垂直于一空间曲线的曲线构成的曲面.ppt

Santa II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011垂直于一空间曲线的曲线垂直于一空间曲线的曲线构成的曲面构成的曲面2011.6.10Santa II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011 本课件讨论如何作出垂直于一空间曲线的曲线，本课件讨论如何作出垂直于一空间曲线的曲线，并用这些曲线构成一个曲面。给出了曲面的参数方并用这些曲线构成一个曲面。给出了曲面的参数方程，并用数学软件程，并用数学软件Mathematica绘制了曲面，附有绘制了曲面，附有很多例子和图形。很多例子和图形。2011年年6月编写，月编写，2012年年4月修改月修改Santa II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011设设 L 是一条空间曲线，在曲线上任意取一点是一条空间曲线，在曲线上任意取一点 P，欲作一个，欲作一个以以 P 为圆心且垂直于曲线的圆。为圆心且垂直于曲线的圆。如何处理这个问题？如何处理这个问题？我们可以以曲线我们可以以曲线 L 的单位主法矢和单位副法矢在的单位主法矢和单位副法矢在 L 的法的法平面上建立直角坐标系，以点平面上建立直角坐标系，以点 P 为原点，然后就象为原点，然后就象 xOy 面上那样作出圆的矢量方程。面上那样作出圆的矢量方程。这个方法也适合其他参数曲线，如椭圆、星形线等，包括这个方法也适合其他参数曲线，如椭圆、星形线等包括极坐标曲线（转化为参数曲线即可）。极坐标曲线（转化为参数曲线即可）。如果以空间曲线如果以空间曲线L的参数为第一参数，以圆的参数为第二的参数为第一参数，以圆的参数为第二参数，则我们就得到动圆形成的参数曲面。参数，则我们就得到动圆形成的参数曲面。可以用数学软件把这种参数曲面的图形作出来。可以用数学软件把这种参数曲面的图形作出来。Santa II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011以曲线以曲线上任一点为圆心，作一个圆垂直于上任一点为圆心，作一个圆垂直于。Santa II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011Santa II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011例例1曲线曲线是半径为是半径为a的圆：的圆：以以上的点为中心，作半径为上的点为中心，作半径为b的圆垂直于曲的圆垂直于曲线线。圆环面圆环面作图的Mathematica程序：a:=4;b:=1;rt_:=a*Cost,a*Sint,0nt_:=NormalizeCrossrt,rtmt_:=NormalizeCrossrt,Crossrt,rtxs_:=b*Coss;ys_:=b*Sins;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-2,2,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-44,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,3,PlotStyle-AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;Qumian=ParametricPlot3Drt+xs*mt+ys*nt,s,0,2*Pi,t,0,2*Pi,Boxed-False,Axes-False,ViewPoint-4,2,3,AspectRatio-.8;ShowQumian,XYZ,PlotRange-AllSanta II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011a:=4;b:=2;rt_:=a*Cost,a*Sint,0nt_:=NormalizeCrossrt,rtmt_:=NormalizeCrossrt,Crossrt,rtxs_:=Coss;ys_:=b*Sins;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-2,2,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-4,4,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,3,PlotStyle-AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;Qumian=ParametricPlot3Drt+xs*mt+ys*nt,s,0,2*Pi,t,0,2*Pi,Boxed-False,Axes-False,ViewPoint-4,2,3,AspectRatio-.8;ShowQumian,XYZ,PlotRange-All例例2椭圆椭圆L绕圆绕圆旋转旋转Santa II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011例例3圆圆L绕椭圆绕椭圆旋转旋转a:=4;b:=2;rt_:=a*Cost,b*Sint,0nt_:=NormalizeCrossrt,rtmt_:=NormalizeCrossrt,Crossrt,rtxs_:=Coss;ys_:=Sins;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-2,2,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-4,4,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,3,PlotStyle-AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;Qumian=ParametricPlot3Drt+xs*mt+ys*nt,s,0,2*Pi,t,0,2*Pi,Boxed-False,Axes-False,ViewPoint-4,2,3,AspectRatio-.8;ShowQumian,XYZ,PlotRange-AllSanta II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011例例4星形线星形线L绕圆绕圆旋转旋转a:=4;b:=2;rt_:=a*Cost,4*Sint,0nt_:=NormalizeCrossrt,rtmt_:=NormalizeCrossrt,Crossrt,rtxs_:=Coss3;ys_:=Sins3;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-2,2,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-4,4,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,3,PlotStyle-AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;Qumian=ParametricPlot3Drt+xs*mt+ys*nt,s,0,2*Pi,t,0,2*Pi,Boxed-False,Axes-False,ViewPoint-4,2,3,AspectRatio-.8;ShowQumian,XYZ,PlotRange-AllSanta II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011例例5抛物线抛物线L绕圆绕圆旋转旋转a:=4;rt_:=a*Cost,aSint,0nt_:=NormalizeCrossrt,rtmt_:=NormalizeCrossrt,Crossrt,rtxs_:=s;ys_:=s2;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-2,5,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-4,5,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,7,PlotStyle-AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;Qumian=ParametricPlot3Drt+xsmt+ys*nt,s,-2,1.5,t,0,2*Pi,Boxed-False,Axes-False,ViewPoint-4,2,3,AspectRatio-.8;ShowQumian,XYZ,PlotRange-AllSanta II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011例例6抛物线抛物线L绕螺旋线绕螺旋线a:=4;rt_:=a*Cost,a*Sint,2*tnt_:=NormalizeCrossrt,rtmt_:=NormalizeCrossrt,Crossrt,rtxs_:=s;ys_:=s2;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-2,5,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-4,5,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,20,PlotStyle-AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;Qumian=ParametricPlot3Drt+xs*mt+ys*nt,s,-2,2,t,0,6,Boxed-False,Axes-False,ViewPoint-4,-1,3,AspectRatio-.8;ShowQumian,XYZ,PlotRange-AllSanta II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011例例7圆圆L绕螺旋线绕螺旋线a:=4;rt_:=a*Cost,a*Sint,2*tnt_:=NormalizeCrossrt,rtmt_:=NormalizeCrossrt,Crossrt,rt;xs_:=Coss;ys_:=Sins;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-4,4,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-4,4,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,20PlotStyle-AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;Qumian=ParametricPlot3Drt+xs*mt+ys*nt,s,0,2*Pi,t,0,10,Boxed-False,Axes-False,AspectRatio-1.5;ShowQumian,XYZ,PlotRange-All,ViewPoint-4,-2,2Santa II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011例例8曲线曲线L绕螺旋线绕螺旋线a:=3;b:=2rt_:=a*Cost,a*Sint,b*tnt_:=NormalizeCrossrt,rtmt_:=NormalizeCrossrt,Crossrt,rt;xs_:=b*Coss3;ys_:=b*Sins;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-4,4,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-4,4,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,20,PlotStyle-AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;Qumian=ParametricPlot3Drt+xs*mt+ys*nt,s,0,2*Pi,t,0,10,Boxed-False,Axes-False,AspectRatio-1.5;ShowQumian,XYZ,PlotRange-All,ViewPoint-4,-2,2Santa II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011例例9圆圆L绕正弦曲线绕正弦曲线rt_:=0,t,Sintnt_:=NormalizeCrossrt,rtmt_:=NormalizeCrossrt,Crossrt,rt;xs_:=Coss3;ys_:=Sins;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-2,2,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-6,6,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,2,PlotStyle-AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;Qumian=ParametricPlot3Drt+xs*mt+ys*nt,s,0,2*Pi,t,-5,5,Boxed-False,Axes-False,AspectRatio-.5;ShowQumian,XYZ,PlotRange-All,ViewPoint-4,2,1Santa II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011例例10余弦曲线余弦曲线L绕螺旋线绕螺旋线a:=2;b:=2;rt_:=a*Cost,a*Sint,2*tnt_:=NormalizeCrossrt,rtmt_:=NormalizeCrossrt,Crossrt,rtxs_:=s;ys_:=Cos2s;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-2,7,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-4,7,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,12,PlotStyle-AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;Qumian=ParametricPlot3Drt+xs*mt+ys*nt,s,0,6,t,0,5.8,Boxed-True,Axes-True,AspectRatio-.8;ShowQumian,XYZ,PlotRange-All,Boxed-False,Axes-False,ViewPoint-4,2,2,AspectRatio-1Santa II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011极坐标曲线极坐标曲线Santa II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011例例11心形线心形线L绕圆绕圆旋转旋转a:=4;rt_:a*Cost,a*Sint,0nt_:=NormalizeCrossrt,rtmt_:=NormalizeCrossrt,Crossrt,rt;rhos_:=1-Coss;xs_:=rhos*Coss;ys_:=rhos*Sins;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-4,5,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-4,5,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,2,PlotStyle-AbsoluteThickness3;XYZShowX,Y,Z;Qumian=ParametricPlot3Drt+xs*mt+ys*nt,s,0,2*Pi,t,0,2*Pi,Boxed-True,Axes-True,AspectRatio-.8;ShowQumian,XYZ,PlotRange-All,Boxed-False,Axes-False,ViewPoint-4,2,3,AspectRatio-.8Santa II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011例例12三叶玫瑰线三叶玫瑰线L绕圆绕圆旋转旋转 a:=2.5;rt_:=a*Cost,a*Sint,0;nt_:=NormalizeCrossrt,rt;mt_:=NormalizeCrossrt,Crossrt,rt;rhos_:=Cos3*s;xs_:=rhos*Coss;ys_:=rhos*Sins;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-4,4,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-4,4,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,2,PlotStyle-AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;Qumian=ParametricPlot3Drt+xs*mt+ys*nt,s,0,2*Pi,t,0,2*Pi,Boxed-True,Axes-True,AspectRatio-.8;ShowQumian,XYZ,PlotRange-All,Boxed-False,Axes-False,ViewPoint-4,2,3,AspectRatio-.8Santa II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011例例13四叶玫瑰线四叶玫瑰线L绕螺旋线绕螺旋线a:=2;rt_:=a*Cost,a*Sint,2*tnt_:=NormalizeCrossrt,rtmt_:=NormalizeCrossrt,Crossrt,rt;rhos_:=Cos2s;xs_:=rhos*Coss;ys_:=rhos*Sins;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-4,5,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-4,5,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,10,PlotStyle-AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;Qumian=ParametricPlot3Drt+xs*mt+ys*nt,s,0,2*Pi,t,-2,5,Boxed-False,Axes-False,AspectRatio-1;ShowQumian,XYZ,PlotRange-All,ViewPoint-4,2,2Santa II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011例例14三叶玫瑰线三叶玫瑰线L绕螺旋线绕螺旋线a:=2;rt_:=a*Cost,a*Sint,2*tnt_:=NormalizeCrossrt,rtmt_:=NormalizeCrossrt,Crossrt,rt;rhos_:=Cos3*s;xs_:=rhos*Coss;ys_:=rhos*Sins;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-4,5,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-4,5,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,10,PlotStyle-AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;Qumian=ParametricPlot3Drt+xs*mt+ys*nt,s,0,2*Pi,t,-2,5,Boxed-False,Axes-False,AspectRatio-1;ShowQumian,XYZ,PlotRange-All,ViewPoint-4,2,2Santa II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011例例158叶玫瑰线叶玫瑰线L绕螺旋线绕螺旋线a:=2;rt_:=a*Cost,a*Sint,tnt_:=NormalizeCrossrt,rtmt_:=NormalizeCrossrt,Crossrt,rt;rhos_:=Cos4s;xs_:=rhos*Coss;ys_:=rhos*Sins;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-2,2,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-2,2,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,6,PlotStyle-AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;Qumian=ParametricPlot3Drt+xs*mt+ys*nt,s,0,2*Pi,t,-1,5,Boxed-False,Axes-False,AspectRatio-1.5;ShowQumian,XYZ,PlotRange-All,ViewPoint-4,2,2Santa II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011例例16直线直线L绕螺旋线绕螺旋线 a:=0.01;rt_:=a*Cost,a*Sint,t/2nt_:=NormalizeCrossrt,rtmt_:=NormalizeCrossrt,Crossrt,rt;xs_:=s;ys_:=0;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-2,2,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-2,2,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,8,PlotStyle-AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;Qumian=ParametricPlot3Drt+xs*mt+ys*nt,s,0,2,t,0,14,Boxed-False,Axes-False,AspectRatio-1.5;ShowQumian,XYZ,PlotRange-All,ViewPoint-4,2,4Santa II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011例例17抛物线抛物线L绕圆锥螺旋线绕圆锥螺旋线rt_:=t*Cost,t*Sint,1.5tnt_:=NormalizeCrossrt,rtmt_:=NormalizeCrossrt,Crossrt,rt;xs_:=s;ys_:=s2;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-2,2,PlotStyle-AbsoluteThickness3;YParametricPlot3D0,y,0,y,-2,2,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,20,PlotStyle-AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;Qumian=ParametricPlot3Drt+xs*mt+ys*nt,s,-1.5,1.5,t,0,14,Boxed-False,Axes-False,AspectRatio-1;ShowQumian,XYZ,PlotRange-All,ViewPoint-4,2,1Santa II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011例例18圆圆L绕圆锥螺旋线绕圆锥螺旋线a:=2;rt_:=t*Cost,t*Sint,1.5tnt_:=NormalizeCrossrt,rtmt_:=NormalizeCrossrt,Crossrt,rt;xs_:=2*Coss;ys_:=2*Sins;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-4,4,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-4,4,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,20,PlotStyle-AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;Qumian=ParametricPlot3Drt+xs*mt+ys*nt,s,0,2*Pi,t,2,12,Boxed-False,Axes-False,AspectRatio-1;ShowQumian,XYZ,PlotRange-All,ViewPoint-4,2,1Santa II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011Santa II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011例例19椭圆椭圆L绕圆锥螺旋线绕圆锥螺旋线 a:=2;b:=4;rt_:=t*Cost,t*Sint,1.5tntNormalizeCrossrt,rtmt_:=NormalizeCrossrt,Crossrt,rt;xs_:=2*Coss;ys_:=b*Sins;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-4,4,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-4,4,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,20,PlotStyle-AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;Qumian=ParametricPlot3Drt+xs*mt+ys*nt,s,0,2*Pi,t,0,12,Boxed-False,Axes-False,AspectRatio-1;ShowQumian,XYZ,PlotRange-All,ViewPoint-4,2,1Santa II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011Santa II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011例例20玫瑰线玫瑰线L绕圆锥螺旋线绕圆锥螺旋线a:=2;b:=4;rt_:=t*Cost,t*Sint,1.5tnt_:=NormalizeCrossrt,rtmt_:=NormalizeCrossrt,Crossrt,rt;rhos_:=a*Cos4s;xs_:=rhos*Coss;ys_:=rhos*Sins;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-4,4,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-4,4,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,20,PlotStyle-AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;Qumian=ParametricPlot3Drt+xs*mt+ys*nt,s,0,2*Pi,t,0,11.8,Boxed-False,Axes-False,AspectRatio-1;ShowQumian,XYZ,PlotRange-All,ViewPoint-4,2,1Santa II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011Santa II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011例例21星形线星形线L绕圆锥螺旋线绕圆锥螺旋线a:=2;rt_:=t*Cost,t*Sint,1.5tnt_:=NormalizeCrossrt,rtmt_:=NormalizeCrossrt,Crossrt,rt;xs_:=a*Coss3;ys_:=a*Sins3;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-4,4,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-4,4,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,20,PlotStyle-AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;Qumian=ParametricPlot3Drt+xs*mt+ys*nt,s,0,2*Pi,t,-6,8,Boxed-False,Axes-False,AspectRatio-1;ShowQumian,PlotRange-All,ViewPoint-4,2,1Santa II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011Santa II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011例例22星形线星形线L绕圆柱螺旋线绕圆柱螺旋线a:=2;rt_:=a*Cost,a*Sint,1.5tnt_:=NormalizeCrossrt,rtmt_:=NormalizeCrossrt,Crossrt,rt;xs_:=a*Coss3;ys_:=a*Sins3;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-4,4,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-4,4,PlotStyle-AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,20,PlotStyle-AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;Qumian=ParametricPlot3Drt+xs*mt+ys*nt,s,0,2*Pi,t,0,12,Boxed-False,Axes-False,AspectRatio-1.4;ShowQumian,XYZ,PlotRange-All,ViewPoint-4,2,1Santa II,p.135四川大学数学学院 徐小湛10 June 2011