t(，1)而而t(，1)时，函数时，函数递增，递增，故故(1，+)是是g(x)的单调减区间的单调减区间综上知，所求综上知，所求g(x)的增区间是的增区间是 和和.例例2：设：设f(x)是定义在实数集是定义在实数集R上的上的偶偶函数，函数，且在区间（且在区间（-，0上是增函数，又上是增函数，又f(2a2+a+1)f(3a2-2a+1),试求试求a的取值范围。的取值范围。问：设问：设f(x)是定义在实数集是定义在实数集R上的奇函上的奇函数，且在区间（数，且在区间（-，0)上是增函数，上是增函数，问在问在 区间区间(0，+）上）上f(x)是是 增函数还增函数还是减函数？是减函数？(0a3)例例1：设：设f(x)是定义在实数集是定义在实数集R上的上的奇奇函数，函数，且在区间（且在区间（-，0）上是增函数，又）上是增函数，又f(2a2+a+1)f(3a2-2a+1),试求试求a的取值范围。的取值范围。抽象函数抽象函数.例例4:.例例6:已知已知是定义在是定义在-1,1上的奇函数，上的奇函数，则有则有(1)判断判断（2）解不等式）解不等式在在-1,1上的增减性，并证明你的结论；上的增减性，并证明你的结论；解：（解：（1）在在-1,1上增。上增。证明：任取证明：任取则则故在在-1,1上增。上增。若若.（2）在在-1,1上增，上增，不等式的解集为.是定义在是定义在-1,1上的奇函数，上的奇函数，则有则有在在-1,1上的增减性，并证明你的结论；上的增减性，并证明你的结论；若若例例6:已知已知(1)判断判断.复合函数的单调性小结复合函数y=fg(x)的单调性可按下列步骤判断：(1)将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。其中y=f(u)又称为外层函数,u=g(x)称为内层函数;(2)确定函数的定义域；(3)分别确定分解成的两个函数的单调性；(4)若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为增函数；(5)若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=fg(x)为减函数。复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。.此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！感谢你的观看！部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！感谢你的观看！