数学在经济管理中的应用.doc

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随着社会的进步，随着现代经济的飞速发展，高等数学知识在社会各个领域的应用日益广泛，很显然高等数学理论在其中确实发挥出了十分积极的作用，这些都在实践中得到了运用与验证。当代西方经济工作者认为，经济学的基本方法是首先对经济变量之间的关系进行精准的分析，利用高等数学知识建立相应的经济模型，使得人们能从理论上分析有关的经济模型，从而给出合理的解释，并且从中引申出经济原则和理论，更好的对经济建设起指导作用，已经有越来越多的人认识到高等数学与现代经济管理是相辅相成的，它们相互促进， 共同发展。从长远的角度看，高度抽象的数学理论的发展，定会使数学与经济学，乃至整个客观世界更深刻、 更复杂、 而又更奇妙地联系着，这无疑给了数学这门古老的、 周密的、 深刻的经典科学在当今社会大放异彩的机会，更加凸显了数学是科学界的一朵奇葩。
高等数学理论应用于现代经济管理的可行性分析
现代经济管理是经济学门类的综合性应用学科，它融社会科学、自然科学等多学科知识， 侧重于总结、 摸索实践经验， 追求数据分析预测的精准性与思维逻辑的严密性。研究的对象主要是社会的资源配置及社会的经济关系如何进行合理调节与组织的规律与方法。 如： 通过对财务状况的研究， 对未来形势进行预测； 通过对国民经济管理研究，分析各种可以预见的经济问题；通过对财政与税收的研究，对财政收入、 财政支出、 税收、 财政管理体制、 财政政策等
问题进行分析研究。 由此可见， 经济数据的分析与预测在现代经济管理中占有一定份量，有必要借助和运用高等数学这一严密、 精确、 实用的思维工具来解决一些经济问题。那么，让我们来看几个高等数学知识在经济管理方面的应用实例。
一、导数在最佳营运资金决策上的应用
导数是什么呢？简单来说，导数是函数关于自变量的变化率，在经济学中，也存在变化率的问题。因此我们可以把微观经济学中的很多问题归结到数学中来，用我们所学的导数知识加以研究并解决。经济活动的目的，除了考虑社会效益，对于一个具体的公司，决策者更多的是考虑经营的成果，如何降低成本，提高利润；如何能让公司的资金最大程度的周转，来使公司具备最佳的偿债能力等问题。
营运资金又是什么呢？营运资金，也叫营运资本。 广义的营运资金又称总营运资本，是指一个企业投放在流动资产上的资金，具体包括现金、有价证券、应收账款、存货等占用的资金。 狭义的营运资金是指某时点内企业的流动资产与流动负债的差额。其作用是，可以用来衡量公司或企业的短期偿债能力，其金额越大，代表该公司或企业对于支付义务的准备越充足，短期偿债能力越好。当营运资金出现负数，也就是一家企业的流动资产小于流动负债时，这家企业的营运可能随时因周转不灵而中断。 一家企业的营运资金到底多少才算足够，才称得上具备良好的偿债能力，是决策的关键。如何能让企业具备最佳的偿债能力，这就可以用到导数来进行计算其最佳营运资金。
设 T 为一个周期内现金总需求量，F 为每次转换有价证券的固定成本，Q 为最佳现金持有量， K 为有价证券利息率，TC 为现金管理相关总成本。根据公式：现金管理相关总成本 = 持有机会成本 + 固定性转换成本，我们可以得出：

令：

得：
所求的Q的值就是其最佳营运资金。
上述导数在的经济分析中的应用，只是数学在浩人烟海的经济应用中点滴晶莹的水花，其应用颇为广泛。不仅此而已，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。
二、 微分方程在新产品的推广中的应用
微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展 历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。逻辑斯谛方程, 即常微分方程其意义：当一个物种迁入到一个新生态系统中后，其数量会发生变化。假设该物种的起始数量小于环境的最大容纳量，则数量会增长。设有某种新产品要推向市场，t 时刻的销量为x(t)，由于产品性能良好，每个产品都是一个宣传品，因此 t 时刻产品销量的增长率与x(t)成正比，同时考虑到产品销量存在一定的市场容量N，统计表明与尚未购买该产品的潜在顾客的数量 N-x(t)也成正比,于是有：

符合逻辑斯谛(Logistic)方程的模型，其通解为
，
当，有，表明销量单调增加，当时，
；时，；时，即当销量达到最大需求量 N 的一半时，产品最畅销，当销量不足一半时，销量
速度不断增大，当销量超过一半时，销量速度逐渐减少。
研究与调查表明：许多产品的销售曲线与 Logistic 曲线十分接近，许多分析家认为，在新产品推出的初期，应采用小批量生产并加强广告宣传，而在产品用户达到 20% 到 80% 期间，产品应大批量生产，在产品用户超过 8 0 % 时，应适时转产，可以达到最大的经济效益。
利用微分方程理论针对各种实际问题建立的数学模型。一般而言都是动态模型，虽然它的推导过程稍显繁琐，但是其结果却相当简明，并且可以给出合理的解释，从而很好的指导了新产品的推广。
三、概率与数理统计在风险衡量中的应用
概率与数理统计是研究随机现象的一门学科；是对未来和未知进行展望和判断,以求合理的使用人力、物力、财力、高瞻远瞩地获得最大经济效益已广泛的应用于经济管理领域中 。风险通常是指某种行动结果所具有的变动性，是财务管理中的一个很重要的概念，在风险的衡量中用到的主要是随机变量的数学期望、方差、标准离差率、协方差等。现在的公司企业将期望和方差运用到管理估算的决策中。期望和方差的数字特征含义可以帮助我们进行合理的选择，为我们科学的决策提供良好的依据，从而最优的实现目标。
1 . 单一资产投资风险衡量。决策者主要通过求标准离差率将决策方案风险加以量化，并据此做出决策：对于单个方案，决策者可根据其标准离差率的大小，并将其通社定的可接受的此项指标最高限制对比，然后进行决策；对于多个方案，选择低风险高收益的方案。例：某企业由 A 、B 两个投资项目，两个投资项目的收益率及其概率分布情况如表所示：
项目实施情况
该种情况出现的概率
投资收益率
项目A
项目B
项目A
项目B
好
0.20
0.30
15%
20%
一般
0.60
0.40
10%
15%
差
0.20
0.30
0
—10%

同理
可以看出A的风险较大。
2. 投资组合风险的衡量。 投资者通常不是把自己的全部资金都投放在单一资产上，而是同时向多项资产投资。这时投资组合的总风险由投资组合收益率的方差和标准离差() 来衡量。

例：某企业拟分别投资与 A 资产和 B 资产，其中投资与 A 资产的期望收益率为 8%，计划投资 500 万元；投资于 B 资产的期望收益率为 12% ，计划投资 500 万元。假设投资 A 、B 资产期望收益率的标准离差均为9%。 计算相关系数为+1 时，投资组合的。

通过上述例子我们可以看出，决策者在决策前后，往往存在许多不能知晓的可变因素，从而所作出的决策不一定符合客观实际情况，所以决策是有风险的。只有符合客观环境的科学的决策才能使决策者获得最大的经济利润，才能尽可能地节约成本。而通过概率与数理统计的分析可以帮助我们进行合理的选择，为我们的科学决策提供良好的依据，从而最优的实现目标。
四、 高等数学建模分析处理经济管理问题
一般来说，数学不能直接处理经济管理领域的客观情况。为了能用数学解决经济管理领域中的问题，就必须建立数学模型。数学模型是为了解决经济管理领域中的问题而作的一个抽象的、简化结构的数学刻画。或者说，经济管理中的数学模型就是为了管理的经济目的，用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构的刻画。
在现代经济管理中，经济数据与形势的预测和分析是一项重要的任务。鉴于此，要将高等数学的理论应用于现代经济管理之中，首先就是要将一个待解决的经济问题归纳总结为与之相对应的数学（或数字）问题，而后运用对应的数学理论，去分析经济问题，得出分析的结果。而这个思维过程，其本身就是高等数学的一个基本理论，即数学建立模型的过程。同时，针对不同类型经济管理问题我们需要建立不同的数学模型如： 供需与价格关系数学模型、 边际收益模型、 价格弹性模型、经济增长的索罗模型、生产函数模型、均衡价格的差分方程模型、利益分配的合作博弈模型、乘数加速数模型、投入产出模型、经济增长与最优财政支出规模模型、税收收入 AR 预测模型、消费税税率优化设计模型、 斯坦克伯格双寡头垄断动态博弈模型等等。
在这里需要注意的是，由于经济始终处于动态变化之中，在经济管理中建立数学模型要根据实际问题区别对待和解决，要将所建立数学模型的适用性与准确性放在首位进行考虑，因为在经济学历史上能够经过实践验证，为经济管理人士所普遍应用的数学模型多具有一定的代表性，且能描述事物总体趋势的数学模型。
既然数学建模在经济管理中有如此重要的应用，那么，如何准确的进行数学建模就尤为重要。要尽量使所建立的模型精准明确、有据可依、 简便实用，要尽量运用标准的数学模型，并要遵循如下步骤：
1.模型准备。要对准备建模的经济管理问题进行周密的调研了解， 明确预期目的。 通过对问题所涉及的基本情况进行调研和了解，以获取所需的数据资料，并对其进行分组划类。因为经济数据资料的完备性关系到假设是否成立及数学模型对经济分析与预测的质量与精确程度。
2.模型假设。在明确建模目的，掌握必要经济数据的前提上，通过对各组数据进行综合计算分析，找出起决定性作用的经济数据，确定其为主要的变量，对次要的数据予以适当忽略，并提出假设。在这里需要明确的是，经济管理问题的不同假设对经济分析与预测将起到至关重要的影响，所以在进行假设的过程中，要多层次、多角度地进行综合考虑，要将经济活动的内在规律、数据来源的分析以及经验都要作为假设的理论依据，抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、 均匀化，写出假设时，语言要精确。
3.建立模型。 根据所做的假设，将经济管理问题运用数学语言进行描述，建立出相应的数学结构， 得出数学模型。 在建模过程中应注意区分变量的不同类型，并合理地运用数学的工具如：确定型的变量大多用微积分、 线性规划、图论、 微分方程、 网络等， 随意的变量多用随机微分方程、 统计、 概率等。同时还要注意简化变量之间的关系，建模要精确，符合经济问题对数字精度的要求。
4.模型验证。有了模型之后要反复的推敲，要分析模型能否真正的反映现实问题，能否说明变量之间的关系。还要考虑模型是否有解，有什么样的解，求解过程是否简便，以及有无矛盾之处等。此外，模型的解也可以带入到现实问题中加以验证，看能否解决现实问题，这一点也是至关重要的。
5. 模型求解。可以通过计算软件或相应程序在计算机上对经济管理问题开展模拟试验，对假设方案进行比较与筛选。
6.模型改进。模型必须不断地验证，不断检验，不断完善。在建模过程中，要重视出现的问题，针对问题加以分析，检查建模时的假设和前提是否正确，考虑变量之间关系能否进行重新调整，针对问题进行调整，然后再重复检验，重复修改，直到符合要求为止，所以这个过程往往是循环反复的，不断推进的。
7.模型应用。只有通过多次检验，符合实际问题的数学模才可以用。利用模型研究各种现象之间的关系，推测现象的发展趋势，预测可能出现的各种结果。对于好的结果，要加以继续扩大应用；不利的结果要未雨绸缪，提前做好准备，加以控制和干预，争取最大程度的减小损失。
当然，在模型建立的过程中，这些步骤不是一成不变的，有事可以反复进行，比如检验后发现模型和实际问题问题相差甚远，就要重新分析问题，重新加以简化，重新完善原始假定等。所以建模过程是一个完整的过程，不能生搬硬套，需要灵活应用。
为了体现数学模型在经济管理中的应用价值，下面通过两个简单的例子加以说明。
（1） 问题提出
假设有甲乙两家企业，其边际成本分别为需求的反函数为为两家企业的总产量，。其中为两个正常数，为产品的价格，分别为两家企业的产量。若乙企业先宣布其产量是，问两家企业如何安排生产，才能使各自的利润达到最大值。
（2）分析解决问题
本题是一个如何安排生产的问题，最终甲乙两家企业要使各自的利润达到最大化，不妨设甲乙两家企业的利润函数分别为则

一方面，由于乙企业先宣布其产量，那么甲企业应该根据乙的选择加以抉择，也就是选择合适的，使其利润函数达到最大值，故需要，即.
从上式可求出，并记为，则=
另一方面，乙企业在率先宣布其产量为时，就能预测到甲企业会选择产量，故乙企业会在其利润函数达到最大值时，安排生产。鉴于两个企业产量决策有先有后，就产生了博弈，此时的模型就是一个动态的博弈模型。当乙企业的利润函数达到最大值时，需要=0，即
==0
从上式可求出，并记为，则 =
再把 代入，得 =
此时，，满足斯坦特伯格（Stacklberg)均衡，即能使两个企业的利润均达到最大值．企业的管理者即可据此加以决策生产。当然模型还得作进一步的检验和改进，在这就不多做说明了。
在高等数学知识里面还有一个重要的数学模型—线性规划模型，成为现代经济管理中经常被采用的基本方法之一。它是帮助人们进行科学管理的一种有效的数学方法。
发展生产力，提高经济效益是人类发展不可或缺的要求。而提高经济效益有两种途径：一是技术改进：如开发新工艺，新能源等；二是生产组织与生产计划的改进，即是合理利用现有的人力，物力资源，
使经济效益达到最好。而线性规划研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力资源，使经济效益达到最好。
一般地，线性规划的目标是求目标经济函数在线性约束条件下的最大值与最小值问题。决策变量，约束条件，目标函数是线性规划的三要素，其中决策变量是实际问题中的未知因素，也是决策系统中的可控因素。目标函数是将实际系统中的目标用数学形式表示出来，常用等式或不等式来表示；约束条件是指实现目标的限制因素，它涉及到经济管理的各个方面，如原材料的供应，计划指标，市场销售状态，产品质量要求等。
线性规划数学模型是描述实际问题的数学形式，它反映了实际问题数量间的本质规律。由于实际问题往往比较复杂，建立线性规划数学模型时，对某一个问题要认真分析，抓住最本质的因素，用简单的数学式子将其描述出来，使建立的数学模型既简单又能正确地反映问题的本质。
下面介绍一个关于投资的线性规划的数学模型案例：
案例1：投资模型
设有下面4个投资机会：
项目ａ：从第一年到第四年每年年初需要投资，并与次年年末回收本利115%；
项目b：从第三年年初需要投资到第五年末回收本利125％，但规定最大投资额不超过4万元；
项目c：第二年初需要投资，到第五年末才能回收本利140％，但规定最大投资额不超过3万元；
项目d：五年内每年初可买公债，于当年末归还，并加利息6％。
该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有的资金的本利总额最大?试建立求出最优投资方案的数学模型。
1．建模步骤：
（1）确定问题的决策变量，即分别为第i年投向a，b，cd项目的投资额(i=1，2，3，4，5)。
(2)确定问题的目标函数：设Z为第五年末拥有资金的本利息总额，通过下面分析来找Z的表达式。
（3）资金流转分析：确立约束条件。
原则1：每年年初将手头全部资金投出去，因此第一年年初应将10万元全部投给a，b两个项目即。
原则2：第一年年底回收各项投资的本息即为第二年年初手头拥有的投资总额，又全部投入第二年初可能有的投资机会，故有。
以此类推，每年年初投资额=头年末返回本利总额，于是有：

以上资金流转分析，再加上各种金额的限制，即为问题的约束条件。目标函数应该是四项投资在第五年末回收的本利之和，即以下四项之和：。
所以问题的数学模型是：

2.Mathematica软件求解
运行结果，得到下列最优投资方案：
第一年：元，元
第二年：元，元，
第三年：元，元，
第四年：元，
第五年：
到第五年末期拥有总金额为143750元，即盈利43.75%。
投资模型的一般表述：
一般地，投资问题可描述如下：有n个投资项目，一定的投资金额，须从中选择有最高收益的最优投资方案。现在需要确定在投资金额一定的前提下，如何合理地分配在n个投资项目，才能使收益最高。
以上两个例子可以看出，线性规划在经济管理工作中可以从整体统筹规划，尽量达到用最少的人力物力资源去完成任务，或在人力物力资源一定的前提下，合理规划统筹，以达到最高的经济效益。
线性规划的优势在于它是通过建立模型，运用严格的数学方法，并借助了图表和计算机等手段求解，并以所得数据指导企业，政府机构，银行管理部门选择最优的资产组合方式，以实现最大的管理目标；它除了能在满足各方面的限制和条件下获得最大收益外，还能表现在一个或多个的约束条件发生变化时最优的资产组织的变化；在条件比较复杂的情况下，甚至还可应用多重目标线性规划来替代单一目标线性规划，并为一组相互冲突的目标和在数种解决方案中进行权衡抉择，从而得出一组最可行的最优方法。因此，线性规划在企业经营决策，计划投资，优化组合方面起着重要的作用。总之，线性规划法是一种较先进和科学的进行经济管理的方法。目前，已有相当的企业、银行
及管理部门采用线性规划法来解决生产上及投资规划上的各种问题，并取得相当好经济效益或投资回报。
通过以上对高等数学知识在经济管理中的应用分析，我们可以看出高等数学知识在经济管理中有着无比重要的作用。但这样也只是看到了冰山一角，
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